专题02 有理数及其运算（14大题型）（期末真题汇编，四川专用）七年级数学上学期
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内容正文：
专题02 有理数及其运算
14大高频考点概览
考点01 认识有理数（基础必考）
考点08有理数混合运算的实际应用
考点02有理数的分类
考点09用科学记数法表示绝对值大于1的数（必考）
考点03数轴上的点表示有理数
考点10流程图与有理数的结合
考点04利用数轴比较有理数的大小
考点11求一个数的近似数或精确值
考点05化简多重符号
考点12有理数的混合运算中规律探索题型
考点06利用绝对值的非负性求参数的值（高频考点）
考点13绝对值的几何意义
考点07有理数的混合运算（计算题）（必考题）
考点14数轴上的动点问题
地 城
考点01
认识有理数
1．(24-25七上·四川绵阳涪城区·期末)四个有理数，其中最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数及负数比较大小方法，熟记相关大小比较的原则是解决问题的关键．
根据有理数大小比较原则：负数 正数，对于负数比较大小，绝对值大的反而小即可得到答案．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得，
所以其中最小的是,
故选：A．
2．(24-25七·四川眉山仁寿县·期末)在，，，0四个有理数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴最大的数是：．
故选：C．
3．(23-24七下·四川广元利州区·期末)的绝对值是（ ）
A． B． C． D．1342
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得．
【详解】解：的绝对值是，
故选：D．
4．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如果爬台阶上升5级台阶记为那么下去8级台阶应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正负数的实际应用．熟练掌握相反意义的量，是解题的关键．
直接利用电梯上升5层记为，则电梯下降记为负数，进而得出答案．
【详解】解：∵上升5级台阶记为，
∴下去8级台阶应记为．
故选：C．
5．(23-24七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)下列说法，不正确的是（ ）
A．绝对值最小的有理数是0．
B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大．
C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大
D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，绝对值等知识点，能准确理解数轴以及绝对值的意义是解本题的关键．
【详解】解：A. 绝对值最小的有理数是0，故该选项正确，不符合题意；
B. 离原点越远的点，表示的数的绝对值越大，故该选项正确，不符合题意；
C. 数轴上的数，右边的数总比左边的数大，故该选项正确，不符合题意；
D. 在数轴上右边的数比左边的数大，故该选项不正确，符合题意．
故选：D．
6．(24-25七上·四川成都新都区·期末)有理数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数是：．
故选：B．
7．(24-25七上·四川成都高新区·期末)的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：的绝对值是，
故选：．
地 城
考点02
有理数的分类
1．(24-25七上·四川眉山洪雅县校际·期末)把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，．
正数：{ …}；
非负整数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}．
【答案】，，，，；，，；，，，，；，，．
【分析】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】解：正数：{，，，，，…}；
非负整数：{，，，…}；
整数：{，，，，，…}；
负分数：{，，，…}
故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，．
2．(22-23七上·四川巴中平昌县·期末)把下列各数填在相应的大括号里．
、、、0、、、
正数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
【答案】；；；
【分析】根据有理数的分类逐项填空即可求解．
【详解】解：正数集合：
整数集合：
负分数集合：
正有理数集合：．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键，注意不是有理数，但是正数．
3．(22-23七上·四川遂宁射洪·期末)在，，0，，，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据有理数的分类计算求和即可．
【详解】∵，，0，，，，2，，，
∴有理数有个，自然数有个，分数有个，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
地 城
考点03
数轴上的点表示有理数
1．(24-25七上·四川南充·期末)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上，则点表示的数可能是（）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的位置关系是解题关键．根据数轴上点P的位置在和之间，再由选项中的数据可得点P表示的数．
【详解】解：因为点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上，
所以点表示的数大于等于且小于等于，
只有选项B符合要求，
故选：B
2．(24-25七上·四川遂宁射洪县·期末)若数轴上的点表示的数是，那么与点相距个单位长度的点表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了两点间距离公式，利用两点间距离公式计算即可求解，掌握两点间距离公式是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上的点表示的数是，
∴与点相距个单位长度的点表示的数为或，
故选：．
3．(23-24七上·四川达州通州区新世纪学校·期末)数轴上表示的点在原点的（ ）
A．右侧 B．左侧 C．原点上 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的知识，（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值．
根据数轴的特点及距离的定义解答即可．
【详解】解：数轴上表示的点在原点左侧，距原点的距离是4个单位长度．
故选B．
4．(23-24七上·四川成都武侯区·期末)一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行8个单位长度到达点B，若点B表示的数为，则点A表示的数为（ ）
A．6 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，正确判断出点A和点B在原点的左侧是解题的关键．
由题意可知，一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行8个单位长度到达点B，且点B表示的数为，可以判断出点A在原点的左侧，且点A与点B的距离为8个单位长度，即可求出点A表示的数．
【详解】解：∵一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行8个单位长度到达点B，且点B表示的数为，
∴可以判断出点A在原点的左侧，且点A与点B的距离为8个单位长度，
∴点A表示的数为：，
故选：D．
5．(22-23七上·四川宜宾叙州区·期末)如图，数轴上被墨水遮盖的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数在数轴上的位置，确定表示的数即可．
【详解】解，根据数轴可知，被墨水遮盖的点表示的数大于，小于；
在选项中只有符号题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上表示的数，解题关键是根据数轴，确定表示的数的范围．
6．(24-25七上·四川广元苍溪县·期末)已知，，三点在数轴上从左向右依次排列，且，若为原点，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】到长度为，到长度为，为原点，由此即可求解．
【详解】解：，，三点在数轴上从左向右依次排列，且，
∴到长度为，到长度为，
∵为原点，即对应的数是，
∴对应的数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系，掌握数轴上线段与线段之间的数量关系，原点的位置是解题的关键．
地 城
考点04
利用数轴比较有理数的大小
1．(24-25七上·四川遂宁·期末)，在数轴上的位置如图所示，则，，， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，从数轴上a、b的位置得出，，推出，，，，根据以上结论即可得出答案．
【详解】解：从数轴上可以看出，，
∴，，，，
即，
故选：B．
2．(24-25七上·四川成都实验外国语学校·期末)已知实数、在数轴上的位置如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用数轴比较有理数的大小等知识点，熟练掌握有理数及数轴的相关知识是解题的关键．
根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小逐项分析判断即可．
【详解】解：由图可知，，，，
，
故结论错误，选项不符合题意；
故结论错误，选项不符合题意；
故结论正确，选项符合题意；
故结论错误，选项不符合题意；
故选：．
3．(24-25七上·四川成都石室中学·期末)实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用数轴比较大小，根据数轴得出是解题的关键．
根据数轴得到，再逐项判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得：，故A选项错误，B选项正确，
，，
，故C选项错误，
，
，故D选项错误，
故选：B．
4．(24-25七上·四川成都郫都区第二中学·期中)有理数，在数轴上的位置如图所示，比较，，，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解决问题的关键是注意数形结合的数学思想的运用．根据，在数轴上的位置，比较大小即可．
【详解】解：由图可得，，且，
则有：，
故选A．
5．(23-24七上·四川凉山彝族·期末)根据有理数a、、，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，熟练的利用相反数的特点在数轴上表示，是解本题的关键．
【详解】解：如图，在数轴上描出，，
∴；
故选C
6．(24-25七上·四川自贡·期末)，为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：，，据此判断出a、、b、的大小关系即可．
【详解】解：∵，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
地 城
考点05
化简多重符号
1．(24-25七上·四川巴中·期末)下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值与多重符号，根据有理数的大小比较法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，，而，所以，故C错误；
因为，而，所以，故D正确．
故选：D．
2．(24-25七上·四川巴中·期末)下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值与多重符号，根据有理数的大小比较法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，，而，所以，故C错误．
因为，而，所以，故D正确；
故选：D．
3．(22-23七上·四川凉山州宁南县·期末)的相反数是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
4．(24-25七上·四川眉山东坡区·期末)下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，A ，B先化简，再比较，C，D直接根据两个负数绝对值大的反而小比较．
【详解】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，故正确；
C．∵，∴，故不正确；
D．∵，∴，故不正确；
故选B．
5．(24-25七上·四川巴中·期末)比较大小： （填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．先化简绝对值和多重符号，再根据有理数的大小比较法则即可得．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(23-24七上·四川广安邻水县·期末)比较大小： ．（填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的化简，相反数的意义，有理数的大小比较等知识．先化简两个数，得到都是负数，再比较它们的绝对值，即可比较出这两个数的大小．
【详解】解：，，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．
地 城
考点06
利用绝对值的非负性求参数的值
1．(24-25七·四川德阳罗江区·期末)当的值最小时， ．
【答案】
【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
此时时，的值最小，则；
故答案为：．
2．(24-25七上·四川南充·期末)已知，则的值为 ．
【答案】2
【分析】该题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握一个数的绝对值是非负数．
根据得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
3．(23-24七上·四川广元剑阁县·期末)若与互为相反数，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
解得，
∴．
故答案为3．
4．(23-24七上·四川成都郫都区·期末)如果，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可．
【详解】，
，
，，
解得，，
．
故答案为：．
5．(24-25七上·四川资阳雁江区·期末)点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当= 时，．
【答案】或
【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得 ，则可计算出A、B对应的数，然后分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：， ， ，
则可得：，
解得： ，
，
①当P在A点左侧时，
，
，
则可得： ，
解得：
②当P在B点右侧时，
，
，
则可得： ，
解得： ，
③当P在A、B中间时，
则有 ，
∴P点不存在．
综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，数轴上两点间的距离：a，b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，掌握数轴上两点距离和分情况讨论是本题的关键．
6．(24-25七上·四川宜宾·期末)已知，那么 ， ．
【答案】 -3 2
【分析】根据绝对值的非负性即可求解．
【详解】解：∵|x+3|+|y−2|=0，
∴x=-3，y=2．
故答案为：-3，2．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
地 城
考点07
有理数的混合运算（计算题）
1．(24-25七上·四川泸州合江县·期末)计算：
【答案】
【分析】本题主要查了有理数的加减混合运算．根据有理数的加减混合运算法则解答即可．
【详解】解：
．
2．(24-25七上·四川眉山东坡区·期末)计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】解：
.
3．(24-25七上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)计算：
(1)
(2)
【答案】(1)25
(2)
【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解题的关键．
（1）根据乘法分配律的逆运算即可得答案；
（2）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算，从而可得答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
4．24-25七上·四川/乐山沐川县实验中学·期末)计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算；先计算乘法，再计算乘除，最后计算加减，即可求解．
【详解】解：
．
5．(24-25七上·四川德阳中江县·期末)计算
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)10
【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）根据有理数的加减运算法则即可求解；
（2）根据有理数的加减运算法则即可求解；
（3）根据有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
（2）
=
（3）
．
6．(24-25七上·四川绵阳涪城区·期末)计算：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用乘法分配律，进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减法，有括号先算括号里，即可解答；
（3）先算乘方，再算乘除，后算加减法，有括号先算括号里，即可解答；
（4）先算乘方，再算乘除，后算加减法，即可解答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
7．(23-24七下·四川广元利州区·期末)计算：
【答案】
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方、将带分数化成假分数，再计算乘法、绝对值里的加法，化简绝对值，然后计算除法，最后计算加减法即可得．
【详解】解：原式
．
8．(24-25七上·四川成都龙泉驿区·期末)计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算乘法和除法，再运算加法，即可作答．
（2）先根据有理数的乘法运算律进行运算以及算出乘方，化简绝对值，再运算加减法，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解：
9．(24-25七上·四川内江威远县凤翔中学·期末)计算：
(1)．
(2)．
(3)
【答案】(1)0
(2)
(3)5
【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键．
（1）先根据加法交换律将分母相同的两个数结合在一起，再计算即可．
（2）利用乘法分配律计算即可．
（3）先乘方，再乘除，有括号的先算括号，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
．
（3）解：
．
地 城
考点08
有理数混合运算的实际应用
1．(24-25七上·四川广元·期末)滴滴出行为人们带来了方便．某天上午，滴滴司机小李的运营路线可以看作是在东西走向的大道上来回行驶．若规定向东为正方向，则行车记录情况（单位：km）如下：
，，，，，，．
(1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距离出车地点多少千米？
(2)若平均运营额为3.5元/km，平均成本为1.5元/km，则这天上午小李盈利多少元？[盈利＝（平均运营额－平均成本）×行驶路程]
【答案】(1)10
(2)
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用：
（1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案；
（2）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案．
【详解】（1）
（千米）
∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米；
（2）
（千米）
（元）
∴这天上午小李盈利元．
2．(24-25七上·四川南充·期末)某校足球队为备战全县中学生校园足球联赛，在一次训练中，学校足球队的守门员小卫同学练习折返跑，从球门线出发，向前跑的距离记作正数，返回跑的距离记作负数；教练对其往返跑的记录如下：（单位：米）．
，，，，，，，
(1)通过计算判断小卫同学最后是否回到了球门线？
(2)这次折返跑练习中，小卫同学一共跑了多少米？
【答案】(1)小卫同学最后回到了球门线
(2)54米
【分析】本题考查的是正负数的应用，有理数的加减混合运算的实际应用；
（1）把记录的数据相加，再根据结果进行判断即可；
（2）求解记录数据的绝对值之和即可．
【详解】（1）解：
．
答：小卫同学最后回到了球门线．
（2）解：
（米）．
答：小卫同学一共跑了54米．
3．(24-25七上·四川南充·期末)某超市对2020年下半年每月的利润用下表作了记录：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
盈亏（万元）
盈12
盈16
盈8
亏6
亏4
盈14
正、负数表示
（1）在表中用正、负数表示各月的利润；
（2）计算该商场下半年6个月的总利润额．
【答案】（1）填表见解析；（2）40万元．
【分析】（1）根据“盈利记为正，则亏损就记为负”直接写出答案即可；
（2）把该商场下半年6个月的利润相加即可．
【详解】解：（1）盈利记为正，亏损就记为负，填表如下：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
盈亏（万元）
盈12
盈16
盈8
亏6
亏4
盈14
正、负数表示
+12
+16
+8
-6
-4
+14
（2）（+12）+（+16）+（+8）+（-6）+（-4）+（+14）
=36-10+14
=40（万元）
∴该商场下半年6个月的总利润额为40万元．
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．同时 还考查了有理数的加法运算．
4．(23-24七上·四川巴中·期末)小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（）
0
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________．
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？
【答案】(1)
(2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了．
(3)小明家这7天的行驶费用是元．
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用．
（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案；
（2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解；
（3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：由表格得：，
即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走，
故答案为：49；
（2）解：
，
答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了．
（3）解：用电的费用：（元），
答：小明家这7天的行驶费用是元．
5．(23-24七上·四川广元苍溪县·期末)苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表：
与标准质量偏差/千克
0
1
2
筐数
15
9
8
7
11
(1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？
(2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？
【答案】(1)4千克
(2)实际总质量是1490千克，多付了40元
【分析】本题考查了正负数和有理数的加减混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键．
（1）最重的一筐多了千克，最轻的一筐量少了千克，则两箱相差4千克；
（2）先求得总质量，再乘以4元即可．
【详解】（1）解：（千克）．
答：最重的一筐与最轻的一筐相差4千克．
（2）解：（千克），
实际质量为（千克），
水果超市多付了（元）．
答：实际总质量是1490千克，多付了40元．
6．(24-25七上·四川宜宾叙州区·期末)某海域巡逻艇为了维护边境秩序，需要沿南北方向海域来回巡视，约定向北为正方向，某天早晨从A岛出发，中午到达灯塔B，当天上午的行驶记录如下（单位： 海里）：＋20，－10，＋15，－17，－6，＋11，－15，－16．
(1)试问灯塔B在A岛的哪个方向？它们相距多少海里？
(2)如果巡逻艇每海里耗油a升，那么该次共耗油多少升？
【答案】(1)灯塔B在A岛的南方，18海里的地方
(2)110a升
【分析】（1）所有行驶记录数据相加即可求解；
（2）先算出巡逻艇行驶的总路程，再乘以每海里的耗油量即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
20＋（－10）＋15＋（－17）＋（－6）＋11＋（－15）＋（－16）＝－18（海里），
答：灯塔B在A岛的南方，18海里的地方．
（2）根据题意得：
|＋20|＋|－10|＋|＋15|＋|－17|＋|－6|＋|＋11|＋|－15|＋|－16|＝110（海里），
因为每海里耗油a升，所以共耗油110a升．
答：该次共耗油110a升．
【点睛】本题考查正负数的理解，有理数的加减混合运算，熟练的掌握有理数加法法则及正负数的意义是解决本题的关键．
7．(24-25七上·四川遂宁遂宁第二中学校·期末)“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8，﹣27．
(1)试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.08升，则志愿小组该天共耗油多少升？
【答案】(1)B地在A地的南方，它们相距32千米
(2)汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油8.64升
【分析】（1）将所有数据相加，即可知道答案；
（2）将所有数据求绝对值并相加，再算出总耗油量即可．
【详解】（1）+18﹣9+7﹣14﹣6+13﹣6﹣8﹣27
＝18+7+13﹣9﹣14﹣6﹣6﹣8﹣27
＝38﹣70
＝﹣32；
∴B地在A地的南方，它们相距32千米．
（2）（|+18|+|﹣9|+|+7|+|﹣14|+|﹣6|+|+13|+|﹣6|+|﹣8|+|﹣27|）×0.08
＝（18+9+7+14+6+13+6+8+27）×0.08
＝108×0.08
＝8.64（升），
∴汽车行驶每千米耗油0.07升，则志愿小组该天共耗油8.64升．
【点睛】本题考查有理数加法和绝对值在生活中的应用，牢记知识点并能够准确运算是解题的重点．
8．(24-25七上·四川南充·期末)某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
记录
（1）问收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，请说明检修小组最后的位置．
（2）距离A地最近的记录是哪一次？距离多远？
【答案】（1）没有回到A地，最后在A地东面19km处；（2）第7次距离A地最近，距离为12km．
【分析】（1）根据题意直接把所有数据相加，进而根据结果即可判定方向与距离；
（2）由题意分别计算出每次记录距离A地的距离，进而即可得出结论．
【详解】解：（1）15-2+5-1+10-13-2+12-5=19（km）
所以检修小组没有回到A地，最后在A地东面19km处．
（2）第1次距离A地：15（km），
第2次距离A地：15-2=13（km），
第3次距离A地：13+5=18（km），
第4次距离A地：18-1=17（km），
第5次距离A地：17+10=27（km），
第6次距离A地：27-13=14（km），
第7次距离A地：14-2=12（km），
第8次距离A地：12+12=24（km），
第9次距离A地：24-5=19（km），
所以第7次距离A地最近，距离为12km．
【点睛】本题考查正负数的意义以及有理数的加减实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
地 城
考点09
用科学记数法表示绝对值大于1的数
1．(24-25七上·四川巴中·期末)我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解：万．
故选：C．
2．(24-25七上·四川遂宁射洪中学校·期末)据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为元．这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，解题的关键是确定的值．将表示为，其中，为整数．
【详解】解：，
故选：B．
3．(23-24七上·四川成都锦江区盐道街中学·期末)在中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》中提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为平方公里，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将12000写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选A．
4．(24-25七上·四川巴中巴州区·期中)年国庆假期，巴中市纳入统计的家A级旅游景区累计接待游客万人次，实现门票收入万元，同比分别增长．其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法，正确确定的值是解题的关键．将万用的形式表示出来，其中，为整数．
【详解】万，
故选：A．
5．(24-25七上·四川成都郫都区第一中学·期末)今年前5月，成都外贸进出口总值亿元，占全省外贸进出口总值的，同比增长．数亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：亿，
故选：C．
6．(24-25七上·四川成都郫都区·期末)第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
7．(24-25七上·四川宜宾江安县·期中)2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功将三名宇航员送到空间站，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：28000用科学记数法表示应为；
故答案为
地 城
考点10
流程图与有理数的结合
1．(24-25七上·四川德阳中江县·期末)按下图所示的操作步骤，若输入的值为4，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把4代入操作程序中计算即可得到结果输出的值．
【详解】解：∵，
∴输出的值为：
故选：A．
2．(23-24七上·四川峨眉山·期末)定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下：
若，则第次“运算”的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，当时，
第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
第七次输出的结果为，
第八次输出的结果为，
，
∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，
∴第次“运算”的结果是，
故选：．
3．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ．
【答案】 答案不唯一 961
【分析】本题主要考查对题意的理解，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算．
本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数．
【详解】解：第一空：
选取三位数100进行运算，
……1，不是3的倍数，
按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：，
后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数，
最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等
第二空：从最大的三位数999开始依次验证
999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次；
998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次；
同理，运算次数都超过3次；
961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义．
所以，最大的幸运数为961，
故答案为：1（答案不唯一）；961．
4．(24-25七上·四川成都简阳·期末)一个“数值转换机”按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可输出一个相应结果．若输入的值为3，则输出的结果为 ．
【答案】13
【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可．
【详解】解：若输入x的值为3，
则，返回继续运算，
，输出y的值，
故答案为：13．
6．(24-25七上·四川成都武侯区·期末)小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
【答案】2或7或37
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可．
【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，
则；
；
；
故答案为：2或7或37．
地 城
考点11
求一个数的近似数或精确值
1．(24-25七上·四川宜宾叙州区·期末)我们把形如的式子叫做二次根式，其中对用四舍五入法取近似值，其中正确的是（ ）
A． （精确到百分位） B． （精确到个位）
C． （精确到0.0001） D． （精确到0.001）
【答案】D
【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，根据近似数的精确度，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、 （精确到百分位），故该选项错误，不符合题意；
B、 （精确到个位），故该选项错误，不符合题意；
C、 （精确到0.0001），故该选项错误，不符合题意；
D、 （精确到0.001），故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．(24-25七上·四川眉山仁寿县·期末)对于近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到 B．精确到百位 C．精确到万位 D．精确到百分位
【答案】D
【分析】根据近似数，精确度的定义解答即可．
本题考查了近似数和精确度：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【详解】解：近似数精确到或精确到百分位；
故选：D．
3．(24-25七上·四川自贡田家炳中学·)用“四舍五入”将数精确到百分位为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到百分位即对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案．
【详解】解：用四舍五入将数精确到百分位为．
故答案为：
4．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)用四舍五入法，把3.024596精确到百分位是 ．
【答案】
【分析】本题考查了近似数，将千分位上的数字四舍五入即可得出答案．
【详解】解：用四舍五入法，把3.024596精确到百分位是，
故答案为：．
5．(23-24七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)精确到 位，万精确到 位．
【答案】 百分 百
【分析】本题考查近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据近似数的精确度求解．
【详解】解：精确到百分位，万精确到百位．
故答案为：百分，百．
6．(24-25七上·四川成都青白江区·期末)近似数精确到 位．
【答案】百
【分析】本题主要考查了科学记数法和近似数的知识，根据科学记数法和近似数的定义，即可获得答案．
【详解】解：近似数精确到百位．
故答案为：百．
7．(24-25七上·四川遂宁射洪中学校·期末)用四舍五入法得到的近似数精确到 位．
【答案】百分
【分析】本题考查了近似数的精确度，掌握近似数的精确度是解题关键．根据的在百分位上，即可确定精确度．
【详解】用四舍五入法得到的近似数精确到百分位，
故答案为：百分．
地 城
考点12
有理数的混合运算中规律探索题型
1．(23-24七上·四川达州渠县三江中学·期末)观察下列计算
，，，……
从计算结果中找规律，利用规律计算：．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，发现变化规律并灵活运用是关键．根据前几个式子的变化规律得到第n个式子为，进而运用求解即可．
【详解】解：观察计算结果，得第n个式子为，
∴
．
2．(23-24七·四川成都东部新区·期末)观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式： ．
(2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）；
(3)求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键．
（1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式；
（2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答；
（3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到．
【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…，
∴第n个等式：
故答案为：；
（3）解：∵
又∵
∴
3．(23-24七上·四川成都郫都区·期末)认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：
，，，，，…
用上面的思路，解答下列问题：
(1)写出上面序列等式的第n个等式；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查数字的变化规律；
（1）根据所给式子得规律即可；
（2）将原式化为，再计算即可；
（3）根据，可得，再计算即可．
【详解】（1）根据上面序列等式，得第个等式为；
（2）
；
（3），
，
．
4．(24-25七上·四川达州达川区·期末)五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
(1)计算：___________；
(2)拓展应用：求的值．
【答案】(1)2500
(2)247500
【分析】（1）由图形可知，1+3+5+…+99之和可以看成是边长为50的正方形面积的值；
（2）先求出的值，再用求得的值减去（1）中结果，计算求值即可．
【详解】（1）根据题意可得，
∵，
，
，
，
…，
∴，
故答案为：2500；
（2），
，
，
的值为247500．
【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律再求值是解本题的关键．
5．(24-25七上·四川遂宁船山区·期末)观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；
（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：观察等式找到规律，第5个等式为：
故答案为：，
（2）解：第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：……
第n个等式：
故答案为：，
（3）解：
+…
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．
6．(24-25七上·四川达州开江县·期末)观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
【答案】(1)，225
(2)，
(3)29700
【分析】观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．
（1）根据上述规律填空即可求解；
（2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解；
（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
．
故答案为：，225；
（2）解：
．
故答案为：，；
（3）解：
故答案为：29700．
【点睛】本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．
地 城
考点13
绝对值的几何意义
1．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)阅读材料
点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或．
解决问题：
(1) ．
(2)若，则______；若，则______．
(3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．
【答案】(1)
(2)或；；
(3)、、、、
【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
（1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论；
（2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论；
（3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，；
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，
．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
解得：或；
，
，
解得：；
故答案为：或；；．
（3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，
这样的整数有、、、、
2．(23-24七上·四川巴中·期末)若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)已知点在数轴上表示的数分别为，且．
①______，______．
②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值．
(2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？
【答案】(1)①，；②3
(2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义，
（1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b，
②由的几何意义可求其最小值；
（2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可．
【详解】（1）①∵
∴，
∴，；
②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和．
当在左边时，．
当在2右边时，．
当在之间时（包含在和2这两个点上时），．
∴的最小值是3．
（2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小，
设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值，
当时，
原式 （米）
答：的最小值为400米．
地 城
考点14
数轴上的动点问题
1．(24-25七上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满．
(1) ______， ______， ______；
(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系．
（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键；
（2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧；
（3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响．
【详解】（1）因为，所以，，
又因为点B为中点，所以．
故答案为：．
（2）由题意可得 ，，
因为，
所以，
解得：或．
检验，当时，，满足条件，
当时，，也满足条件，
综上或．
（3）由题意，可得：
C到达O点前，有：
①当M在O左侧时，此时，
解得；
②当M在O右侧、B左侧时，此时，
解得无解；
③当M在B右侧时，此时，
解得无解；
C到达O点后，有：
④当M在B右侧时，此时，
解得；
综上或．
2．(23-24七上·四川宜宾兴文县·期末)如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．
(1)两点间的距离是 ；
(2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ；
(3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数；
(4)当时，点是否为线段的中点？
【答案】(1)
(2)，
(3)，
(4)是，理由见解析
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解；
（3）根据动点的起始位置、运动方向和运动速度即可求解；
（4）表示出线段的中点对应的数即可求解；
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）解：当时，动点对应的数是：；
动点对应的数是：，
故答案为：，
（3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是：；
动点对应的数是：
（4）解：线段的中点对应的数是：
令，
解得：
∴当时，点是否为线段的中点
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专题02 有理数及其运算
14大高频考点概览
考点01 认识有理数（基础必考）
考点08有理数混合运算的实际应用
考点02有理数的分类
考点09用科学记数法表示绝对值大于1的数（必考）
考点03数轴上的点表示有理数
考点10流程图与有理数的结合
考点04利用数轴比较有理数的大小
考点11求一个数的近似数或精确值
考点05化简多重符号
考点12有理数的混合运算中规律探索题型
考点06利用绝对值的非负性求参数的值（高频考点）
考点13绝对值的几何意义
考点07有理数的混合运算（计算题）（必考题）
考点14数轴上的动点问题
地 城
考点01
认识有理数
1．(24-25七上·四川绵阳涪城区·期末)四个有理数，其中最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．(24-25七·四川眉山仁寿县·期末)在，，，0四个有理数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．0
3．(23-24七下·四川广元利州区·期末)的绝对值是（ ）
A． B． C． D．1342
4．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)如果爬台阶上升5级台阶记为那么下去8级台阶应记为（ ）
A． B． C． D．
5．(23-24七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)下列说法，不正确的是（ ）
A．绝对值最小的有理数是0．
B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大．
C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大
D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大．
6．(24-25七上·四川成都新都区·期末)有理数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．3 D．
7．(24-25七上·四川成都高新区·期末)的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
地 城
考点02
有理数的分类
1．(24-25七上·四川眉山洪雅县校际·期末)把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，．
正数：{ …}；
非负整数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}．
2．(22-23七上·四川巴中平昌县·期末)把下列各数填在相应的大括号里．
、、、0、、、
正数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
3．(22-23七上·四川遂宁射洪·期末)在，，0，，，，2，，这些数中，有理数有个，自然数有个，分数有个，则的值为 ．
地 城
考点03
数轴上的点表示有理数
1．(24-25七上·四川南充·期末)数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上，则点表示的数可能是（）
A． B． C．0 D．3
2．(24-25七上·四川遂宁射洪县·期末)若数轴上的点表示的数是，那么与点相距个单位长度的点表示的数是（ ）
A． B． C． D．或
3．(23-24七上·四川达州通州区新世纪学校·期末)数轴上表示的点在原点的（ ）
A．右侧 B．左侧 C．原点上 D．不能确定
4．(23-24七上·四川成都武侯区·期末)一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行8个单位长度到达点B，若点B表示的数为，则点A表示的数为（ ）
A．6 B． C．10 D．
5．(22-23七上·四川宜宾叙州区·期末)如图，数轴上被墨水遮盖的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25七上·四川广元苍溪县·期末)已知，，三点在数轴上从左向右依次排列，且，若为原点，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
地 城
考点04
利用数轴比较有理数的大小
1．(24-25七上·四川遂宁·期末)，在数轴上的位置如图所示，则，，， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
2．(24-25七上·四川成都实验外国语学校·期末)已知实数、在数轴上的位置如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25七上·四川成都石室中学·期末)实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25七上·四川成都郫都区第二中学·期中)有理数，在数轴上的位置如图所示，比较，，，的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．(23-24七上·四川凉山彝族·期末)根据有理数a、、，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25七上·四川自贡·期末)，为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
地 城
考点05
化简多重符号
1．(24-25七上·四川巴中·期末)下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25七上·四川巴中·期末)下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(22-23七上·四川凉山州宁南县·期末)的相反数是（ ）
A． B． C．8 D．
4．(24-25七上·四川眉山东坡区·期末)下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25七上·四川巴中·期末)比较大小： （填“”、“”或“”）
6．(23-24七上·四川广安邻水县·期末)比较大小： ．（填“”或“”）
地 城
考点06
利用绝对值的非负性求参数的值
1．(24-25七·四川德阳罗江区·期末)当的值最小时， ．
2．(24-25七上·四川南充·期末)已知，则的值为 ．
3．(23-24七上·四川广元剑阁县·期末)若与互为相反数，则的值为 ．
4．(23-24七上·四川成都郫都区·期末)如果，那么的值为 ．
5．(24-25七上·四川资阳雁江区·期末)点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当= 时，．
6．(24-25七上·四川宜宾·期末)已知，那么 ， ．
地 城
考点07
有理数的混合运算（计算题）
1．(24-25七上·四川泸州合江县·期末)计算：
2．(24-25七上·四川眉山东坡区·期末)计算：
3．(24-25七上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期末)计算：
(1)
(2)
4．24-25七上·四川/乐山沐川县实验中学·期末)计算：
5．(24-25七上·四川德阳中江县·期末)计算
(1)；
(2)；
(3)．
6．(24-25七上·四川绵阳涪城区·期末)计算：
(1)；
(2)；
(3)
(4)
7．(23-24七下·四川广元利州区·期末)计算：
8．(24-25七上·四川成都龙泉驿区·期末)计算：
(1)
(2)
9．(24-25七上·四川内江威远县凤翔中学·期末)计算：
(1)．
(2)．
(3)
地 城
考点08
有理数混合运算的实际应用
1．(24-25七上·四川广元·期末)滴滴出行为人们带来了方便．某天上午，滴滴司机小李的运营路线可以看作是在东西走向的大道上来回行驶．若规定向东为正方向，则行车记录情况（单位：km）如下：
，，，，，，．
(1)当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李距离出车地点多少千米？
(2)若平均运营额为3.5元/km，平均成本为1.5元/km，则这天上午小李盈利多少元？[盈利＝（平均运营额－平均成本）×行驶路程]
2．(24-25七上·四川南充·期末)某校足球队为备战全县中学生校园足球联赛，在一次训练中，学校足球队的守门员小卫同学练习折返跑，从球门线出发，向前跑的距离记作正数，返回跑的距离记作负数；教练对其往返跑的记录如下：（单位：米）．
，，，，，，，
(1)通过计算判断小卫同学最后是否回到了球门线？
(2)这次折返跑练习中，小卫同学一共跑了多少米？
3．(24-25七上·四川南充·期末)某超市对2020年下半年每月的利润用下表作了记录：
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
盈亏（万元）
盈12
盈16
盈8
亏6
亏4
盈14
正、负数表示
（1）在表中用正、负数表示各月的利润；
（2）计算该商场下半年6个月的总利润额．
4．(23-24七上·四川巴中·期末)小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（）
0
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________．
(2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
(3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？
5．(23-24七上·四川广元苍溪县·期末)苍溪雪梨是四川省苍溪县特产，中国国家地理标志产品．某水果超市以每千克4元的价格购进50筐雪梨，因水果超市与批发商长期合作，所以购进时以每筐30千克的标准质量付款．到店后称了每筐的质量，将超出标准质量的部分记为“”，不足标准质量的部分记为“”，记录如下表：
与标准质量偏差/千克
0
1
2
筐数
15
9
8
7
11
(1)这50筐雪梨中，最重的一筐与最轻的一筐相差多少千克？
(2)水果超市这次购进50筐雪梨的实际总质量是多少？多（或少）付了多少元？
6．(24-25七上·四川宜宾叙州区·期末)某海域巡逻艇为了维护边境秩序，需要沿南北方向海域来回巡视，约定向北为正方向，某天早晨从A岛出发，中午到达灯塔B，当天上午的行驶记录如下（单位： 海里）：＋20，－10，＋15，－17，－6，＋11，－15，－16．
(1)试问灯塔B在A岛的哪个方向？它们相距多少海里？
(2)如果巡逻艇每海里耗油a升，那么该次共耗油多少升？
7．(24-25七上·四川遂宁遂宁第二中学校·期末)“疫情无情人有情”．在抗击新冠病毒疫情期间，一志愿小组某天早晨从A地出发沿南北方向运送抗疫物资，晚上最后到达B地．约定向北为正方向，当天志愿小组行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，+13，﹣6，﹣8，﹣27．
(1)试问B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米？
(2)若汽车行驶每千米耗油0.08升，则志愿小组该天共耗油多少升？
8．(24-25七上·四川南充·期末)某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
记录
（1）问收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，请说明检修小组最后的位置．
（2）距离A地最近的记录是哪一次？距离多远？
地 城
考点09
用科学记数法表示绝对值大于1的数
1．(24-25七上·四川巴中·期末)我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25七上·四川遂宁射洪中学校·期末)据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为元．这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24七上·四川成都锦江区盐道街中学·期末)在中共中央、国务院印发的《成渝地区双城经济圈建设规划纲要》中提出，成渝地区双城经济圈规划范围总面积为平方公里，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25七上·四川巴中巴州区·期中)年国庆假期，巴中市纳入统计的家A级旅游景区累计接待游客万人次，实现门票收入万元，同比分别增长．其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25七上·四川成都郫都区第一中学·期末)今年前5月，成都外贸进出口总值亿元，占全省外贸进出口总值的，同比增长．数亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25七上·四川成都郫都区·期末)第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ．
7．(24-25七上·四川宜宾江安县·期中)2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功将三名宇航员送到空间站，飞船的速度约为每小时28000千米，28000用科学记数法表示应为 ．
地 城
考点10
流程图与有理数的结合
1．(24-25七上·四川德阳中江县·期末)按下图所示的操作步骤，若输入的值为4，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
2．(23-24七上·四川峨眉山·期末)定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下：
若，则第次“运算”的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ．
4．(24-25七上·四川成都简阳·期末)一个“数值转换机”按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可输出一个相应结果．若输入的值为3，则输出的结果为 ．
6．(24-25七上·四川成都武侯区·期末)小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
地 城
考点11
求一个数的近似数或精确值
1．(24-25七上·四川宜宾叙州区·期末)我们把形如的式子叫做二次根式，其中对用四舍五入法取近似值，其中正确的是（ ）
A． （精确到百分位） B． （精确到个位）
C． （精确到0.0001） D． （精确到0.001）
2．(24-25七上·四川眉山仁寿县·期末)对于近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到 B．精确到百位 C．精确到万位 D．精确到百分位
3．(24-25七上·四川自贡田家炳中学·)用“四舍五入”将数精确到百分位为 ．
4．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)用四舍五入法，把3.024596精确到百分位是 ．
5．(23-24七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)精确到 位，万精确到 位．
6．(24-25七上·四川成都青白江区·期末)近似数精确到 位．
7．(24-25七上·四川遂宁射洪中学校·期末)用四舍五入法得到的近似数精确到 位．
地 城
考点12
有理数的混合运算中规律探索题型
1．(23-24七上·四川达州渠县三江中学·期末)观察下列计算
，，，……
从计算结果中找规律，利用规律计算：．
2．(23-24七·四川成都东部新区·期末)观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式： ．
(2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）；
(3)求．
3．(23-24七上·四川成都郫都区·期末)认真观察下面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律：
，，，，，…
用上面的思路，解答下列问题：
(1)写出上面序列等式的第n个等式；
(2)计算：；
(3)计算：．
4．(24-25七上·四川达州达川区·期末)五一期间，某人民广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
(1)计算：___________；
(2)拓展应用：求的值．
5．(24-25七上·四川遂宁船山区·期末)观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：_______________
(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________
(3)求的值．
6．(24-25七上·四川达州开江县·期末)观察下列各式：
，而；
，而；
，而；
(1)猜想并填空：
______________；
(2)根据以上规律填空：
______________；
(3)求解：．
地 城
考点13
绝对值的几何意义
1．(24-25七上·四川乐山马边彝族自治县·期末)阅读材料
点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或．
解决问题：
(1) ．
(2)若，则______；若，则______．
(3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．
2．(23-24七上·四川巴中·期末)若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)已知点在数轴上表示的数分别为，且．
①______，______．
②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值．
(2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？
地 城
考点14
数轴上的动点问题
1．(24-25七上·四川成都青羊区树德实验中学·期末)如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满．
(1) ______， ______， ______；
(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值；
(3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值．
2．(23-24七上·四川宜宾兴文县·期末)如图，数轴的原点为，在数轴上有、两点，点对应的数是，点对应的数是1，动点、同时从、出发，分别以3个单位/秒和1个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为秒（）．
(1)两点间的距离是 ；
(2)当时，动点对应的数是 ，动点对应的数是 ；
(3)当运动时间为秒时，用含的代数式表示出点和点所对应的数；
(4)当时，点是否为线段的中点？
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