专题17 相似三角形（1年汇编）（江苏专用）2026年中考数学真题分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题17相似三角形 1年真题1年模拟 一年真题分类园 考点01平行线分线段成比例定理 1.C 2. 【答案】(1)相似 理由：，AD∥BC,∠A=90°， .∠ABE=180°-∠A=90°， :CD是⊙O的直径， .∠DEC=90°， ∴.∠DEB=90°， .四边形ABED是矩形， ∴.AB∥DE, ∴∠ABD=∠BDE, 又∠FDE=∠FCE,即∠BDE=∠MCE, ∴.∠ABD=∠MCE, 又∠A=∠MEC=90°， .△ABDAECM; (2)解：①，四边形ABED是矩形，AD=2, ∴.BE=AD=2, :BC=6. .EC=BC-BE=4. :△ABDn△ECM,AB=6, AD AB 2 6 ·EMEC,即EM=4, 1/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 解得EM=了，经检验，符合题意， N为BC的中点， :BN=号BC=3 .EN BN-BE=1, ÷MW=VEM2+EW2= 3日 ②如图，△PMN即为所求， D P 理由：四边形 是矩形， M B ABED .G是BD中点，DE=AB=6, 又O是CD中点， .GO∥BC, DP DO :EP CO =1 DP=EP= DE=3 2 MP=EP-EM=5 又Mw 3 :.MN=MP,即△PMN是等腰三角形. 考点02相似三角形性质与判定综合 1.C 2. 【答案】2 3. 2/57 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】120 4. A A M 【答案】1) 图1 2)B'C'的长为0.9m Hh. 3) :示意图： :方程： Bi N 60°R 7777T7 33V5 i+ 3 25 s= 373,43 + 2 图4 2 10 2 5 5. 25 【答案】1 (2)解：图形如图所示： EM D ,理由如下： CE=DE 如图，延长DE交AC于点F, 3/57 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM D B :点A、B关于OM对称， ∴.AE=BE, AC⊥x轴，BD⊥x轴， .AC∥BD,∠ACD=90°. ∴∠CAE=∠DBE, 在△AEF和△BED中， I∠CAE=∠DBE AE=BE ∠AEF=∠BED1 △AEF≌△BED(ASA) ∴EF=DE,即点E为DF的中点， 在RtACDF中，点E为DF的中点， ∴CE=DE: (3)解：如图，分别过点E、M作EG⊥x轴，MH⊥x轴， E H C G :点A、B关于OM对称， .AB⊥OM, 在Ra4OE中，cos∠AOE=OE O4 4/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AOE=a,OA=OM, ∴.Cosa= CE a' :EG⊥x轴，MH⊥x轴， ∴.∠0E=∠0HM=90°， ,∠EOG=∠0H, .△QEG∽△QH, CE OG oMa .c0s&= OG aH· 由(2)可得，CE=DE, EG⊥x轴， ..CG=DG. ..OC D =OG-CG+OG+DG 20G, .M(m,）,MH上x轴， ..OH=m, .w.cosa =OC+OD. W· ∴.W=20H=2m, :m≥3， .w≥6 【答案】(Q)解：∠E=∠F,证明如下： 如图，延长FC至点G,使得CG=BE,连接DG, 5/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC, .∠ABC=∠ACB .180°-∠ABC=180°-∠ACB,即∠EBD=∠GCD :D是BC的中点， .BD=CD 在△DBE和△DCG中， BE=CG ∠EBD=∠GCD BD=CD △DBE≌ADCG(SAS) .∠E=∠G,DE=DG. DF DE, :.DG=DF, ∠G=∠F, .∠E=∠F Q)证明：如图，作∠CDM=∠BDE,交FC延长线于点M, B .AB=AC, .∠ABC=∠ACB」 ∴.180°-∠ABC=180°-∠ACB,即∠EBD=∠MCD 在△DBE和△DCM中， ∠BDE=∠CDM ∠EBD=∠MCD, ∴.aDBE∽aDCM 6/57 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD DE ·DCDM，∠E=∠M: BD DE DC DF DEDE ∴DFDM' .DF DM, .∠F=∠M, ∴.∠E=∠F. B)证明：如图，过点D作DH⊥AB于点H,作DN⊥AC于点N,连接AD, B 则∠DHE=∠DNF=90°. :D是BC的中点， S.ABD=SACD C-DN 1 AC DH .AB DN' AC DE AB DF' DE DH ∴.DFDN DEDE :DH DN DE DF 设DD=kk>),则DE=kDH·DF=ADN, EHDE2-DH2 (KDH)-DH2 √R2-1DH_DH_DE FN√DF2-DN (KDN)-DN2 k2-1DN DN DF 7/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△DEH∽△DFN, ∴.∠E=∠F 考点03相似三角形与函数综合 1.C 2. 【详解】解：：Bx轴， A(3,5) :设(5列 AB=2, AB=3-x=2,解得：x=1, :B(5) :B1,5)在y=的图象上， :5= 1,解得：k,=5, ·的值为5. (②)解：点的横坐标为2，且点4在反比例函数少=生>0的图象上， 3) ∴点A的坐标为2， :AB‖x轴，AC‖y轴， ∴，点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， ∴点B的纵坐标为2，点C的横坐标为2， 点8C在y= x的图象上， 2k2 28即： yc= X8 , 8/57 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 气（飞2， ,CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， k2 点D的纵坐标为yo= 2 “点D在y= 的图象上， k=k 2k1 XD=- 、xD2,解得： k2, . 、2(k-k2) AB=x-XB 2(k-k) k, AC=,-6=,.CD=0- 2 k2 :△ABC∽△CAD, ABAC .CA CD, 2(k-k3) k 2 ·飞-k2飞-k, 2 k2 4k2 k 4, kk2=16 (3)解：如图1， 9/57 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x D K2 图1 设点A的坐标为a), :AB川x轴，AC‖y轴， ∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， ∴点B的纵坐标为a,点C的横坐标为a, “点BC在y= 大的图象上， hk .ax8即： a, :CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， 二点D的纵坐标为为=乌 a “点D在少= 的图象上， k=飞 .pa,解得： k2, 10/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a(k-k2) AB=XA-XB=- k, 4C=,--6CD=n-.=6-） a, k3, 8-套.uw-8+0mc.图-- ∴.CDk1, 2k k2 根据题目条件得：ABCD, .∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC, △PBAn△PCD, S.PB4 :.S.PCD S.PCD 8- SPCD-S梯形ABD= SPCD :S.rn-S形aCD=SPcD .S.PCD- (-)飞-k) k(k-k2) 2kk2 2k2 ki(k-k2) “当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积为定值，定值是2k2· 考点04相似三角形与几何综合 1.C 2. 4-V万 【答案】 3 25 【答案】 4. 【答案】①② 11/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5. 【答案】Q)证明：·PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, ∴.∠PA0=90°， .BC∥OP, .∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB ...OB=OC, .∠B=∠OCB, .∠AOP=∠COP :在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP ÷△10 PRCOP(SAS) ∴.∠PCO=∠PA0=90° :OC是⊙0的半径， .PC为⊙O的切线， (2)解：①连接AC」 D B :在RtAAPO中，OA=2,PA=4, .OP=VO+PA=2J5 12157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cos∠AOP= A02V5 0P255. .∠B=∠AOP, cosB=c0s∠40P=5 :AB是OO的直径， .AB=20A=4,∠ACB=90° BC=4B.cosB=4x545 55. ②方法：取0C的中点r,连接Dr,则OF=CF=0C=x2=1. 1 2 ,'△AOP2ACOP ∴.PA=PC=4 :点D,F分别为OB,OC的中点， :DF是△OBC的中位线， &DF∥BC, DF=1BC-25 2 5. :BC∥OP, ..DF llOP, .∴ADEF△PEO 2W5 :EF=DF=5=, OE OP 25 5 6 13157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 ∴CE=EF+CF= 61 tan∠PEC= PC424 .在 中， CE7=7 Rt△PCE 6 方法二：过点D作DG∥OC,交PO的延长线于点G. ∴.∠ODG=∠BOC BC∥OP, ∴.∠GOD=∠B ..AODGABOC, OG_DG OD1 ·BC OC BO2 0G=)BC=25,DG=50C=1, 2 PG=P0+0G=2V5+25_12 :DG∥OC, .△POE∽aPGD」 2V50E :P0_OE,即125 1, PG DG 5 .OF=5 6 :CE=0C-0E=2-57 66· .△AOP≌aCOP, ∴.PA=PC=4 14157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PC424 tan∠PEC= Rt△PCE克， CE=7=7 6 6. 【详解】(I)解：：FM⊥BE,FN⊥BC,且FM=FN, ∴BF平分∠EBC, .ZEBF=ZFBC, ,△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.∠ABE=∠EBF, ∴.∠ABE=∠EBF=∠FBC. ,∠ABE+∠EBF+∠FBC=∠ABC=90°， .3∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠FBC=30°， 在Rt△BFN中，BF=1, FN=IBF=1 2 2 又FM=FN, FM+FN= 1.1 22 (2)解：延长NF交AD于H, D H--- E M ,正方形ABCD的边长为1，且E为AD中点， 1 eAD=DAE=)AD:ADBC,∠A=∠D=∠C=90 ,△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.△AEB≌△FEB, 4E=EF=1 2'AB=BF=1'∠EFB=∠EAB=90°， 15/57 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AEB中， EB=AE2+AB :FM⊥BE, ∴.SFEB= -1EB-FM=1EF.FB :122 FM= 5 :FN⊥BC,ADII BC, FH⊥AD, .∠FHA=∠FNB=∠EFB=90°， .∠D=∠C=90°， “.四边形HNCD为矩形， .CN=DH,DC=HN=1. ·.∠EFH+∠NFB=90°，∠NBF+∠NFB=90°， ∴.∠EFH=∠FBN, .△EFH∽aFBN, EF FH EH FB BN FN 设Nx则Cv1-xH=分0-x 1 1 .2FH x- 2 1 x FN m-=2-=2- .FH+FN =HN=1, 16157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :2x-1 21, 解得t 5 13 ..FN=2x 5 5 (3)解：如图，延长NF交AD于H,连接AM D C M 由翻转得，点A,M,F三点共线， ·.∠AMB=90° 由(2)得，FH⊥AD ·.∠AHF=90°=∠AMB .∠HAF+∠HFA=90° ∠DAB=90° ∴.∠HAF+∠MAB=90° .,∠HFA=∠MAB ∴.△HFA∽AMAB HF AF AM AB 设FM=x,FN=y .AM=FM=x,HF=HN-FN=1-y, ∴.AF=AM+FM=2x .1-y_2x 整理得， y=-2x2+1 17157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .-2<0 1 9 ·当x=4时，FM+FN取得最大值 7. V5+2 【答案】(1)3 ②6-1 B)解：如图，作D∥AC交AB于点D,过点D作DE∥CN交AC于点E, G K M “.四边形CEDN是平行四边形. :PK∥AC,ND∥AC, .PK∥DN, .△BPQ∽aBDN BO PO BN DN .CN∥QM, .△BOMBNC, BO OM BN CN PO OM DN CN' ..OM=PO. ..CN=DN “.平行四边形CEDN是菱形. ..CN=CE=DE=DN, 18/57 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：PK∥DN, .∠PQB=∠DNB PO=PB .∠PQB=∠PB0. ∴.∠DWB=∠PBQ, .'BD=DN, .BD=DE CE. .DE是∠A所对的“等截线”， :.CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. 8. 【答案】(1)证明：相等，理由如下， 连接CP, A E D B ,四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD,∠D=∠B=90° 由对称可得CD=CF,∠D=∠CFE=90°， .∠CFP=180°-∠CFE=90°，CF=CB, ∴.∠CFP=∠B=90°， .CP=CP, Rt△CFP≌Rt△CBP(HL) ∴.FP=BP: (2)解：延长EF交AB于点P,交CB延长线于点T, 19157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B ,四边形ABCD是正方形， .设AD=BC=AB=5,AD川BC,∠BAD=90°， DE 3 AE2’ .AE=2,DE=3. 同(I)可得FP=BP,FE=DE=3, 设FP=BP=x,则AP=5-x, .EP=EF+PF=3+x, .AP2+AE2 EP2, :(6-x+2=(3+x 解得子 &AP=5-5=15 44’ :ADI‖BC, .△AGE∽△CGT,△AEP∽△BTP, AEAP TB BP' 15 24 .TB5, 4 39 20157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△AGEACGT, AG AE 2 6 ..GC CT 217: 5 3 (3)略 年模拟练测园 题号 1 2 3 6 8 9 10 答案 心 心 D A C C A A 双 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C D O B 以 D 题号 21 答案 22.2 3V5 23.2 24.12 5.而 26 45 27.2 √5-1 28. 2 2 29.1 12 30.25 45 31.5 929w2 32. 1/2 21157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 33.2 1 34.210.5 2W5 35.3 36.2Wm2+1-2 37.2或14 38.5 913 39. 3 40x或90 5 40.4 41.16V2 42.5 43.2V2 44 6W10 45.8 46, 180°-a 4.1 47.2 48.3 5 49.4 50. 5 51.(I)证明：，BM,DN分别平分正方形的两个外角， .∠CDN=∠CBM=45°， 22157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=CD,∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°， .∠ABM=∠ADN=135°， :∠NAM=45°， .∠BAM+∠DAN=45°，∠BAM+∠AMB=45°， .∠AMB=∠DAN, 同理：∠BAM=∠DNA 在△MBA和△ADN中， ∠BAM=∠DNA ∠AMB=∠DAN AM=AN ∴.△MBA≌△ADN(AAS) ∴.BM=AD,AB=DW 又AB=AD, :BM=DN: (2) (2)①同意，BM·DN=4,∠MCN=135°， D 由(I)知∠ADN=∠ABM=135°，∠DAN=∠AMB. .△ADNP△MBA, AD DN ·BMAB' .BM·DN=AB·AD=4 .BM·DN=BC.DC, BC BM DN DC' 23157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CBM=∠CDN, .ACBMANDC, .∠DCN=∠BMC, :∠BCM+∠BMC=135°， .∠BCM+∠DCN=135°， :.∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=135°， ②将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接MF. D 则△ABF≌△ADN .∠I=∠3，AF=AN,BF=DN,∠AFB=∠AND .∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45° ∴.∠MAF=∠MAN 又.AM=AM, :△AMF≌△AMN(SAS) ∴.MF=MN 可得∠MBF=(∠AFB+∠1)+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°， ∴.在RtABMF中，BM2+BF2=FMP. .BM2+DN2=MN2, 以BM,DN,MN为边构成的三角形面积为行BM-DN-了x4=2 2 52.(1) ①30° ②如图所示，直等积点P即为所求，点E为BC中点，直线QE将四边形ABCP的面积平分： 24157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (2) （3,4刊或5.0) (3) 0=+ t3 13 【详解】(1)①解：：∠BPC=90°，∠BAC=90, A、B、C、P四点共圆，且以BC为直径， .∠PBC=∠PAC, ,.S△PBc=S△MBc 又. .APl BC. :∠ACB=30°」 .∠PBC=∠PAC=∠ACB=30°： ②解： .SA=Sac且∠BPC=90° :.AP‖BC,且点P在以BC为直径的圆上， ∴点P为以BC为直径的圆和过点A平行于BC的直线的交点上，且点P在点A的右侧， 延长BA、CP交于点Q,连接QE,交AP于点F, 25157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF//BE,PFI CE, AF OF PF OF BE QE,CE OE' AF PF BE CE' 又BE=CE, .AF PF, .S.oAr=S.OPF :E为BC中点， S.m-S.cE SOBE -SQAF=SOCE-SOPF SABEF =SPCEF 即QE平分四边形ABCP的面积； y=-10 (2)解：联立 1 y=-2x 解得x=25 B-255).c(25.-5). .0B=OC=5, 26157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .O为BC中点， 由(I)②可得，APII BC, 且BC的解析式为y=-2x, ·设过点A且平行于BC的解析式为y= 2+6 b=3 代入点A0.得2 直线P1得新式为=+ 2 1.5 Pm,-2m+2) 设点 .∠BPC=90°， “△BPC是直角三角形， ..OB=OC=OP=5, 1 5)2 :m+2m+ =52 解得m=-3m=5 点P的坐标为-34或(5,0) 或 (3)①设B(,0).C(s,0) :BC在x轴上， .AP‖x轴， P点纵坐标为2， 设Pp,2).B,0,C4,0 +书=-0+4 5、3 a a, 27157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :PB⊥PC, ∴在RtBPC利用射影定理可得，=e-k。-x :2=(6-202-x) 整理得426+)5-4 1 解得a=- 2 代入得抛物线表达式=式+子-3。 2 ②令y=2 1 即2=、 7 -x2+-x-3 2 2 解得=2与=5 :点P在抛物线对称轴的右侧， :P62) 0得振格线表达式)=了r 23 令y=0 2x-3=0 解得5-1书=6 :C(60) :为直线"=2(0≤m≤5) .设M(m,2),N(0,n),过点C作CG⊥AM于点G, 28157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M G G6,2) :.∠CGM=∠MAN=90°，∠AMN+∠CMG=90°，∠AMN+∠ANM=90°， .∠CMG=∠AWNM, .△AMNAGCM, AM AN ·.CGGM, m 2-n 即26-m, 整理得n=2m-3m+2(0≤m≤5)， 这是n关于m的开口向上的二次函数，对称轴m=3, 在区间内：当m=0时n=2, 当m=3时”= 2 1 当m=5时n=- 2 点N运动路径长为2-(》+（号(-》- 2 53.1)2.5m (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作MG⊥EF交AF于点G,过点E作EH⊥EF交AF于点H, 根据题意，得EH∥AB, ∴.△FEH∽△FAB, 29157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FE EH .FB AB' G F M E D B AB=1.5,FE=2.5,FB=4.5, 2.5EH …4.51.5 解得EH-(m). 6 根据题意，得EH MG, .△FEH∽△FMG, FM MG FE EH' H G M E D B ·EH= 6,FE=2.5,FM=FE-ME=2.5-0.8=1.7, 1.7MG .2.55 6 MG≈0.57(m) 解得 0.5<0.57, ∴.驾驶员不能观察到物体： 根据题意，得AB∥MG, ∴.△FBA∽aFMG, FM MG FB AB' .FB=4.5,MG=0.5,FM=1.7, 30157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.70.5 4.5AB AB≈1.32(m) 解得 ∴.1.5-1.32=0.18(m) 故将座椅的高度调低0.18m: (3)增大 10 47m≤AB≤1.6m 【详解】(I)解：根据题意，得CD‖AB, ∴.△FCDOAFAB, FD CD FB AB' 设EF=xm, AB=1.5,CD=1,BE=2,DE=0.5, FD-FE+ED-(x+0.5)m BD-BE-DE-(2-0.5)-1.5m FB=FD+BD=（x+0.5+1.5)=（x+2)m 1x+0.5 …1.5x+2 解得x=2.5, G M E D B 经检验，x=2.5时，x+2=4.5≠0， 故x=2.5时原方程的根， 故EF的长为2.5m. (2)略 (3)解：根据题意，得CD‖AB, 31157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△FCDn△FAB, FD CD :FB AB' 设EF=xm, .CD=1,BE=2,DE=0.5, FD=FE+ED=(x+0.5)mBD=BE-DE=(2-0.5)=1.5m FB=FD+BD=（x+0.5+1.5)=(x+2)m 1_x+0.5 ABx+2 31 X= 解得2(AB-1)2, 31 x= 经检验，2(4B-)2是原方程的根， EF= 31 故2(AB-1)2, AB减小， .2(AB-1) 也在减小， 3 2(AB-1)在增大， 1 ∴·2(4B-)2在增大， 故EF增大； (4)解：根据题意，得CD‖AB, ∴.△FCD∽△FAB, FD CD :FB AB' 设AB=xm, 32157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EF=3,CD=1,BE=2,DE=0.5, :.FD=FE+ED=3.5m、BD=BE-DE=(2-0.5)=1.5m FB=FD+BD=(3+0.5+1.5)=5m 13.5 x=5, 10 解得x 7, H G ▣ M ED B 10 10 经检验，X=7时，x= +0 7 10 故x=7时原方程的根， 根据题意，得车顶到地面的距离为l.6m, 10 故7m≤AB≤1.6m: 54.)y=>0),(4,1) 4 9 2)8 ®015)或0-15) 【详解】(1)解：，点C的横坐标为1， 将x=1代入一次函数y=-x+5中得：y=4, 1,4) 点C的坐标为 m 将点C(1,4)代入反比例函数y=x中，得：m=4, 33157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 反比例函数的表达式为y 4x>0) 4 令x -x+5 X=1,2=4 解得： 当x=4代入y=-x+5中得：y=1, 4,1 .点B的坐标为 (2)延长PQ交x轴与点H, B ,P2川y轴 .∠PH0=90°， 设点Pa,-a+5),点Qa手， :点P是线段BC上的一个动点（不与B,C重合）， .1<a<4, wp00m-5-ea-, 5 当a- )时，So2-号，此时AOP0面积的最大 9 ∴AOPQ面积的最大值为8： (3)过点B作FH∥x轴，过点C作CF⊥FH,过点D作DH⊥FH,如图所示： 34157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Fh- .∠CFB=∠DHB=90°， ,BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD, .∠CBD=90,CB=BD .∠CBF+∠DBH=90°， .∠CBF+∠FCB=90°， .∠DBH=∠FCB :△CFB≌ABHD(AAS), ..CF=BH,BF=DH （1,4) ,点B的坐标为 4,1) ,点C的坐标为 CF=4-1=3,BF=4-1=3, ..DH=BF=3,BH=CF=3. .FH=6. :D(7,4) :BD=V32+32=32 y=-x+5 当y=0时，x=5, 35157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .A(5,0) :D=7-5+(4-0=25.A0=5, 4B-VAD-BD= 假设点M在如图所示位置， ,∠ADB+∠MAO=90°，∠ADB+∠DAB=90°， ∴.∠DAB=∠MAO. :∠DBA=∠MOA=90°， .△ADB∽△MAO MO_BD=3 :AO AB .M0=3A0=15. .M(0,15), 同理：M'(0,-15), 综上可得：点M的坐标为0,15)或Q-15) 55.(1)k=4 【详解】(1)解：如图，设线段AB交y轴于点G, YA G ·∠BA0=45°，∠AOG=90°， .△AOG是等腰直角三角形， 36157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .A0=OG=3 :G0,3) 设直线AB的解析式为y=+b,则： b=3 -3k'+b=0, b=3 解得k=1, y=x+3 代入 B(m,)得， .m+3=4, 解得m=1, :804) :4s← 1 k=4: 4 En, (2)解：设(”n, F(x.y), 设直线OB的解析式为y=ar, 由81,4)得a=4, ∴.直线OB的解析式为y=4x, ①当点E在第三象限且点E是AF的中点时， 3+x=n,0+y=4 .2 ,2n’ 8 .x=2n+3,y=8 n' 37157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F2n+38 ,点F在直线y=4x上， 4(2n+3)=8 n 1 解得n=-2或”=2（舍去）， 经检验，n=-2为原分式方程的解， E(-2-2) ②当点E在第三象限且AF=2EF时，如图，作FM⊥x轴交x轴于点M,作EN⊥x轴交x轴于点N, E .△AFM∽△AEN, AM FM AF ·AN=ENAE' AF =2EF, .AF 2 ·AE3 38157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x-(-3)-y_2 三 n-(-3)_43, 2 8 .x=5n-1,y= 3 3n 2 :点F在直线y=4x上， 传-小 解得n=2(舍去)或”= 2, 经检验，m=一2为原分式方程的解， ③当点E在第一象限且AF=2EF时，如图，作FP⊥x轴交x轴于点P,作EQLx轴交x轴于点O, E A △AFPP△AEQ x-(-3)y2 同②可得n-(（-3)43, n 2 8 “x=2n-l,y=」 3 3n’ 39157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得a-l) ,点F在直线y=4x上， 仔品 1 解得n=2或”=-2（舍去）， 经检验，n=2为原分式方程的解， E2,2) 2m+38 ④当点E在第一象限且点E是AF的中点时，同①可得 ) ,点F在直线y=4x上， .4(2n+3)=8 n' 解得=-2（舍去）或n 2 1 经检验，”=2为原分式方程的解， 此时点E在直线AB的上方，不符合题意，舍； 40157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上可知， 2号ta E 56.(I)证明：正方形ABCD, .∠ADB=LABD=∠CDB=∠CBD=45°， :∠EDF=45°， .∠EDB+∠BDF=45° .∠CDF+∠BDF=45°， .∠EDB=∠CDF, .△DBE∽△DCF: (2)3: 3)2. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD交AC于点O, D 图2 AB=6,BC=8. :4C=BD=V6+8=10 ,在矩形ABCD中，AC=BD」 ∴.0D=0C, .∠ODC=∠OCD, .AB∥CD, ∠ABD=LODC, .∠ABD=∠OCD. CD-,tan∠6Dr :an∠BDC=BC-4 Γ3 ∴.∠EDF=∠BDC, :∠EDF=∠EDB+∠BDF,∠BDC=∠BDF+∠FDC, 41157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EDB=LFDC. .△DBE∽△DCF, BE BD 5 CF DC 3' BE=5, .CF=3 (3)解：连接BD交AC于O点， :在菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5,AC=6,AC⊥BD, H 图3 00-4c=3.9D-20D 在Rt△ODC中，OD=VDC2-0C=4, 六BD=20D=8,an∠0DC=0C=3 OD 4, ,BD为菱形对角线， .∠HDB=∠ODC, ,BH⊥HD,AC⊥BD, .∠DHB=∠DOC=90°， .△OHBADOC, BH DB BH 8 ∴C0DC,即3=5 :BH=24 :HE=8 , ·BE=BH-HE=16 , 42157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :tan∠EDF=3 ’ tan∠ODC=3 .∠EDF=LODC. .LEDB=∠CDF, :BH⊥AD, .∠HBD+∠HDB=90°， :∠HDB=∠ODC,∠ODC+∠OCD=90°， .∠HBD=∠OCD. .△DBE∽△DCF, BE BD 8 .CFDC5’ CF=5BE Sx16 =2 8 P 57.(I)①：ADBE是△ABC的中线， .BD=CD,AE=CE, .GM=CG. :.DG、EG分别是△CBM和△CAM的中位线， .DGII BM,EG∥AM, .四边形AMBG是平行四边形， .AF=FB, .CF是△ABC的中线： ②，DG是△CBM的中位线， .BM=2DG. ,四边形AMBG是平行四边形， .BM=AG, ..AG=2DG: (2)8 .2 6)5 【详解】(1)略 43157 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：如图2，连接CG, B D 图2 .∠ABC=90°，AB=6,BC=8, 5e6x8=24, :AD是△ABC的中线， 1 54m=25c=12, AG=2DG, 2 ,E是AC的中点， 1 S,o=234o=4, S四边形cDGE=SACD-SABc=12-4=8 (3)解：如图，作GF⊥BC于F,IH⊥BC于H,连接CI,则GF∥AB,GF∥H, E G》 HE D 图3 .△GFDAABD, GF FD GD 1 .AB BD AD 3' :AB=6,BD=)5C=4 :GF-14B-2,FD-1BD-4 3 3 3 44157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BF BD-FD=4- 48 33 ,∠ABC、∠BAC的角平分线交于点I, ∴.点I是△ABC的内心， “.点I到△ABC三边的距离相等， ∠ABC=90°，AB=6,BC=8, :4C=VAB2+BC=V6+82=10 设△ABC内切圆的半径为x,则IH=x, +Sa +Sg=Soc X6+810jxx=24, 解得x=2,即H=2, :∠HB1=2∠ABC=45°，∠HB=90 .△BHI是等腰直角三角形， ∴.BH=IH=2, :GF=IH=2,GF∥IH,∠IHF=90°， ∴.四边形IHFG是矩形， 8-2=1 .IG=HF BF-BH= 2 3 3 CD 58.(1)证明：E是的中点， :=元 .∠CAE=∠DAE, ∴.∠CAB=2∠CAE ∴.∠COF=∠CAB .OF∥AB」 CO CF AO BF' .CO=A0 45157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.CF=BF, F是CB的中点. (②)证明：连接CE,连接CD, B:∠ACB=90° ∴.∠OCE+∠ECF=90° :AC是⊙0的直径， .∠AEC=90°， .∠OCE+∠CAE=90° ,∠ECF=∠CAE, ∴.∠DAE=∠ECF ,四边形ACED是⊙O的内接四边形， :.∠ADE+∠ACE=180° OC=OE, ∴.∠OCE=∠OEC :∠CEF+∠OEC=180°， ∴.∠ADE=∠CEF, ∴.△ADE∽△CEF, AE DE CF EF ..AE.EF =DE.CF ,CF=BF」 AE·EF=DE·BF, o2-号5 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：AC=2,BC=4 46157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC=OE=1,CF=2 .AB=25,OF=5 ..EF =5-1 AC是⊙0的直径， .∠ADC=90 .∠ADC=∠ACB=90 :∠CAD=∠BAC ∴.RtAADC∽Rt△ACB. .AD_AC AC AB D-号5 ,'△ADE∽△CEF, DE AD `EFCE· .DE-CE-AD-EF=2-25 5 .CE=DE ∴.CE=DE DE2=235 59.(1)1 (2)证明：菱形ABCD,∠B=60°， .AB∥CD,∠ACB=∠ACD, .∠BCD=120°， ∴.∠ACB=∠ACD=60° 如图：在CB上截取CK=CE,连接EK, 47157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A」 D B K F 由(1)知△ABC是等边三角形，∠ACB=60°， ·△EKC是等边三角形，∠KEC=60°， .EK=EC,∠EKF=60°=∠ECG, ∠FEG=60°.∠FCG=120°， ∴.∠EFC+∠EGC=180°，∠FEK=∠CEG, :∠EFC+∠EFK=180°， .∠EFK=LEGC, ∴.△EKF≌△ECG(AAS) ∴.EF=EG, :.△EFG是等边三角形. 9co-改c6} Q 2 (④)运动的路径长为 【详解】(1)解：如图， A P D E B F C :菱形ABCD,∠B=60°， .AB=BC,AD∥BC, ∴.△ABC为等边三角形，△APE∽△CFE, .AB=BC=AC, .CE=3AE=3, .AE=1,AC=4=BC, 48157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△APE∽△CFE, AP AE 1 CF CE 3' AP=BF, BF AE 1 CFCE3 BF=1. (2)略 (3)解：如图：在CB上截取CK=CE,连接EK, A E G KF 由(2)知△EFG是等边三角形 .∠GEF=∠EGF=60°=∠ECF, 结合三角形内角和定理可得：∠CEG=∠CFG, :∠B=60°，AB∥CD. .∠FCG=120°=∠PEG」 当△PEG∽△GCF时，则∠EGP=∠CFG=∠CEG .PG∥AC, AP CG ∴AD=CD,而AD=CD' ..AP=CG. ,△AEPOACEF, AP AE 1 ∴CFCE3' ..CF =3AP=3CG. 设CG=a,则CF=3a,KF=a,EC=KC=4a, 六46=a,cD=4C=16 3 a, 16 30=4, 49157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：a=,即CG= 3 4 如图，当△PEG∽△FCG时， A E, B K F PE EG FC CG' .GE=EF, PE FC ∴EF=CG’ PE AP AE 1 同理可得： EF CF CE 3 设AP=m,则CF=3m, 同理可得CK=CE=3, .FK=CG=3-3m, 3m_1 …3-3m3, 1 解得：m= 4 .CG=3-3m=3-3=9 44, 综：cG=cG} 4 (4)解：如图，过F作FO⊥EG于O,取CE的中点R,连接RO, A D D B :△EFG为等边三角形， 50157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EF0=30°，∠E0F=90°，E0=G0, :Rt△EFO即为符合条件的三角形，RO∥CD, “.O在过R且平行于CD的直线上， 当F,B重合时，如图，连接CG,当F,C重合时，G,T重合，2J重合， ∴线段Q,是Q运动的路径长， A (F)B 同理可得：RQ∥CG .RQ∥CD G,C,T,D共线， 同理可得：CG=BK=1,CT=CE=3, .GT=1+3=4, 而Q,是△EGT的中位线， 1 ∴W=2G7=2, Q运动的路径长为2. 60.(1)= 719-4 3)10 【详解】(1)解：~四边形ABCD为正方形 .AB=AD,∠ABC=∠D=90°， 51157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG⊥AF, .∠GAF=90°=∠BAD, ∴.∠GAB=∠GAF-∠BAF=∠BAD-∠BAF=∠FAD, 又点G在CB的延长线上， .∠ABG=180°-∠ABC=180°-90°=90°=∠D, 在△ABG与△ADF中： ∠BAG=∠DAF AB=AD∠ABG=∠D=90' ∴.△ABG≌△ADF(ASA) :.AG=AF,BG=DF :∠EAF=45°，∠GAF=90° ∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF 在△AGE与△AEF中： GA=FA,∠GAE=∠FAE,AE=EA ∴.△AGE≌△AEF(SAS) ∴.S.AGE=SAEF 又点B在线段GE上， S.4GE=SAE+S48G=SBE+S.4DF 即S△MBr=S△HBE+S△MDF: (2)解：如图所示，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM,过点E作EG⊥AF交AF于点G,过 点E作EH⊥AM交AM于点H, D H :.△ADF≌△ABM,AF=AM,∠HAG=∠AGE=∠AHE=90°， 52157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形AHEG为矩形， :AG=EH,AH=EG,∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°， ,△ADF≌△ABM, .∠ABM=∠ADC=90°，∠MAB=∠FAD, .∠ABM+∠ABC=180°， 点M,B,C三点共线： :∠MAB=∠FAD,∠EAF=30°，∠BAD=90°， .∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠MAB=6O°， 即∠MAE=60°： 在Rt△AEG中，∠EAF=30°， :tan∠EAF=tan30°-EG-V5 AG 3, S.AMAM.EH,S.-AF EG,AF=AM,EH=AG. 2 2AF·EGEG-5 S.AEM 3 3 S△MBW最小时 S.AEF最小， 如图，作△AEM的外接圆，圆心为O,连接OA,OM,OE,过点O作ON⊥ME于点N, A B 图2 .∠MAE=60° ·.∠MOE=120° .:∠MON=∠MOE=60 53157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OV-OM 设ME=2x,则MN=x, °x0M=25 ON=3 40+ON=MO+ON=3x .OA+ON>AB :v3r≥1 号 :Se=号4BxME=5x2x1=x 2 :e 3 5 即△AME的最小值为3 =55_1 333, 1 ∴.△AEF面积的最小值为3， ,及e-9m+) (3)解：如图，过点A作CD,BC的垂线，垂足分别为G,H,过点A作AM L AF交CB的延长线于点M, 54157 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D N B 图3 ∴.∠G=∠C=∠CHA=90° ∴.四边形AGCH是矩形， ∴.∠GAH=90° .∠DAB=∠GAH=90° ·.∠GAD=∠HAB=90°-∠DAH ·.△AGD∽△AHB AG AD 2 ∴AHAB3 .∠FAM=∠GAH=90° ∴.∠GAF=∠HAM=90°-∠FAM ∴.△AGF∽△AHM AFAG_2 ·.AMAH3 DF AD 2 同理可得ADFAABM,则BMAB3 im∠EAF设∠E4Fa ÷m(90-a)-号。 3 -4 .∠GAF+∠FAE+∠EAH=90° ·.∠GAF+∠EAH=∠HAM+∠EAH=∠EAM=90°-a 过点E,F分别作AE,AM的垂线，垂足分别为K,N 则FK=AFsina,EN=AEsin(90°-a) 55157 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 SAEF= 2 AE×AF×sina AFx3 AF、3231 -X .S。AEM 1 4M×AExsin(90°-a）AM×5 4AM4342 S取得最小值时S矿取得最小值。 由（②）可得=M时，SA"取得最小值，此时M册垂直平分E山 如图所示，作△AEM的外接圆，圆心为O, A E H .∠EAM=90°- .∠EOM=180°-2a ∴.∠OEH=a OH 3 ..sina= 0E5,设0H=3a,则A0=0E=5a .EH=4a,AH =3a+5a=8a :tan∠EAH=EH-l AH 2 r-片：则8w-F- 2 4 设B=3x·则E=M=B+BM=3x+子，GD=HB=2x 4 3 4H=2M=6x+3,则0=cG-60=6+ 3-2x=4x+2 CH-4G-H=4x+1 .BC=CH+BH=4x+1+3x=7x+1 连接DB 56157 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图3 CD+CB=AD2+AB2=2+32=13 +(7x+1)2=13 2 x=9-2 解得： 10(负值舍去) :Bc=7i9-4 10 57157函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题17相似三角形 1年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 江苏考情(2026) 命题规律 以选择、填空或基础解答题形式考查。依托网格、四 考点01平行线分 2026南京卷 边形、圆等图形载体，核心考查平行线分线段成比例 线段成比例定理 2026无锡卷 的基本图形与比例线段推导；命题侧重基础模型识 别，难度一般较低。 以选择、填空及证明计算题形式考查。依托三角形折 考点02相似三角 2026苏州卷 叠、动点、实际测量等情境，核心考查相似三角形判 形性质与判定综合 2026盐城卷 定定理、性质及对应边比例关系：命题常融合角度、 面积与线段长度计算，属于中档高频考点。 以解答题形式考查。依托平面直角坐标系、一次函 考点03相似三角 2026南京卷 数、反比例函数等载体，核心考查相似三角形与函数 形与函数综合 2026常州卷 图象交点、线段比例、面积关系的综合应用；命题侧 重数形结合与代数运算，难度中等偏上。 以压轴解答题形式考查。依托矩形、正方形、圆、翻 考点04相似三角 2026南京卷 折、旋转、新定义等综合背景，核心考查相似三角形 形与几何综合 2026无锡卷 判定、性质、比例转化及几何推理；命题常作为模块 难点，强调多结论判断、辅助线构造与综合论证。 一年真题分类园 考点01平行线分线段成比例定理 1.(2026江苏盐城中考真题)小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2)是由 1/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12个大小相同的小正方形组成的.若小正方形的边长为30©m,则线段DE的长为(） D B 图1 图2 A.15cm B.20cm C.30cm D.35cm 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证DE是△ABC的中位线，进而利用三角形中位线定理求解 【详解】解：如图， G 分 D 图2 .DF∥BG, AD AF ·BDFG =1, .AD=BD .EF‖CG. AE_AF=1 CE FG .AE=CE, .DE是△ABC的中位线， .DE=IBC 2 :小正方形的边长为30cm, .BC=60 cm 2/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE= -BC=30 cm 2 2.(2026江苏镇江中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD<BC,∠A=90°，以CD为直 径作OO,分别交BC,BD于点E,F,DE,CF相交于点M, D (I)△DAB与△MEC相似吗？为什么？ (②)已知AB=BC=6,AD=2，,N为BC的中点，连接MN. ①求ME,MN的长： ②仅用一把无刻度的直尺在线段DM上作一点P,使得△PMN为等腰三角形.（要求：不写作法，保留作 图痕迹) 【答案】(1)相似 理由：：AD∥BC,∠A=90°， .∠ABE=180°-∠A=90°， :CD是⊙O的直径， .∠DEC=90°， LDEB=90°， :.四边形ABED是矩形， AB∥DE, 、∠ABD=∠BDE, 又∠FDE=∠FCE,即∠BDE=∠MCE, .∠ABD=∠MCE, 又∠A=∠MEC=90°， :△ABDECM: QXDME-3 MN- 4 ②如图，△PMN即为所求， 3/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【分析】(1)根据平行线的性质求出∠ABE=90°，根据直径所对的圆周角是直角得出∠DEC=90°，证 明四边形ABED是矩形，根据矩形的性质和平行线的性质得出∠ABD=∠BDE,结合∠A=∠MEC=9O°即 可证明△ABD∽aMCE: (②)①根据矩形的性质、线段和差关系求出EC=4,根据相似三角形的性质求出ME 3,根据勾股定理 求出MN=3即可： ②连接AE交BD于G,连接OG交DE于P,连接MN即可. 【详解】(1)略 (2)解：①，四边形ABED是矩形，AD=2, ∴.BE=AD=2, ,BC=6. ∴.EC=BC-BE=4. ,△ABD∽△ECM,AB=6, AD AB 26 ·EM=EC,即EM=4 解得EM=4 ,经检验，符合题意， N为BC的中点， 片BN=8C=3 .EN BN-BE =1. MN=VEMP+EN =5 3 ②作图见答案 理由：，四边形ABED是矩形， 4/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴G是BD中点，DE=AB=6, 又O是CD中点， G0∥BC, DP-D0=1」 EP CO :.DP=EP=IDE=3 1 MP=EP-EM=5 又w=S 3 “.MN=MP,即△PMN是等腰三角形. 考点02相似三角形性质与判定综合 1.(2026-江苏无锡中考真题)在直角三角形纸片1BC中，∠C=90°，AC=2.BC=5 点D在边 AB上，将△ACD沿CD翻折，得到△ACD.当AC∥DB时，△A'CD与△BCD重叠部分的面积是() 5 25 2v5 4v5 A.4 B.3 c.9 D.9 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出AB=3,再由翻折的性质得A'C=AC=2,设AD与BC交于点E,然后 DE=I4D=2 S.ACD=AD2 说明△A'CEADBE,可得 3 进而得电S。BcAB3,接下来求出Oa4CD=二、 ,即可 得出答案， 【详解】解：在Rt△4BC中，∠C=90°，AC=2.BC=V5 由勾股定理得4B=V4C2+BC=V22+W5=3 由翻折的性质得A'C=AC=2,∠ACD=∠ACD,AD=AD A'C DB 5/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A'CD=∠ADC, .∠ACD=∠ADC, .AD=AC=2. A'D=2,BD=AB-AD=3-2=1, 设AD与BC交于点E, A'CI BD .∠A'=∠BDE,∠A'CE=∠B, ∴.△A'CE∽△DBE AE A'C 2 DE BD 1 2 DE=3D=5, :aCDE与△A'CD同高（顶点为C,底边在A'D上）， S.CDE=DE1 S.4CD AD-3 :△ACD与△ABC同高（顶点为C,底边在AB上）， S@=4D_2 又m-分4cc=x2x5=5, 5o-号5 25 由翻折得 S.4CD=S.ACD= 3, 12W525 .S.ce=339, 25 即△A'CD与△BCD重叠部分的面积是9· 6/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E OB 1 2.(2026江苏盐城中考真题)如图，AD与BC相交于点0，∠A=∠B,OA3,AC=6,则BD的长 为 【答案】2 OB BD 【分析】先证明△BOD△AOC,则可得OAAC,进而可求出BD的长. 【详解】解：，在△BOD和△AOC中， ∠BOD=∠AOC,∠B=∠A, .△BODP△AOC, OB BD ·OAAC, OB 1 :OA3,AC=6: 1 BD 36, 解得BD=2. 3.(2026江苏常州中考真题)如图，一架无人机在高30m的点M处可探测到的水平地面区域的宽度 AB=80m,再垂直上升l5m,到达点N处，可探测到的水平地面区域的宽度为CD,已知 ∠AMB=∠CND,MA=MB,NC=ND,则CD= m 7/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5m 30m C 【答案】120 【分析】证明△MAB∽aNCD,根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案. 【详解】解：，MA=MB,NC=ND, ∴.∠MAB=∠MBA,∠NCD=∠NDC, ÷∠M4B=∠MBA=08o-∠AB).∠NcD=∠DC-8-∠CD), ,∠AMB=∠CND ∴.∠MAB=∠NCD .△MABANCD, CD_30+15=3 :.AB 302 3 ..CD= AB=120(m） 4. (2026江苏常州中考真题)综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长MN为1.2m、宽为0.5m,小丽的身高AB 为1.6m,眼睛距离地面的高度QB为1.5m. 0.5m→ 物理学告诉我们：平面 1.2m 镜成像时，物与像关于镜面 对称. 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面MN与地面！垂直，然后直立在试衣镜的正前方. 8/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M￠ M 609 460° 7777 T7777779T771 sm B B' 图1 图2 图3 图4 (I)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像AB'.(保留作图痕迹，不要求写作法) (②)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为C,求B'C的长 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面MN后倾，与地面的夹角为60°，然后直立在试衣镜的正前方， (③)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿N的最远、最近距离分别为sm,tm.如图3 是小丽和试衣镜下边沿N的距离为s时的示意图，求s的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿N的 距离为tm时的示意图（无需尺规作图），再列出关于t的方程（无需化简和解方程）， M 【答案】(1) B 人)- 图1 (2)B'C'的长为0.9m. Hh. 3) :示意图： ;方程： B 60° R 777 335 25 V3,,73.43 S= 2 图4 21+102+5 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三 角形的判定与性质， (1)根据镜面成像的概念，AB与AB关于MN对称，过点B作直线的垂线，再在I的垂线上截取 9/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB'=AB即可. ②过点C作cc10于点C,交W于点D,设BC=m,则0cC=(5-m,MD=2-m,正 1.2-x-1 明aC'DMaC'CQ即可得到1.5-x2,解方程即可求得B'C的长， (3)小丽能看到自己全身像的最近、最远距离分别是从镜子的下边沿刚好看到自己的脚（即Q,N,B'三 点一线)和从镜子的上边沿刚好看到自己的头（即O,M,A'三点一线）· 连接BB',交MW的延长线于点E,由对顶角和轴对称的性质分别求得∠BNE和∠B'WE的度数，即可求得 LONB RtAOBN 的度数，在 中解直角三角形即可求得BN的长，从而求得°的值，连接1M,交M的延 BN 长线于点O,分别延长AB,MN交于点P,连接A'P,易证明△APA'为等边三角形，从而求得AA',AP 的长，过点A作AH⊥AP于点H,过点M作MT⊥AP于点T,过点N作NS⊥MT于点S,易得 OT TM QTMOHA,并求得S'MS的长，从而可得OHHM,分别求得Qr:QH:TM'HH的长，代 OT TM 入OH,即可得出关于，的方程（方程表示形式不唯一，正确即可）· 【详解】(1)解：如图1，A'B'即为所求作， 图1 (2)解：如图2，过点C作CC⊥AB于点C,交MN于点D, B 图2 10/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意，得AB⊥I,MN⊥1，B'C⊥1， ∴.四边形B'CCB,B'CDN,BCDN均为矩形. .CC'=BB',CD=BN,C'D=B'N,BC=ND=B'C", 设B'C'=xm,则DN=BC=m, ..OC=OB-BC =(1.5-x)m MD=MN-DN =(1.2-x)m 由题意，BN=B'N, .CD=C'D,C'C=2C'D AB//MN ∴.aC'DMAC'CQ, MD C'D 1.2-x_1 gCc'C,即i.5-x2: 解得x=0.9,即B'C的长为0.9m (3)解：如图3，小丽和试衣镜下边沿N的最远距离为sm,则眼睛Q、试衣镜下边沿N、点B在一条直 线上，连接BB,交MN的延长线于点E,则∠BNE=6O°， 60o 7又77 777777 A sm E B 图3 .∴∠B'NE=∠BNE=60° .∠QWB=180°-∠BNE-∠B'NE=60° 在RtAOBN中，QB=1.5m, ∴BN= OB 1.53 tanZONB3=2 (m) 2. 如图4，小丽和试衣镜下边沿N的最近距离为tm,则眼睛Q、试衣镜上边沿M、点A在一条直线上，连 接AA',交NM的延长线于点O,分别延长AB,MN交于点P,连接AP,交I于点R 11/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A 60° 点， 关于直线 对称， P 图4 .A A' MN AA'⊥MN,AP=AP, .∠ABN=∠AON=90°， ∴.∠A=∠MNR=60°， △APA为等边三角形 在Rt△BPV中， BP=3BN =3tm ∴.AA=AP=BP+AB= ） 3+5 m 过点作HLAP于点H:过点M作MT⊥AP于点T·过点N作S⊥MT于点，则4I=PH=P, MTAH :.△QTM∽aQHA',四边形BNST是矩形， OT TM OH H BT=NS=MN.sin60x33 号x2-S(m).5=BN=m, QT =QB-BT =QB-NS 33V3 25m m=-0-4-A0-)05+ 12/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 TM=TS+MS-BN+MS-+5m HA=AA.sin60° 335 t+- 25 关于的方程为3，73，45，（方程表示形式不唯一，正确即可） -t+ -t+ t 2102 5 5.(2026江苏南通中考真题)主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行 研究。 【数学情境】 在平面直角坐标系0中，将 点M(m,)(m23)绕点0逆时针旋转得到点4.旋转角为Q( 30°≤a≤60°)，点A关于直线OM的对称点为B.分别过点A,B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别 为C,D.设线段AB与OM交于点E,连接CE,DE. 图1 图2 【特例感知】 (1)如图1，当m=3,0=45°时，求线段AB的长. 【猜想证明】 (②)在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段CE,DE的大小关系，并说明理由. 【拓广探索】 B)若w:cosa=OC+OD,求实数w的取值范围. 【答案】0)25 (2)解：图形如图所示： 13/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM D ，理由如下： CE=DE 如图，延长DE交AC于点F, M ,点A、B关于OM对称， ∴AE=BE, :AC⊥x轴，BD⊥x轴， .AC∥BD,∠ACD=90°， ∴.∠CAE=∠DBE, 在△AEF和△BED中， [∠CAE=∠DBE AE=BE ∠AEF=∠BED' :△1EF≌aBED(ASM)） .EF=DE,即点E为DF的中点， 在RIACDF中，点E为DF的中点， ∴.CE=DE; 3)w≥6 【分析】(1)由旋转与轴对称的性质可得，△1O V10 是腰长为“的等腰直角三角形，使用勾股定理求出 AB即可； 14/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)按要求作出图形，延长DE交AC于点F,容易证明 AEF≌△BED(ASA ,则EF=DE,由直角三角 形的性质即可得出CE=DE: OE (3)分别过点E、M作EG⊥x轴，MH⊥x轴，由余弦函数的定义可得cosQ=OA,结合旋转的性质可 C Q正EQG 得c0s= M:容易证明△cE6∽A△0H,则cosa OM=O1.由等腰三角形的性质可得CG=DG: 则QC+QD=20G,结合题干条件可得W=2m,代入m的取值范围即可. M(3,1) 【详解】(1)解：由题意可得 .0M=3-0}+1-0=o 由旋转的性质可得， O1=OM=V10∠AaM=a=45° 由轴对称的性质可得， OB=OA=V10∠B0M=∠AOM=45° ∴.∠AOB=∠AOM+∠BOM=90 在RA4OB中，AB=VO+OB=Vio+O=25: (2)略 (3)解：如图，分别过点E、M作EG⊥x轴，MH⊥x轴， y G :点A、B关于OM对称， .AB⊥OM, 在RaA0E中，cos∠A0E=O OA .∠AOE=a,OA=OM, 15/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE ∴.cosa= a' ,EG⊥x轴，MH⊥x轴， :.∠0E=∠CHM=90°， .∠EOG=∠0H, ∴.△EG∽△OMH, OE OG ∴0M=0 OG ∴.Cosa= aH, 由(2)可得，CE=DE, :EG⊥x轴， ∴.CG=DG, ..OC+OD OG-CG+G+DG 20G. :Ma),MLx轴。 ..OH=m, ..w.cosa =OC+OD. OG w C =206, .w=20H=2m, .m≥3， w≥6 6.(2026江苏宿迁·中考真题)按要求解题： B B∠ 图1 图2 图3 (I)【问题猜想】如图1，在△ABC中，AB=AC,D是BC中点，点E、F分别在AB、CA的延长线上， 且DF=DE,请猜想∠E与∠F的大小关系，并证明. (②)【问题探究】如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，点E、F分别在AB、CA的延长线上， 16/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD DE 且DC=DF.求证：∠E=∠F· 3)【问题延伸】如图3，在△ABC中，D是BC中点，AB<AC,点E、F分别在AB、CA的延长线上， AC DE 且ABDF.求证：∠E=∠F· 【答案】I)解：∠E=∠P,证明如下： 如图，延长FC至点G,使得CG=BE,连接DG, B AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, .180°-∠ABC=180°-∠ACB,即∠EBD=∠GCD, :D是BC的中点， .BD=CD, 在△DBE和△DCG中， BE=CG ∠EBD=∠GCD BD=CD ADBE≌ADCG(SAS) .∠E=∠G,DE=DG, .DF=DE, :.DG=DF, .∠G=∠F, .∠E=∠F (2)证明：如图，作∠CDM=∠BDE,交FC延长线于点M, 17/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B M AB=AC. .∠ABC=∠ACB, ∴.180°-∠ABC=180°-∠ACB,即∠EBD=∠MCD, 在△DBE和△DCM中， ∠BDE=∠CDM ∠EBD=∠MCD, .△DBEr△DCM, BD DE ·DCDM'∠E=∠M' BD DE “DCDF, DE DE DE DM ∴.DF=DM, .∠F=∠M, ∠E=∠F. B)证明：如图，过点D作DH⊥AB于点H,作ON L AC于点N,连接AD, B 则∠DHE=∠DNF=90° :D是BC的中点， S.ABD=SACD 18/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1ABDH=,AC·DN, .2 AC DH .AB DN' AC DE AB DF DE DH DE DN' DE DF DH DN DE DF 设DH DN =k(k>1).DE=KDH DF=kDN' EHDE2-DH2 (KDH)-DH2 k2-1DH DH DE :FN DF2-DN2 (kDN)-DN2 k2-1DN DN DF .△DEHADFN. ∴∠E=∠F 【分析】(1)∠E=∠F,证明过程为：延长FC至点G,使得CG=BE,连接DG,先得出 △DBE≌aDCG,则∠E=∠G,DE=DG,进而可得DG=DF,再根据等腰三角形的性质可得∠G=∠F 由此即可得： BD DE (②)作∠CDM=∠BDE,交FC延长线于点M,先得出DBEADCM,则DCDM,∠E=∠M,进 而可得DF=DM,再根据等腰三角形的性质可得∠F=∠M,由此即可得证； AC DH DE DH (3)过点D作DH上AB于点H,作DN⊥AC于点N,连接AD,先得出ABDN,则DF=DN,再 得出△DEH∽aDFN,由此即可得证. 【详解】(1)略. (2)略. (3)略 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形. 考点03相似三角形与函数综合 1,（2026江苏宿迁中考真题)如图，直线y=kx+b与坐标铂交于点A和B0,-2》,与反比例图数少=-6 19/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CA 1 的图象交于点C和D,连接OC、OD,若AB2,则△COD的面积为() B A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【分析】利用相似三角形性质求出点C坐标，联立方程求出点D坐标，利用面积和差法求解 【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E, B B(0,-2) OB=2, CE⊥x轴，B0⊥x轴， .CE∥BO, ∴.△ACEP△ABO, CE CA1 BOAB2· :CE=OB ?点C在第二象限， .点C的纵坐标为1， 把y=1代入少=-6 ,得x=6: ∴C(-6,1) 20/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C(-6,1),B0,-2)代入y=+b 把 k22 1 [-6k+b=1 得了 b=-2，解得 b=-2 直线解析式为y=2-2, 1 y=2-2 联立 6, y=- x x=-6「62=2 解得y=1,y2=-3, .D2,-3) ∴.Scon=S.coB+SB0D 1 =22x6+号×2x2 1 1 =6+2 =8 2。(2026江水无中考真思)如图，点4在反比例函数y=真x>0的图象上，过4分别作x拍、y轴 的平行线，与反比例两数y=生(：>0的图象相交于点B:C·过c作销的平行线，与反比例函数 F的图象相交于点D(其中k,k2为常数，且k>,>0)· 21/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y O y-x 0 (1)若点 (6,5),AB=2,则，= Q法点的横坐标为2.且△18C,C1D,求与之间的数里关系 3)延长CB,DA相交于点P,当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值？若是，请求出这个 定值；若不是，请说明理由， 【答案】(1)5 2名=16 k(k-k2) )当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积为定值，定值是2k, 【分析】)根据1Bx轴，结合点A坐标，可设 (x,5) ,再根据AB的长列出方程，解出即可得B的坐 标，再把B的坐标代入y=名 ,即可解得飞，的值。 (②把点4的碳坐标代入y兰>0，即可得点4的坐标，再根据A份轴。AC1)兼。CD1前， 即可得点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等，点C与点D的纵坐标相等，进一步表示出点 AB AC B、C、D的坐标，即可求出AB、AC、CD,最后根据△ABC∽aCAD得CACD,代入数据计算即可得 k的值 (3)设点A的坐标为a 根据平行线的坐标特点，即可求出点B、C、D的坐标，进一步求出AB、 22/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB AC、CD,可得CD,根据梯形面积公式求出S梯形o,根据题目得AB川CD,根据平行线性质得 2 ∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC,可证明△PBA∽△PCD,根据相似三角形性质得S,D 再根 2 k2 据Spa4=Sm-SO,即可得rm-S#形om=S. k, 代入数据解出即可得aPCD的面积为定 k(k-k2) 值，定值是2k2· 【详解】（山解：：4B川x轴，135）， B(x,5) AB=2, ∴，AB=3-x=2,解得：x=1, .B(1,5) B(山，5)在y=的图象上， 1,解得：飞，=5， ∴.的值为5. (②解：点4的横坐标为2，且点4在反比例函数y么c>0)的图象上， 2专) 六点A的坐标为2， :ABI川x轴，AC‖y轴， ∴.点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， ∴点B的纵坐标为2，点C的横坐标为2， 23/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点B、C在y= 的图象上， kik2 2k2 XB= :.2xB即： 2, CD∥x轴， ∴.点C与点D的纵坐标相等， ∴点D的纵坐标为=2， 女点D在少=元的图象上， 飞=k 2k xo2,解得： XD= k2, D25≤） 气k2’2, AB=XA-XB= 2(k-k2) C=,-%-,CD=0-= 2(k-k) k, 2, k2, :△ABC∽△CAD AB AC .CA CD, 2(k-k2) ky-k2 k 2 k-k2(6-幻) 2 4-k3 k4, ,kk2=16 (3)解：如图1， 24/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D K2 个 图1 设点A的坐标为a, :AB‖x轴，AClly轴， ∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， k ∴点B的纵坐标为a,点c的横坐标为a, K2 :点BC在少=的图象上， ak, XB= .axg即： a, .k’a,(a, .CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， k2 ∴.点D的纵坐标为yo= a k :点D在y=的图象上， k-飞 ak XD= .pa,解得： k2, (k’a, 25/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a(k-k2) AB=XA-XB= k, 4C=,--4-6CD=n-=《-】 a, k3, 8-年.ae0c.代-- .CD k, 2k k2 根据题目条件得：AB川CD, ∴.∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC, ∴.△PBA∽△PCD, S,P4=S,PD-S形BC2 :.SPCD SaPCD SPcD-S梯形BcD S.PCD S.PCD- (-)k-k) 2k k2 =S. k,解得： S.PCD= k(k-k2) 2k2 k(k-k2) :.当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积为定值，定值是2k,, 考点04相似三角形与几何综合 1.(2026江苏苏州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,E是AB边上的动点（点E在 A,B之间运动，不与A,B重合)，过E作CE的垂线交AD边于点F,则AE+AF的最大值是() D B E 26/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 21 5 B.3 c.8 27 D.8 【答案】C 【分析】设AE=x,则BE=AB-AE=3-x,然后证明△AEF∽aBCE,表示出 亚+A=+6-)+头，再由三次函数的性质求解即 2 【详解】解：设AE=x,则BE=AB-AE=3-x ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90° CE⊥EF .∠AEF=LBCE=90°-∠BEC .△AEF∽aBCE AF AE ·BEBC AF=X …3-x2 ..4F=x3-x) 2 ÷AB+A=x+B.-x+5 2 2 1 20, 0<x<3: 5 当 2×2 2时， 取得最大值， AE+AF 入+4=+得（u4护分管号-总 5 将x= 2.(2026江苏常州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.矩形EFGH的顶点E,F, G,H分别在边AD,AB,BC,CD上（点E与点A,D不重合，AE>ED),若对于定点E,矩形 EFGH唯一确定，则DE的长为 27/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 4-V7 【答案】 【分析】设DE=x,则AE=8-x,求出0<x<4,证明△AEF∽aDHE,△AEF∽△BFG,△CGH∽△DHE, 利用相似的性质得到 m-6m+x8-)=0,对于定点E,矩形EFGH唯一确定，则关于m的方程 m2-6m+x(8-x)=0 有唯一的实数根，进一步求出答案即可。 【详解】解：在矩形ABCD中，CD=AB=6,AD=BC=8, 设DE=x,则AE=8-x, D H B 8-x>x 由题意可得，AE>ED,即x>0,解得0<x<4, ,四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形， .∠FEH=90°，∠A=∠D=90°， .∠AEF+∠DEH=90°，∠AFE+∠AEF=90°， ∴.∠AFE=∠DEH, ∴.△AEF∽aDHE, AF AE ·DEDH' 28/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设AF=m,DH=n,则BF=6-m, m_8-x xn :n=8-x) 同理可得，△AEF∽△BFG,△CGH∽△DHE, BF BG CG CH 则AEAF，DHDE' 6-m BG CG 6-n 8-xm'n x' .BG+CG=BC=8. ,m2-6m+x(8-x)=0 ,对于定点E,矩形EFGH唯一确定， 关于m的方程 m2-6m+x(8-x)=0 有唯一的实数根， 4=(6°-4x1xx(8-x)=0 解得术=4土V万 .0<x<4, :x=4-5 即DE=4-V7 3.(2026江苏南通中考真题)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE, 垂足为G.若EG=3,则正方形ABCD的边长为 29/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2v5 【答案】 ABCD 【分析】设正方形 2a 的边长为“，先利用正方形的性质和勾股定理求得 AE =5a 5a,则 G=5a-3 AG AB 证明。ABGAEAD得到DEAE,进而求得a=V5即可解答. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a,则AB=AD=CD=2a,∠D=∠BAD=90°， ∴.∠BAG+∠EAD=90° ,E是CD的中点， DE-CD-a, AE=VAD+DE=(2a)+a=5a .EG=3. AG=AE-EG=V5a-3 :BF⊥AE, .∠AGB=90°=∠D, ∴.∠BAG+∠ABG=90°， .∠ABG=∠EAD .△ABGO△EAD. AG AB 5a-3 2a .DEAE,即aV5a, 解得06 ABCD 2N5 ∴正方形 的边长为 4.(2026江苏宿迁中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,将AB、BC、CD、DA分别 绕点B、C、D、A逆时针旋转(0°<<180)，得到BA'、CB、DC、AD,连接AB'、B'C'、CD、 DA. 下面四个结论： 30/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①四边形A'B'CD'为平行四边形： ②AB⊥BC: ③当a=90°时，四边形AB'CD'的面积为9； ④存在a,使得四边形A'B'CD'为矩形. D 其中正确结论的序号是 【答案】①② 【分析】对于①：证明 DMM≌△CC(SAS),则4D=BC,△BB≌△CD'(6SAS). 则4'B=CD 即可证明四边形AB'CD'为平行四边形：对于②：延长AB交B'C于点H, ∠9=180°-∠1-∠ABC=90°- ,那么 9+∠4=90° AB⊥BC 即可证明 ；对于③：先证明 AS,间理△DAC2△CA(SAS),则可求Sw=S号 S矩形ABCD=2×1=2 再相加即可求解四边形BCD的面积：对于④：先证明△D'A“△BB,再证明 △CAA∽△CBB',即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， AB=CD=L,BC=AD=2,∠ABC=∠BAD=∠BCD=90° AA,BB,CC',DD' 连接 31/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D' 3 4'61B 8 -J9.4】 B' 由旋转可得，BA=BA,DC=DC,∠I=∠2=∠3=∠4=a,AD=AD,CB=CB' .BA=BA'=DC=DC',AD'=CB', △BAA'≌△DCC'(SAS) ∴.AA'=CC BA=BA,∠I=a, &∠5=∠6=1800-&=90°- 2 2a, 同理，∠CBB'=∠CBB=∠7=∠8=90°-5C :∠DAA=360°-90°-∠3-∠5，∠B'CC'=360°-90°-∠4-∠7 ∴.∠D'AA=∠B'CC .△D'AA'≌△B'CC'(SAS) .A'D'=B'C', △A'BB'≌△C'DD'(SAS) 同理可得， .A'B'=C'D', ∴.四边形AB'CD'为平行四边形，故①正确： 延长AB交B'C于点H, .∠9=180°-∠1-∠ABC=90°-a ∴.∠9+∠4=90°， .BH⊥B'C,即AB⊥BC,故②正确： 当Q=90°时，点A,B,C共线，B,A,D'共线，A,D,C共线，D,C,B共线，如图， 32/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D' D A B B ,由旋转以及矩形ABCD可得，BA=BA'=DC=DC',AD'=AD=BC=B'C ∴，BD'=DB ∠ABD'=∠C'DB'=90 △A'BD'≌△C'DB'(SAS) △D'AC'≌△B'CA(SAS) ,同理 .S△ABD=SACDR= ×1x+2)=3 1 5o=Sex2x2+）=3 .S矩形1Bcn=2×1=2 3 “.S四边形r8Cn=2×+2×3+2=11,故③错误： 当四边形A'B'CD'为矩形时，∠DAB=90° 1 ∠6=90°- ∠DA'A+∠B'A'B=90°- (w-j) ·∠CBB=90°- 2,BH LB'C 2BM=90-a=ABB+∠BB .∠DAA=∠AB'B 同上可得，∠D'AA'=∠ABB, ∴.△D'AA'∽△ABB A'B BB'AB 1 D'AAA'AD 2 33/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :1=∠4=a,∠5=∠CBB=90°-1 △CAA'∽△CBB' B-BCG-2,与上式3矛盾，故0情误， BB'1 :.AA'AB 综上其中正确结论的序号是①②， 5.(2026江苏苏州中考真题)如图，P是以AB为直径的⊙0外一点，C为⊙0上的一点，PA是⊙0的 切线，BCIIOP,D为OB的中点，连接DP交OC于E. O D B I)求证：PC是⊙O的切线； (2)若0A=2,PA=4 ①求BC的长： ②求tan∠PEC的值. 【答案】(I)证明：PA为⊙0的切线， .PA⊥OA, .∠PA0=90°， .BC∥OP, :.∠AOP=∠B,∠COP=∠OCB .OB=OC, .∠B=∠OCB, ∴.∠AOP=∠COP ,在△AOP和△COP中， OA=OC ∠AOP=∠COP OP=OP △AOP≌ACOP(SAS) 34/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠PC0=∠PA0=90° :0C是⊙0的半径， PC为⊙0的切线. ②08c-号5：②mec- > 【分析】(1)由PA为⊙0的切线，得到∠P40=90°.根据平行线的性质得到 ∠10P=∠B,∠COP=∠0CB,结合∠B=∠0CB,得到∠AOP=∠COP,从而证明 AOP≌△COP(SAS) 因此∠PC0=∠PAO=90°，即可得证结论； 2)①连接AC,通过解直角三角形得到cos<4OP-A0、√公 OP5,因此 osB=cos∠40P=V5 ,由AB是 ⊙0的直径得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中解直角三角形即可求解： ②方法-：取OC的中点F:连接DF:则OF=CF-0C=L,根折。AOP2COP得到pH=PC=4:根 据三角形中位线的性摄得到DF/BC,DF-8C-25 EF DF 1 2 5.证明△DEF∽aPEO,得出OEOP5,进 而可求出CE,从而在Rt△PCE中，根据正切的定义即可求解： 方法二：过点D作DG∥OC,交PO的延长线于点G.证明△ODG∽aBOC,根据相似三角形的对应边成 比例求出OG,DG,进而求出PG.再证明△POE∽aPGD,求出OE,即可求出CE,从而在Rt△PCE中， 根据正切的定义即可求解， 【详解】(1)略 (2)解：①连接AC. ,在Rt△APO中，OA=2,PA=4, 35/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OP-JO+P=25 cos∠A0P=40-2-V5 0P255. :∠B=∠AOP, cosB=c0s∠A0P=5 AB是⊙O的直径， .AB=2OA=4,∠ACB=90° BC-4B-cosB=4x55 55 ②方法-：取oc的中点F:连接Dp·则OF=CF0C=×2=1. 2 2 :△AOP≌ACOP ∴.PA=PC=4 :点D,F分别为OB,OC的中点， .DF是△OBC的中位线， DF∥BC, Bc=25 DF= . BC∥OP, ..DF lOP, ∴.△DEF∽aPEO. 25 .EF=DF=5=1, OE OP 25 5 36/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF-1F0= 6 , CE=EF+CF= 6 tan∠PEC= PC424 ∴在 中， Rt△PCE 6 方法二：过点D作DG∥OC,交PO的延长线于点G. G. E D B .∠ODG=∠BOC BC∥OP, ∴∠GOD=∠B, ∴.△ODGABOC OG DG OD 1 ·BC OC B02 ÷0G=8c=5,DG=5oC=l, 1 PG=P0+0G=2V5+25_125 5 5 :DG∥OC, △POEAPGD, 25-0E :P0_0E,即1251， PG DG 0E= 6， ·CE=0C-0E=2-5_7 66 .△AOP≌△COP .PA=PC=4 37/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠PEC= PC_4_24 ∴.在 中， CE 77 Rt△PCE 6 6.(2026江苏扬州中考真题)如图1，在边长为1的正方形ABCD中，E是AD边上的动点（不与点A, D重合)，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE.过点F作FM⊥BE,FN⊥BC,垂足分别为M,N. 图1 I)如图2，若FM=FN,求FM+FN的值； D 图2 2)如图3，若E为AD中点，则FM的长为一，FN的长为一： B 图3 3)求点E运动过程中FM+FN的最大值. 【答案】1)1 53 (2)5,5 6) 【分析】(I)根据翻折可得∠ABE=∠EBF,根据角平分线定理可得BF平分∠EBC,可得 38/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABE=∠EBF=∠FBC=30,进而可得FN=2BF=2,即可求出FM+FN的值； (2)根据翻折可得△AEB≌△FEB,计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法 EB,FM=)EF,FB计算即可，再证得四边形HNCD为矩形，△EFHFBN,得到 1 SFEB EF FH EH FBBN=FN,即可解出FN的长： HF AF (3)如图，延长NF交AD于H,连接AM,证明HFAPAMAB,得到AMAB,设FM=x, FN=y,表示出4M,F,F,然后代入求出=-2+1 FM+FN ,然后表示出 后利用二次函数的 性质求解。 【详解】(I)解：：FM⊥BE,FN⊥BC,且FM=FN, ∴BF平分∠EBC, ∴.∠EBF=∠FBC, ,△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.∠ABE=∠EBF, .∠ABE=∠EBF=∠FBC. .∠ABE+∠EBF+∠FBC=∠ABC=90°， ∴.3∠ABE=90°， ∴.∠ABE=∠FBC=30°， 在Rt△BFN中，BF=1, FN=IBF=1 2 2 又：FM=FN, 11 :FM+FN=)+2=1: 22 (2)解：延长NF交AD于H, 39/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H M :正方形ABCD的边长为1，且E为AD中点， 4D-aE=)D=,ADBC,∠4=∠DE∠C90 2 ,△ABE沿BE翻折得到△FBE, ∴.△AEB≌△FEB, ÷E=EF=} 2,AB=BF=1·∠EFB=∠EAB=90°， 在R△MEB中，EB=VAE2+AB )F 2, .FM⊥BE, S.r=EB.FM=1EF.FB 2 -xFM .F= 5, FN⊥BC,AD‖lBC, ∴.FH⊥AD, .∠FHA=∠FNB=∠EFB=90°， .∠D=∠C=90°， ∴.四边形HNCD为矩形， ..CN=DH,DC=HN=1. :∠EFH+∠NFB=90°，∠NBF+∠NFB=90°， .∠EFH=∠FBN, ∴.△EFH∽AFBN. 40/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF FH EH ·FB BN FN, 设w:则Ow=1-BH分0-=x克， 1 1 :2-FH_-2 1 x FN mw=2引-2 FH+FN=HN=1, :2x-1+2x=1, 2 4 解得x=。 5, .FN=2x 5 (3)解：如图，延长NF交AD于H,连接AM D H---- M 由翻转得，点A,M,F三点共线， .∠AMB=90° 由(2)得，FH⊥AD ∴.∠AHF=90°=∠AMB ∴.∠HAF+∠HFA=90° :∠DAB=90° ∴.∠HAF+∠MAB=90° ∴.∠HFA=∠MAB ∴.△HFA∽△MAB HF AF ·AMAB 41/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设FM=x,FN=y :AM=FM=x,HIF=HN-FN=1-y, .AF AM+FM =2x .1-y_2x y=-2x2+1 整理得， FM+FW=x+y=x-2x2+1=-2x-2+ .-2<0 1 9 ∴当x=4时，FM+FN取得最大值 7.(2026江苏无锡中考真题)在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上.若BD=DE=EC,则称线段 DE是△ABC中∠A所对的“等截线”. 图1 图2 (Q)如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE=150°，∠DEC=120°，求tanC的值（请直 接写出答案)· 【概念应用】 (②)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BC=2,求∠A所对的“等截线”的长度. 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何画出 （AB<AC<2AB) “等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发： 以△ABC为例 画出∠A所 对的“等截线”的部分步骤如下. 画法 图形 42/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①在AB上适当的位置取点P,作直线PK∥AC, PK交BC于点K ②在PK上截取PD=PB,连接BO并延长，交 AC于点G P O N ③在KC上取点M,使得OM=PO K M ④作CN∥OM,CN交BG于点N 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. 5+2 【答案】1)3 g6-1 B)解：如图，作ND∥AC交AB于点D,过点D作DE∥CN交AC于点E, D 、G K M .四边形CEDN是平行四边形. :PK∥AC,ND∥AC, PK∥DN, ∴.△BPOABDN BO PO BN DN CN∥OM, .△BOM∽aBNC, BO OM :BN CN 43/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PO OM ·DNCN' ..OM=PO, ..CN=DN, ∴.平行四边形CEDN是菱形. .CN=CE=DE=DN, 又PK∥DN, ∴∠POB=LDNB. PQ=PB」 ∴∠POB=∠PBQ :.∠DNB=∠PBQ, .'BD=DN, .'BD=DE=CE, ∴.DE是∠A所对的“等截线”， “.CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度 【分析】(1)先得出∠4DE=30°，∠A=90°，再设 E=aa>0),求出DE,AD的长，进而可得4B AC的长，然后根据正切的定义求解即可； (2)设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE,设 DE=BD=CE=x(x>0 ,先得出 AD=AE=BE=BC=2,则AB=AC=2+x,再证出△CAB∽aCBE,根据相似三角形的性质建立方程， 解方程即可： (3)作ND∥AC交AB于点D,作DE∥CN交AC于点E,得出四边形CEDN是菱形，根据BP=PO得 出BD=DN,根据菱形的性质即可得， 【详解】(1)解：：∠BDE=150°， .∠ADE=180°-∠BDE=30°， .∠DEC=120°， ∴.∠A=∠DEC-∠ADE=90°， AE=a(a>0) 设 44/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE 在R△ADE中，DE=2AE=2a,AD tan∠ADE ,DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， .BD=DE CE=2a, :4B=AD+BD=(N5+2加，AC=AE+CE=3a, 在R△1BC中，mC=B-5+2_5+2 AC 3a 3 (2)解：如图，设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE. DE=BD=CE=x(x>0) AB=AC .'AB-BD=AC-CE,AD=AE, .∠A=36°， :AE=∠ABD=∠ABC=∠C=1s0,4=72. 2 又，DE=BD,∠ABE+∠DEB=∠ADE, 、∠ABE=∠DEB=36° .∠BEC=∠A+∠ABE=72°，∠A=∠ABE, ·.∠BEC=∠C=∠ABC,AE=BE, ∴.BC=BE, BC=2, ∴.AD=AE=BE=2, ∴AB=AC=AE+CE=2+x, 在△CAB和△CBE中， 45/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=∠BEC ∠C=∠C ∴.△CABACBE, CB CA 2 x+2 小CECB,即x2, 解得V5-1 经检验，是所列方程的解)或=一5-1<0 (不符合题意，舍去)， ·∠从所对的“等截线”的长度是5-1 (3)略。 8.(2026江苏淮安·中考真题)如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与端点重合），连接 CE,作△CDE关于CE的对称图形aCFE. E G M B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，延长EF交AB于点P,FP与BP相等吗？证明你的结论： DE 3 AG ②)如图2，当AE2时，连接AC交EF于点G,求GC的值： B)如图3，连接BD交CE于点M,连接BF并延长交AD于点N,用等式表示DN与DM的数量关系，并 说明理由、 【答案】)证明：相等，理由如下， 连接CP, E D B :四边形ABCD是正方形， 46/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=CD,∠D=∠B=90 由对称可得CD=CF,∠D=∠CFE=90°， ∴.∠CFP=180°-∠CFE=90°，CF=CB, ∴.∠CFP=∠B=90°， ..CP=CP, ,Rt△CFP≌Rt△CBP(HL) ∴.FP=BP: 6 (2)17 3)解： DN=V2DM 理由如下： :四边形ABCD是正方形， .CB=CD,∠BCD=90° RD=CB+CD-CD 由对称可得，CD=CF,∠DCE=∠FCE, :.CB=CF, :∠CBF=LCFB, 设∠DCE=∠FCE=a,则∠BCF=90°-2a, ∠C8F=∠CfB=180r-,8CF-45+a. 2 :在正方形ABCD中，BD是对角线， .∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°， ∴.∠DBN=∠CBF-∠CBD=a, .∠DBN=∠DCM=a, ∴.△DBN∽△DCM, DN_DB= ·DMDC &DN与DM DN=2DM 数量关系为 47/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】（山连接CP,证明 t△CFP≌Rt△CBP(HL) 即可： (2)延长EF交AB于点P,交CB延长线于点T,设AD=BC=AB=5,同(I)可得FP=BP, FE=DE=3,设FP=BP=x,则AP=5-x,则EP=EF+PF=3+x,对Rt△AEP运用勾股定理求解x, 再由△AGE∽△CGT,△AEPn△BTP求解即可： (3)证明△DBN∽△DCM即可. 【详解】(1)略 (2)解：延长EF交AB于点P,交CB延长线于点T, A E D G B ,四边形ABCD是正方形， 设AD=BC=AB=5,AD川BC,∠BAD=90°， DE 3 AE2’ :AE=2,DE=3. 同(I)可得FP=BP,FE=DE=3, 设FP=BP=x,则AP=5-x, ∴.EP=EF+PF=3+x, .AP2+AE2 EP2, 6-x+2=3+x 解得r了 4 AP=5-515 44, AD川BC, ∴.△AGE∽△CGT,△AEP∽△BTP, 48/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE AP ·TBBP' 15 2 4 .TB5, 4 7B=2 3 .△AGEACGT, AG AE 2 6 ..GC CT 5+2i7 3 (3)略 一年摸拟练测园 1. (2026江苏泰州三模)如图，直线AB∥CD∥EF,AC:CE=3:2,则DG:AB=() B G A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.4:9 【答案】B AG AE FG 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得架长，进而可得尔的值，证明。FDG∽AFBA,由 DG FG ABAF即可求解. 【详解】解：，CD∥EF,AC:CE=3:2, AG_AC=3 .GF CE 2' 设AG=3k,GF=2k,则AF=AG+GF=5k, FG 2k 2 4F5k5, .DG∥AB, 49/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△FDG∽aFBA, DG FG 2 .BAFA5· OA 1 2.(2026-江苏泰州：三模)如图，△ABC与ADEF是位似图形，其位似中心为点0，且AD2,若 △ABC的周长为3，则△DEF的周长为() A.6 B.9 C.12 D.27 【答案】B 【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案， OA 1 (详解】解：：AD2: 0A1 ∴.0D3, ,△ABC与△DEF的位似比为l:3, .△ABC的周长为3， .aDEF的周长为3×3=9. 三。(226江苏宿迁二模)如图，B是双简线r-（r>0上的两点，注4点作AC14轴，交O6于 点D,垂足为点C,若△ADO的面积为2，D为OB的中点，则k的值为() 4 6 A.4 B.3 C.5 D.3 【答案】D 50/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=-BE 过点B作E1Tg男Ao0CAO,2R2品 用含有x,k的式子表示△ADO的面积，即可计算出k的值. 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E, B :D为OB的中点，AC⊥x轴，BE⊥x轴， :.ACI‖BE,C为OE的中点， ∴.△ODC∽△OBE, OC CD 1 OE BE 2' :CD-IBE, 2 :AC=飞 、BE=,C令 4x :AD=kk-3张 x 4x 4x' 5.o= 4D-0C=3 ×x=2 24x 解得大16 3· 4(2026江苏泰州三模)如图，在A4BC中，DE∥BC,DE:BC=1:3.则5e:Sac等于 () 51/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1:3 B.2:3 C.1:9 D.1:8 【答案】D 【分析】由平行线证两三角形相似，根据面积比等于相似比平方得到大小三角形面积之比，用大三角形面 积减去小三角形面积得到四边形面积，进而求出两者面积比. 【详解】解：DE∥BC, ∠ADE=∠ABC, ∠DAE=∠BAC, .△ADE~△ABC. S.ABC BC S.ABC =9a 则 :S四边形D8cE=8a .SDE:S边形D8CE=1:8 5.(2026江苏扬州三模)如图，在矩形AOBC中，OB=3,OA=2,，分别以OB、OA所在直线为x轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.F为BC边上的一个动点（不与B,C重合），过点F的反比例函数 y=x的图象与边AC交于点E,连接EF,将ACEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，则此时 k的值为() 5 10 25 A. 3 B.-3 c.9 D.3 52/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】A 【分析】过点E作EH⊥OB于点H,由题意得 2 易得△BGF∽aHEG,由相似三角形 的性质即可求解。 【详解】解：如图，过点E作EH⊥OB于点H, :OB=3,OA=2,四边形AOBC是矩形， B(3,0),A(0,-2)C(3,-2)AC=3,BC=2,∠C=∠0BC=90°， ∴.点E、F在反比例函数图象上， ÷E=OH=-k 3, k :反比例函数y=x的图象在第四象限， .k<0, ∴CF=BC-BF=2+ 台：CE=4C-=3+ 由折叠知，CF=FG=2+令∠FGE=∠C=90,GE=CE=3+ :.∠HEG=90°-∠HGE=∠FGB. ∴.aBGF∽aHEG. HE GE BG GF' :BG=24+44 18+3k3, 在RtaBGF中，由勾股定理得： ++ 解得=-5 3 53/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y H G 6.(2026江苏南通二模)△ABC∽△DEC,∠ACB=∠DCE=120°，CA=CB,点D在边AB上，DE交 BE BC于点F,则BC的最大值为() B E D √3 2 3 3 A.2 B. C. D.5 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定与性质证明△BDF∽aACD,得出BF与AD,BD的数量关系，再结合 AD+BD为定值，利用完全平方公式的非负性求出ADBD的最大值，进而即可求解. 【详解】解：·CA=CB,∠ACB=120°， .∠A=∠B=30°， :△ABC一△DEC, ∠CDE=∠A=30°， ∠ADC是△BCD的外角， .∠ADC=∠B+∠BCD=30°+∠BCD .∠ADC+∠CDE+∠BDF=180° ∴.∠BDF=180°-30°-(30°+∠BCD)=120°-∠BCD 又：∠ACD=∠ACB-∠BCD=120°-∠BCD, .∠BDF=∠ACD ∴△3DFAACD BF BD AD AC' 54/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF=AD:BD AC· BFBF AD·BD BC AC AC2, 如图，过点C作CH⊥AB于点H, B H E 4H=4C.cos4-AC.cs3 -AC 在RtAACH中， .CA=CB :AB=2AH=3AC D在边AB上， .AD+BD=AB=3AC :(AD-BD)2≥0 ∴.(AD+BD)2-4AD·BD≥0 :.AD.BDs (AD+BD)(AC)3 AC2 4 4 4 ,当且仅当AD=BD时，等号成立， BEAD:BDC网 3 BC AC2 B 3 BC的最大值为4： 7.(2026江苏苏州：三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在射线AD上运动，以BE为直 角边向右作RtaBEF,使得∠BEF=90,BE=2EF,连接CF,则CF的最小值为(） 55/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 75 125 A.3 B.7 C.5 D.5 【答案】C 【分析】当点F在CD左侧时，过点F作MN∥AB交AD于M,交BC于点N,先证明△BAE∽aEMF, 得到品得二-2，安r则e二6-x征：E-当点F在cD在，则 CN=DM=AD-EM-AE=5-2x,当点F在CD右侧时，同理可得CN=DM=AM-EM-AE=2x-5, 由勾股定理得C℉，然后由求二次函数最值的方法，求解即可. 【详解】解：当点F在CD左侧时，过点F作MN∥AB交AD于M,交BC于点N,如图， E M D ,矩形 ABCD ∴.∠A=∠D=90°，AD∥BC,AB∥CD,CD=AB=6,AD=BC=8, .MN∥AB .AB∥MN∥CD ∴.四边形AMWB为矩形，四边形CDMN为矩形， .MN=AB=6,CN=DM, .∠A=90° .∠ABE+∠AEB=90°， .MN∥AB, .∠DMF=∠A=90°， .∠EMF=∠A=90°， ∠BEF=90°， 56/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠MEF+∠AEB=90°， .∠ABE=∠MEF, .△BAE∽△EMF, AB_AE-BE=2. ..EM MF EF 设MF=x,则NF=6-x. 华总2， .AE=2x,EM=3, CN=DM=AD-EM-AE=8-3-2x=5-2x, cr-N+a=6-+6-2-c-号6f-9 5 16 49 当x=5时，CF的最小值为5， 当点F在CD右侧时，过点F作MN∥AB交AD延长线于M,交BC延长线于点N,如图， ED M 同理可得 CN=DM=AM-AD=2x+3-8=2x-5 =w+w=----r的9-f-g 121 当x8时，CF的最小值为气骨 .49121 55 49_7W5 .CF长的最小值是V55. 8.(2026江苏南通二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D, E为BC的中点，AE与CD交于点F,则DF的长为() 57/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D 54 9 A. 85 B.14 c D.17 【答案】A 【分析】过点F作FH1AC于H:则。AFHA1BC,设FH为x,由已知条件可得H-多FH 3 ,利 用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用 1 S.Arc-2 ACxFH=2CF×AD即可得到DF的长. 【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于H, B E D :BC=4,点E是BC的中点， .BE=CE=2, ,∠ACB=90°， .BC⊥AC, FH⊥AC, ∴.FH∥BC, .△AFH∽△AEC, AH AC 3 .FH EC 2' 58/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :-阳， 2 设阳为则H子，由的服定理得4B-原5 又，S4BC= CxBC-ABxCD ..CD=AC.BC_12 AB5· .AD=AC2-CD=9 .CD⊥AB,FH⊥AC ∴.∠FHC=∠CDA=90°， .∠FCH=∠ACD. ∴.△CFH△CAD, FH CH :.AD CD' 33 2* 即912， 55 解得r18 17 :FH=18 17· 1 .SAFC= )AC×FH=2CF×AD 1 9 2x3×18=1CF× 172 5 .CF DF=CD-CF=12_3054 51785· 9.(2026:江苏南京模拟预测)如图，P为△ABC的重心，EF经过点P,EF∥BC,分别交AB,AC EF 于点E,F,则BC的值为() 59/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B C.4 D.3 【答案】A AP 2 【分析】连接A4P并延长交BC于点D,根据重心的性质得出AD3,再利用相似三角形的判定与性质即 可求解. 【详解】解：如图，连接AP并延长交BC于点D, B B D ,P为△ABC的重心， AP ·AD为。ABC的中线，且PD =2 AP 2 AD3’ ,EF∥BC, ∴.△AEF∽aABC, EF AP 2 ·BCAD3· 10。（2026江苏无锡三模)如图，在平面直角坐标系中，点MN分别在反比例函数y=-6(x>0), y=(k≠Q,x<0)的图像上，连接OM,ON,MW,且OM⊥ON作MLx轴于点A,NB⊥x轴于点 0N4 B,若OM=3,则k的值为(） 60/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 32 B 16 2 D.-3 【答案】A 【分析】先证明△OBN∽aMAO,相似比等于对应边之比，面积比等于相似比的平方，再根据反比例函数k 的几何意义，得到Soav= 2· Suo==3,根据比信求出k 2 【详解】解：：OM⊥ON,MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B, .∠MON=∠OAM=∠OBN=90° :∠MON+∠AOM+∠BON=180°， .∠AOM+∠BON=90°， ,∠BNO+∠BON=90°， .∠BNO=∠AOM, 又：∠OAM=∠OBN=90°， .△OBNAMAO, SOBN ON :.S.Mao OM :点MN分别在反比例函数y=-（x>0),y-冬k≠0，x<0)的图像上， .S.OBN -4.5.--3. 2 :=32 3 :y=（k≠0x<0)的图像在第三象限， .k>0, 61/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026江苏无锡·二模)如图，点P是△ABC的BC边上一动点（不与点B、C重合）过点P作 PD∥AB交AC于点D、作PE∥AC交AB于点E,点M、N分别为线段BE、PD上的两个点，且 BM=2ME,PV=2ND,则与aCMN的面积相等的是() B A,△ADE的面积B.△BCM的面积 C.△PCN的面积 D.△BPE的面积 【答案】C EBEP ME BE EB EP 【分析】连接PM,证明AEPB-aDCP,得出DPDC,由已知得出DNDP,则DPDC,又 ∠MEP=∠NDC,则△MEP~aNDC,进而得出∠EPM=∠DCP,可得MP∥NC,即可求解. 【详解】解：如图所示，连接PM, M :PD∥AB,PE∥AC, ∴.∠DPC=∠B,∠EPB=∠DCP,∠BEP=∠A,∠A=∠PDC. .∠MEP=∠NDC ∴.△EPB~aDCP, EB EP ·DPDC BM=2ME,PN=2ND. :ME-TBE,DN-IDP. ME BE DNDP· ME EP ·DNDC 62/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又.∠MEP=∠NDC, ∴.aMEP-aNDC .∠EPM=∠DCN ∠EPB=∠DCP, ∴.∠MPB=∠NCP .MP∥NC S.MNC=S.PCN “,故选项C符合题意： 无法得出△ADE的面积、△BCM的面积、△BPE的面积与△CMN的面积相等，故A、B、D不符合题意. 12.(2026江苏无锡二模)如图，口ABCD中，点E、F分别是AC、AB上的点，且 ∠CD=∠CDE=∠AEF,将4MEF、△CDE、aBC的周长分别i记作C、Cae、Cc,则 ”、 C△MEF+C△cDE CABC 的最大值为() 5 4 3 A,1 B.4 C. D.2 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明aCDE∽△ACB和△AEF∽aACB,将周长比转化为对 应边之比；再利用△ACD∽△DCE得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值. 【详解】解：~四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,AB=CD ∴.∠BAC=∠ACD,∠CAD=∠ACB :∠CAD=∠CDE=∠AEF, .∠CDE=∠ACB,∠AEF=∠ACB. 在△CDE和△ACB中， 63/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DCE=∠BAC ∠CDE=∠ACB, ∴△CDEP△ACB, CxCDE.=CD CABC AC 在△AEF和△ACB中， I∠EAF=∠CAB ∠AEF=∠ACB, ∴△AEF△ACB, C.AEE- AE C。ABc AC 在△ACD和△DCE中， I∠CAD=∠CDE ∠ACD=∠DCE, ∴.△ACDn△DCE, CD AC CE CD' 即CD2=AC.CE, .CE=CD2 AC, .AE=AC-CE=AC- CD2 AC, C.AEF+C.CDE C。ABC CAAFECCDE C.ABC CABC AE CD ACAC 64/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC、CD2 AC CD AC AC AC, CD 设t= AC· -1<0 “当=2时，三次函数取得最大值， 5 该比值的最大值为4· 13.(2026江苏连云港一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点M为BC的中点，以点C为圆 心，CB长为半径作弧交AC于点E,再以点A为圆心，AE长为半径作弧交AB于点F,DM与CF相交 于点G,则CG的值为() D NE 5 13+1 √13-1 23 A.3 B.2 C.2 D.5 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，全等三角形判定等相关知识点， 关键是通过延长DM与AB相交构造相似三角形，利用线段比例关系求解。 延长DM,4B,交于点H,得BF=AB-AF=4-2=2,可求得CF=V2+3=下，证明 DCMHBM(AAS),可得ADCG∽AHFG,得出GFCG,即可求解 65/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：延长DM,AB,交于点H D B H ,四边形ABCD是矩形 ∴.AD=BC,AB=DC,∠ADC=90°，DCI‖AB :点M为BC的中点，AD=BC=3,DC=AB=4 ..CM=MB-3 在△ACD中，AC=VAD2+CD=V3)+(4=5 由题意得，CE=CB=3 .AE=AC-CE=5-3=2 又：AF=AE ∴.AF=2 ∴BF=AB-AF=4-2=2 ∴在Rt△CBF中，CF=V2+3=丽 :DC∥AB,点M为BC的中点 :∠H=∠CDM,∠MBH=∠MCD,CM=BM .∴ADCM≌△HBM(AAS) ∴.DC=BH=4 .∴FH=FB+BH=2+4=6 :DC∥AB ∴.△OCGAHFG CG DC4_2 GF FH 6 3 :.GF-3cc 2 66/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CG+GF=CF=13 :.CG+3cG-M3 CG-2V13 5. 14.(2026江苏泰州模拟预测)如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,BC=5.点D在边AB上，且 ∠ACD=∠B.下列结论中，正确的个数是() ①△ACD∽△ABC S△1=4 ②SARCD5 ③CD平分∠ACB ④△BCD的周长为I0 D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】由相似三角形的判定定理判断①：由相似三角形面积比等于相似比判断②：由相似三角形相似比 求BD、CD长度判断③：结合求出的BD,、CD长度及己知BC长度计算△BCD的周长判断④即可. 【详解】解：∠A=∠A,∠ACD=∠B, .△ACD∽△ABC,故①正确： :△ACD∽△ABC,AB=6,AC=4 AC42 AB63: S△ACD= 2 4 则S△ABC 3 =9, S.ACD =4k S.ABC =9k S.BCD=S.ABC-S.4CD=9k-4k=5k ,则 67/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SoCD=4k 4 SABCD 5k5,故②正确： △ACD∽△ABC,AB=6,AC=4,BC=5, AC AD CD 2 AB AC BC3· BC= 510 2 >王→之 3 3 3 BD=AB-AD=6-8=10 33· 则BD=CD, ∠B=∠BCD, :∠ACD=∠B, ∴∠ACD=∠BCD,即CD平分∠ACB,故③正确： BD=CD=10 ,BC=5, C.8CD=BD+CD+BC=1 3×2+5=35 ≠10，故@错误： 综上所述，结论正确的是①②③，共3个 15.(2026江苏苏州一模)如图，在△ABC中，BC=4,点M是BC上一点，连接AM,将△ABM沿 AM折叠得到△ADM,AD经过BC的中点G,且DM∥AC,则MG的长度为() D A.5 B.2 C.22-2 D.4-2W2 【答案】C 【分析】依题意得GB=GC=2,设MG=a,则BM=2-a,由折叠性质得DM=BM=2-a,∠B=∠D, 再根 DM/AC得D=∠C1G=B,由此得△C1G和△CB1相似，利用相似三角形性质得 C=2V2 ,再 68/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DMG ACG 证明△ 和△ 相似，利用相似三角形性质得=2√5-2 ,据此即可得出答案. 【详解】解：BC=4,AD经过BC的中点G, .GB-GC-BC-2 设MG=a,则BM=GB-MG-2-a, 由折叠性质得：DM=BM=2-a,∠B=∠D, DM∥AC, ∠D=∠CAG, .∠CAG=∠B, 在△CAG和△CBA中， ∠CAG=∠B,∠C=∠C, .△CAG∽△CBA, AC CG .BC AC, AC、2 .4AC, ..AC=22 :DM∥AC, ∴.△DMGn△ACG, DM MG ∴.ACGC, 2-a_a .222, a-2v2-2 解得： .MG=22-2 故选：C 16.(2026江苏南通一模)如图，一次函数y=2x+2的图象分别与x轴，y轴交于点4，B,则将直线 AB绕着点B逆时针旋转45°后与x轴交点的横坐标是() 69/175 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 A.-1 B. C.-2 【答案】B 【分析】设直线AB绕着点B逆时针旋转45°后与x轴交于点C,过点C作CD⊥AB于点D,则 LODA=∠ODB=90°，∠ABC=45°，可得OD=DB,再可得OA=4,OB=2,证明△CDAABOA,可得 =20D,设0D=DB=x,则DA=2x,B4=3x在RtA40B中，可得AB=2V5,可得x=2,5. OD,DA的长，可求得CA,即可得点C的坐标. 【详解】解：如图，设直线AB绕着点B逆时针旋转45°后与x轴交于点C,过点C作CD L AB于点D,则 ∠ODA=∠ODB=90°，∠ABC=45°， ∴△CDB是等腰直角三角形， ..CD=DB :一次函数y=2x+2的图象分别与x轴，y轴交于点4，B, 当x=0时，y=2:当y=0时，2x+2=0,则x=4, ÷1-40).B0,2) .OA=4,OB=2, ,∠CDA=∠BOA=90°，∠CAD=∠BAO, ∴.△CDAP△BOA, OD DA OD BO 2 1 ·B0OA,即DAOA=42: .DA=20D 70/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设OD=DB=x,则DA=2OD=2x, ∴.BA=DA+DB=2x+x=3x, 在Rt△A0B中，AB=VOAP+OB-V+2=2W5 :3r=2v5 解得x26 3， :0b36 3, :DA=20D=45 ， 中，AC=VOD2+DA 25 45 10 在 Rt△AOD 3 3Γ 3 .0C=0A-AC=4-10_2 33 2 即点C的横坐标是3. 17.(2026江苏无锡·一模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,△AED的顶点D在边BC上 运动（点D不与点B,C重合），且∠ADE=9O°，AD=DE,直线AE与直线BC相交于点F,连接BE, 则下列结论：D4C,DEF,②A1BE的面积等于ABC的面积：③线段BE的最大值为45，③BE 4+2√5 周长的最小值为 .其中正确的为() B A.①② B.②④ C.①②③ D.①②④ 【答案】A 71/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】①根据题意得到∠AED=∠ACB=45°，然后得到∠FAC=∠FDE,即可证明△ACF∽aDEF,，即可 判断①：②如图，连接CE,证明出点A,D,C,E四点共圆，得到AB∥CE,即可判断②；③得到点E 在直线CE上运动，然后结合点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合即可判断③：如图，作点A关于 CE的对称点A,连接A'C,AE,当点B,E,A三点共线时，△ABE的周长最小，即4+AB的值，然后 利用勾股定理求解即可判断④. 【详解】解：①设DE、AC交于M, B D :∠BAC=90°，AB=AC=4, :.∠ABC=∠ACB=45°， :∠ADE=90°，AD=DE」 .∠DAE=∠DEA=45°， ∴.∠AED=∠ACB=45° .∠DMC=∠AME, ∴.∠FAC=∠FDE, ,∠F=∠F, ,△ACFADEF,故①正确： ②如图，连接CE ∠FAC=∠FDE ∴点A,D,C,E四点共圆 ∴.∠ACE=∠ADE=90°=∠BAC ∴.AB∥CE ∴·△ABE的面积等于△ABC的面积，故②正确： 72/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·AB∥CE ∴点E在直线CE上运动 :点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合 .BE不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于CE的对称点A',连接A'C,AE B D E ∴.△ABE的周长=AB+AE+BE=4+E+BE≥4+AB .当点B,E,A'三点共线时，△ABE的周长最小，即4+A'B的值 由对称得，A'C=AC=4 A'A=8 ··∠BAC=90 :4B=VAB2+=45 MBE周K的最小值为4+45，放O错误 综上所述，其中正确的为①② 5 k 18.(2026江苏宿迁·一模)如图所示，已知双曲线y =(x<0)和y=元(x>0),直线OA与双曲线 y交于点4将直线O4向下平移与双自线y交干点，与结交于点卫，与双由线y-文于方 BP 1 C,SAABC=6,CP2,则k=（） 73/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P A.-3 B.-4 C.-5 D.-6 【答案】B 【分析】连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥OP于F.由题意易得S△oc=S△MBc=6,则有 S.OPB =2,S.OPC =4 4,然后可得△PFC∽aPEB,进而根据相似三角形的性质及反比例函数k的几何意义进行 求解即可. 【详解】解：如图，连接OB,OC,作BE⊥OP于E,CF⊥OP于F. B 由题意得：OA∥BC, .S△o8c=S△MBc=6, BP 1 CP2 S.OP8=2.S.oPC=4 5 SAOBE 2 1 SAPBE=。 29 ,BE⊥OP,CF⊥QP, 74/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PFC=∠PEB=90°， ,∠FPC=∠EPB. ∴.△PFC∽△PEB. Se=CP2 =4 ·SPEB（BP S.PFC=2 片S=5a-5m-S0m-2-,且两数y兰(x>0>的图像在第四象限 k ,k=-4 19.(2026-江苏无锡一模)如图，在四边形4BCD中，1D‖BC,∠ABC=90°，AB=厅.CD=32 将AAB 绕点C顺时针方向旋转后得△1BC,当B'恰好经过点D时，△BCD为等腰三角形，若BB=1 则AA=()· A CB' B 2v6 2W5 A.3 B.3 c.3 D.√26 【答案】A 【分析】由旋转的性质和△B'CD为等腰三角形可得，△B'CD为等腰直角三角形，则 BC B'C 2⑩=3 AA'AC 使用勾股定理计算出AC=26.容易证明△4CA△BCB,则B=BC, 代入数值计算即可. 【详解】解：由旋转的性质可得，∠AB'C=∠ABC=90°，B'C=BC,AC=AC,∠BCB=∠ACA, :△B'CD为等腰三角形，∠AB'C=90°， 75/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△B'CD为等腰直角三角形， .B'C=B'D,∠B'DC=45°， 在直角△B'CD中， BC=CD.sin∠BDC=32×sin45°=3 .'B'C=BC=3, 在直角。ABC中，AC=VAB2+BC=+3=26, .B'C=BC,AC=A'C, BC B'C AC-4C. 又：∠BCB=∠ACA, ∴.△ACA'∽△BCB, AA'AC A4_26 BB= BC,即13， A4= 26 3· 20.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90,AC=6,AB=8,D是边AB上一点，连 接CD,过点D作DE L DC交BC于E,已将aBDE沿DE折得A △DBE、 BC ，连接，下列说法错误的是 () D B2- E ∠ADC=∠B,DC A. B.当BE∥1C时，DB1BC Q.当BE/AC时，折痕DG的长5 76/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 D.当△BCD是等腰三角形时，AD的长4 【答案】D BE 【分析】由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断A; DB与8C的交点记作点O,延长A5,交1B 于点F,由平行线的性质，结合超折的性质：可证明DFE2,DO(ASA）。可得<DFE=∠D0E,可别 RtADFB,≌RtADOB(HL)） 断B；证明 ,可符DF=D0,证明△DOC2,D1C(AAS),D0=DA,设 BF FE DF EF DF=D0=DA=x,证明△BFE∽△BAC,可得BAAC,证明DFEACAD'CADA,可得DF, F,由勾股定理可得DE,可判断C:当△儿是等腰三角形时， E .△BCD DB=DC,成CD=CB,或 ,或 BC=BD ,分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得AD,可判断 D 【详解】解：由翻折可得∠BDE=∠B,DE, :DE⊥DC, .∠CDE=90°， :∠BDE+∠ADC=180-90°=90°∠BDE+∠B,DC=90 ∠ADC=∠BDC A正确，不符合题意： B,E∥AC 当 时， D8与BC的交点记作点0，延长E,交48于点F则 ∠BEF=∠B,EO 77/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B,E∥AC ∠B,FD+∠A=180° ,∠A=90° 、∠B,FD=180°-90°=90° .∠EDF+∠DEF=90°， ∴.∠ADC=∠FED ∠BDE=∠B,DEDB=DB,∠BED=∠B,ED 由翻折可得 ∠BED-∠BEF=∠B,ED-∠BEO ∴.∠DEF=∠DEO, 在△DFE和△DOE中， I∠EDF=∠EDO DE=DE ∠DEF=∠DEO' △DFE≌ADOE(ASA) .∠DFE=∠DOE,DF=DO. .∠DOE=90°. DB⊥BC∠DOC=90°=∠A B正确，不符合题意： RI△DFB和RtaDOB 中， 78/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF=DO DB =DB, Rt△DFB,≌Rt△DOB(HL) .DF=DO. 在△DOC和∠DAC中， ∠DOC=∠A ∠CDO=∠CDA CD=CD △DOC≌△DAC(AAS) .DO=DA. .DF=DO=DA, 设DF=DO=DA=x,则BF=8-2x, ·EFI‖AC, ∴.△BFE△BAC, BF FE ..BA AC' ..EF=6 8-2x=6- 3 8 2 :∠FED=∠ADC,∠DFE=∠A, ∴.△DFEACAD, DF EF ·CADA' x X 63 = 02 6 x 解得=36=-12 (舍去)， 33 六DF=3,EF=6-3 2 79/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE-V 2, ∴.C正确，不符合题意 △BCD 当 是等腰三角形时， DB=DC 若 A D B2-- B DB =DB 由翻折可得 .DC=DB=8-AD, ÷4D2+6=(8-AD 07 4 CD=CB 若 B CH1BD于点月，则DH=BH,∠DiC=90=∠A, BD=BD=2HD 在△DAC和△DH 心和 中 80/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=∠DHC ∠ADC=∠HDC CD=CD △DAC≌△DHC(AAS) .AD=HD, .BD=2AD, .2AD+AD=8, D=8 者8C=RD 作BT1CD,则∠B7D=0=∠A,Dr-0 CD-AD+6AD+36 2 2 2, D B E B ∠B,DT=∠CDA 又 △B,TD∽ACAD DT DB :.AD DC' AD2+36 8-AD AD VAD2+62, ∴.3AD2-16AD+36=0, △=（-16-4×3×36=-176<0 81/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “方程3AD2-16AD+36=0在实数范围内无解， BC≠B,D 78 “当△BCD是等腰三角形时，AD的长4或3， ∴D不正确，符合题意 21.(2026江苏南京模拟预测)如图，在△ABC中，D为边AB上一点，连接CD.点E为CD中点，连 接E,若∠CDB=∠CBD=0∠4CD=∠BBD,4C=6,则BE的长是(） E B D 32 3W5 A.2 B.2 c.6 D.22 【答案】A 【分析】过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CHI‖BE交AB的延长线于点H,设CE=n, BE BD DE 1 通过论证ADEBADCH可列CH-DHCD2,进而得到CH=27m,DH=43n,又通过 AD AC CD △ACD∽△4HC,可得AC-AHCH,进而可得AD及n,最后求解BE即可 【详解】解：过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CH BE交AB的延长线于点H, .∠DBE=∠DHC, .∠ACD=∠DBE, ∴.∠ACD=∠DHC, ∠A=∠A, ,.△ACDP△AHC, AD AC CD AC AH CH 设CE=n, 82/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点E为CD中点， .'CD=2CE =2DE =2n, .∠CDB=∠CBD=30°， .BC=CD=2n, :∠FCB=∠CDB+∠CBD=60°， .∠FBC=90°-∠BCF=90°-60°=30°， ..CF=BC=n. 2 BF=BC2-CF=n :∠CDB=30°，∠F=90° BD=2BF=23n F=90,BF=n,EF-EC+CF=2n BE-VBF+EF-Vn ·BECH,CD=2CE .△DEB∽aDCH, BE BD DE 1 ·CH DH CD2' CH=2in,DH=45n AD CD ACCH' AD 2n 62W7n' AD=V42 解得： 7, AD AC :AC-AH' 83/175 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 √42 7 哈 ·6 J42+4W3n 314 n= 解得：14， BE=Vin-32 故选：A D 22.(2026江苏扬州三模)如图所示，在4×3的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB、 CD相交于点E,则tan∠BED的值是一· B D 【答案】2 【分析】连接DF交BG于点O,由正方形的性质可知OD=OB=OF=OG,BG⊥DF,根据DG川BC, 然后利用相似三角形的性质得到ECG行，进面求得GE=0E=0G,然后 GE DG 1 可判定ADEG∽ACEB' 2 利用直角三角形的边角间的关系求解即可. 【详解】解：如图，取格点F,连接DF交BG于点O, B 84/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形BFGD是正方形， .OD=OB=OF=OG,BG⊥DF, .DGI BC, ∴.△DEGACEB, GE DG 1 ·BECB3, 又OB=OG, :GE=OE=。oG 1 2 tan∠BED= 0D_0G=-2 OE OE 23.(2026江苏南京三模)如图，在R△ABC中，∠C=90°，AC=BC.D、E分别是BC、AC上的点， AD.BE相交于点F.若∠BD=45BF=3,DF=5,则4C的长为 F E D 35 【答案】2 【分析】作DG⊥BE于点G,易得△DGF为等腰直角三角形，求出DG,FG的长，进而求出BG,BD的长， 求出tan∠DBG=CE=1 =8C2,取AD的中点H,连接EH,三角形的中位线定理得到EH/CD,EH-CD,设 CE=x,则BC=AC=2x,求出 出H=x-5 2'EF=BE-BF=V5x-3,证明△EHF∽△BDF,列出比例式 求出x的值，即可得出结果 【详解】解：作DG⊥BE于点G, 85/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BFD=45°，BF=3,DF=√2 :.△DGF为等腰直角三角形， .FG=DG=DF.sin45°=1， .BG=BF-FG=2, BD=BG+DG=5.tan/DBG-DG=1 BG 2 ∠C=90°，AC=BC, tan∠DBG=CE、1 BC2 .CE-RC- C, 取AD的中点H连接E·则/CD,H=CD, 设CE=x,则BC=AC=2x, CD-BC-BD=2x-5 BE-CE+BC=5x EH-x 2'EF=BE-BF =5x-3, .EH CD ∴.△EHF∽△BDF, ∴EH_EF,即 2V5x-3 BD BE 5 3 解得三4 :C=2x=35 2. 86/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H G D 24.(2026江苏徐州三模)已知4B=4C=号4D=2,则BD.CD 【答案】12 【分析】取AD的中点E,根据题意得AB=AC=AE,由此得出点B,C,E在以点A为圆心，2为半径的 ⊙A上，根据圆内接四边形对角互补证得△DEC∽aDBF,从而解出答案， 【详解】解：如图所示，取AD的中点E,连接CE, D B AE=DE=1 ..AB=AC=AD=2. 2 ∴，AB=AC=AE=ED=2, :点B,C,E在以点A为圆心，2为半径的⊙A上， 延长DA交⊙A于点F,连接BF, .AF=2,FD=6 ',四边形ECBF是圆内接四边形， .∠F+∠BCE=180° 又：∠DCE+∠BCE=180°， 87/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCE=∠F, ,∠D=∠D, .△DECI△DBF, CD ED .FD BD' .BDCD=FD.ED=6×2=12 25.(2026江苏泰州三模)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为BC上一点，且BE=2,点 M为直线AE上一个动点，以DM为直角边，在DM下方作Rt△DMN,其中∠MDN=90°， sin∠DMN=3 ,连接EN,则线段EN长的最小值为 M E 【答案】i0 【分析】连接AC、连接CV,利用三角函数值相等可得∠CAD=∠DMN,进而由旋转相似模型容易证明 △ADM∽aCDN,得出点N在过点C,与CD成夹角等于∠MAD的直线（矩形外部）上，再求点E到直线 的距离即可.解题关键是根据瓜豆原理确定点N在定直线上， 【详解】解：连接AC、连接CN,过点E作EH⊥CV, ,矩形ABCD中， .∠ADC=∠BAD=∠BCD=∠B=90°，BC=AD=8,AB=CD=6, .AC=VAD2+CD2=82+6=10 88/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 sin∠CAD=CD63 AC105· 又：sin∠DMN=3 9 ∴.∠CAD=∠DMN, :∠ADC=∠MDN=90°， .△ADCAMDN, AD MD :CD ND' :∠AMD+∠MDC=∠MDC+∠CDN=90°， .∠ADM=∠CDN, ∴.△ADMACDN, .∠DCM=∠MAD. 即点N在过点C,与CD成夹角等于∠MAD的直线（矩形外部）上， :EH⊥CN, .EN≥EH,当N与点H重合时，EN最小，最小值为EH, .∠ECH+∠DCN=90°，∠BAE+∠MAD=90°， .∠ECH=∠EBA, :BE=2,AB=6, :AE=VAB+BE=V6+2=20,5C=BC-BE=8-2=6 sin/EAB= 2V10 1010, sin∠ECH=sin∠EBA=ViO 10, EH-ECsn∠BCH=6xD-3M0 105 26.(2026江苏连云港·二模)如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角 为(0<a<45）,4B交直线=r于点B,BC交y轴于点R.对角线4C交y轴于点M交直线'=于 89/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点水，连接N,将0FW与0CF的面积分别记为与5，设S=S-5,MN=”,则S关于4的函数 表达式为 A 1 【答案】S=5n2 【分析】连接OB,过点N作PN⊥BC于P,延长PN交OA于点Q,利用旋转相似模型证明 △OFBONA,△FON△BO1,得出∠ONF=∠OAB=90°，FN=ON,再证明 NPF≌OON(AAS)得 到P=O0,FP=QN,证明四边形OQPC是矩形，得到CP=O0=NP,OC=PO,表示出 S-INP+INQ S.-INP-INQ ,从而得到S=NQ,由等腰直角三角形的性质可得 № n 2 2 从而即可得出答案 【详解】解：如图，连接OB, 四边形 是正方形， 。 OABC 0B-2 .∠AOB=∠OBC=∠OAC=45°，OA 对角线AC交y轴于点M,交直线y=x于点N, .∠F0N=45°， .∠FOB+∠BON=AON+∠BON=45°， ∴.∴∠FOB=∠AON, ..AOFBAONA, 90/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OF OB ON OA =2. 又：∠FON=LBOA, ∴.△FON∽△BOA, ON FN ∠ONF=∠OAB=90°，OAAB ∴.FN=ON, 过点N作PN⊥BC于P,延长PN交OA于点O, 四边形 是正方形， OABC AO∥BC, :PN⊥BC, .NQ⊥AO .∠NPF=∠OQN=90° .∠FNP+∠NFP=90°， 又.∠FNP+∠ONg=90° ∠ONg=∠NFP, 在△PF和△0QN 和 中， ∠ONQ=∠NFP ∠NPF=∠OQN FN=ON ∴.ANPF≌aOQN(AAS) .NP=00.FP=ON. :四边形OABC是正方形，PN⊥BC, .∠PC0=∠COQ=∠QPC=90° 91/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形OQPC是矩形， ..CP=00=NP.OC=PO, :aOFN与△OC 的面积分别记为9与又 5.--(oQ+w@)-(+x)-+w@ S.-5.x-iCF.OC-i(PC-PF)X(PN+NQ)-i(PN-NQ)(PN+NQ)-iPN-iN@. ∴S=S,-S2=Ng :四边形OABC是正方形， .∠NA0=45°， Ng⊥OA, ∴.∠NQA=90° ,∴△NQA是等腰直角三角形， AN =n, ..NO=- n 2 ..S=NO2= 5)2 2 2 :S关于n的函数表达式S= 2 27.(2026江苏扬州·三模)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投 影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B',设 AB=32cm,AB=24cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为cm. ←-30cm→k?cm 92/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 【答案】2 【分析】根据相似三角形的性质即可求解。 【详解】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交'B于点D, 由题意得AB‖AB' .OD⊥AB',△OAB-△OAB', A'B'OD ·AB0C’ 1且0→1'B··OC24>×304P(cz) AB 32 ←-30cm→k?cm 45 即小孔O到AB的距离为)cm (2026江苏南适二模)如图，点4在函数(k>0x>0)的图象上，过点4分别作x轴、y轴的垂 28. 线，垂足为点C,D,连接DA并延长至E,使AE=AD,连接CE交该函数图象于点B. (1)△ACE的面积是一 (用含k的式子表示)： CB (2)CE的值是 √5-1 【答案】 2 【分析】(1)依题意，四边形ACOD是矩形，四边形ACOD的面积为k,结合已知即可求解： 93/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CB (2)过点B,E分别作x轴的垂线，垂足分别为F,G,则BF∥EG, =m 设CE 根据aCBF∽ACEG,得出m-1=m,解方程，即可求解. 【详解】解：(1)依题意，四边形ACOD是矩形，四边形ACOD的面积为k, AE=AD,AC=DO, ∴△ACE的面积是2： (2)如图，过点B,E分别作x轴的垂线，垂足分别为F,G,则BF∥EG, D B C FG (.k k Aa, Bb,. E2a,- 设 a 、b ,则 a G(2a,0).F(b,0), CF=b-a,CG=2a-a=a, BF=k,EG=k .BF∥EG, ∴.aCBF∽aCEG, CB CF BF CE CG EG' CB 设CE=m, b-a_b ∴.ak,即b-a_a, a a b a :m= b -1=m,整理可得m2+m-1=0 m 94/175 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m= 5-1 解得： 2(负值舍去)， CB 5-1 即CE的值是2. 29.(2026江苏南通二模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=∠B=90°.E是AB上的任 意一点，连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF.若EF与边BC始终有公共点，则BC 长的最小值是 【答案】1 【分析】过点F作FM⊥AB交AB延长线于M,证明△DAE≌△EMF,再证明△EBN∽AEMF,根据EF 始终与BC有交点，找到临界位置求出BC最小值. 【详解】解：过F作FM⊥直线AB于M,设EF交CB于N, 则FMBC, 由题意：ED=EF,∠DEF=90°， .∠DEA+∠FEM=90°， 又：∠A=90°， ∴.∠DEA+∠ADE=90°， ∠ADE=∠MEF, 在△DAE和△EMF中： ∠A=∠EMF=90° ∠ADE=∠MEF DE=EF .△DAE=△EMF(AAS) .EM=AD=4,FM=AE, 设E=x(0≤x54) 95/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FM=x,EB=4-x BM=EM-EB=4-(4-x)=x 即BM=FM=x, 又FM I BC. ∴.△EBN∽△EMF, BN EB BN 4-x FMEM’x4, BN=4--x2+x=--2y+1 4 BN最大=1 则 若EF与边BC始终有公共点， 则BC≥BN恒成立， ∴.BC最小=1 B 30 .(2026江苏扬州三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,E是AB上一点，BE=2,F是 HF BC上的动点，连接EF,H是CF上一点且CT=k(k为常数，K+O),分别过点F,H作EF,BC 的垂线，交点为G.设BF的长为x,GH的长为y,在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD 上存在唯一的一点G,则此时k的值为 2 【答案】25 【分析】根据矩形的性质和等角的余角相等得出∠BFE=∠G,证明△EBF∽△FHG,根据相似三角形的 性质列出比例式，可得关于x的方程，根据方程有两个相等的实根，列式即可求解， 【详解】解：四边形ABCD是矩形， 96/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠B=90°」 .∠BFE+∠GFH=90°. .EF⊥FG,GH⊥BC, ∴.∠EFG=∠FHG=90°， .∠GFH+∠G=90°， .∠BFE=∠G, .∠B=∠GHF=90°， ∴.△EBF∽△FHG, BF BE ·GHFH' 当点G在AD上时，GH=AB=6, ..BF=x,BC=10,BE=2, 则CF=BC-BF=10-x HF=CF.k=(10-x)k 2 故6(10-x)k, 整理，得x2-10k+12=0, :线段AD上存在唯一的一点G, 故方程a2-10kx+12=0有两个相等的实根， 即A=(-10k}-4kx12=0 12 k=0(舍)或k= 25· 31.(2026江苏镇江·二模)如图，在边长为4的等腰Rt△ABC中，点D是线段BC的中点，点B关于AD 的对称点是点，连接，则的长是一 97/175 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B D 45 【答案】5 DB,=DB∠ADB,=∠ADB DB=DC 【分析】根据轴对称的性质可得 ,结合中点的定义可得 ,从而证得 △DB, 为等腰三角形，利用角度关系证明△CMDDB A,利用相似三角形的性质即可求解。 【详解】解：连接 a,D8.过点D作DM1CB于点M B M B D 由题意可知，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，AB=BC=4 ~点D是线段BC的中点 :.BD=CD=1BC=2 在R△1BD中，由勾股定理得D=VAB+BD=V4+2=25 ∴.△ABD≌△ABD ∴.DB=DB=2∠ADB,=∠ADB .CD=2 ..DB =CD 98/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴△DBC 是等腰三角形 ∠B,DC=180°-∠ADB-∠ADB=180°-2∠ADB ∴.∠DCB=(180°-∠B,DC)=∠ADB .CB=2CM∠DMC=90° 在△CMD和△DBA中 :∠DMC=∠B=90°，∠MCD=∠BDA ∴.CMD△DBA CM CD CM 2 DBDM即2=25 2W5 CM= 解得 5 .CB.=2CM=45 5 2.2025T苏连云洁兰被)如氨，在四总形1BCD中，4B=D-4C,∠ABC-120 4 ∠ADC=150°，BC+CD=12,则BD的最小值是—· 9292 【答案】2/2 【分析】将△ADC绕点A进行顺时针旋转，使AD与AB重合，点C的对应点为点M,根据△ACD≌△AMB 得出对应边和对应角相等，然后证明。4BD6AMC,得出BD=MC,利用勾股定理以及完全平方式求 4 出最值即可. 【详解】解：如图，将△ADC绕点A进行顺时针旋转，使AD与AB重合，点C的对应点为点M, 99/175 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M 则△ACD≌AAMB, .CD=BM,AC=AM,∠CAD=∠MAB,∠ABM=∠ADC=150°， ∴.∠CAD+∠BAC=∠MAB+∠BAC,∠CBM=36O°-∠ABM-∠ABC=90°， 即∠BAD=∠MAC, AB_AM=1. 又'：ADAC .△ABDAAMC, MC AM AC 4 BD AB AD3· 3 :BD=子MC, 4 .BC+CD=12, .BC+BM=12, :∠CBM=90°， ..CM=BC2+BM2=(12-BC)+BC2=2(BC-6)+72 当8C=6 时， CM取斜最小值为65。 BD-3MC 户0取用最小值为了6 33.(2026江苏徐州·二模)如图，在等边△ABC中，AB=6,点E是边AB上的一动点（不与点A,B重 合)，将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接EF交AC于点H.在点E运动的过程中，线 CH 段比EF的最小值为—。 100/175 专题17 相似三角形 1年真题1年模拟 考点分类 江苏考情（2026） 命题规律 考点 01 平行线分线段成比例定理 2026 南京卷 2026 无锡卷 以选择、填空或基础解答题形式考查。依托网格、四边形、圆等图形载体，核心考查平行线分线段成比例的基本图形与比例线段推导；命题侧重基础模型识别，难度一般较低。 考点 02 相似三角形性质与判定综合 2026 苏州卷 2026 盐城卷 以选择、填空及证明计算题形式考查。依托三角形折叠、动点、实际测量等情境，核心考查相似三角形判定定理、性质及对应边比例关系；命题常融合角度、面积与线段长度计算，属于中档高频考点。 考点 03 相似三角形与函数综合 2026 南京卷 2026 常州卷 以解答题形式考查。依托平面直角坐标系、一次函数、反比例函数等载体，核心考查相似三角形与函数图象交点、线段比例、面积关系的综合应用；命题侧重数形结合与代数运算，难度中等偏上。 考点 04 相似三角形与几何综合 2026 南京卷 2026 无锡卷 以压轴解答题形式考查。依托矩形、正方形、圆、翻折、旋转、新定义等综合背景，核心考查相似三角形判定、性质、比例转化及几何推理；命题常作为模块难点，强调多结论判断、辅助线构造与综合论证。 考点01 平行线分线段成比例定理 1．（2026·江苏盐城·中考真题）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，在四边形中，，，，以为直径作，分别交，于点E，F，，相交于点M． (1)与相似吗？为什么？ (2)已知，，N为的中点，连接． ①求，的长； ②仅用一把无刻度的直尺在线段上作一点P，使得为等腰三角形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 考点02 相似三角形性质与判定综合 1．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 3．（2026·江苏常州·中考真题）如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 4．（2026·江苏常州·中考真题）综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． (1)在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． (3)当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 5．（2026·江苏南通·中考真题）主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究． 【数学情境】 在平面直角坐标系中，将点（）绕点逆时针旋转得到点．旋转角为（），点关于直线的对称点为．分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．设线段与交于点，连接，． 【特例感知】 (1)如图1，当，时，求线段的长． 【猜想证明】 (2)在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段，的大小关系，并说明理由． 【拓广探索】 (3)若，求实数的取值范围． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 考点03 相似三角形与函数综合 1．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，直线与坐标轴交于点A和，与反比例函数的图象交于点C和D，连接、，若，则的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 考点04 相似三角形与几何综合 1．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，，，E是边上的动点（点E在A，B之间运动，不与A，B重合），过E作的垂线交边于点F，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 3．（2026·江苏南通·中考真题）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 4．（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，将、、、分别绕点、、、逆时针旋转，得到、、、，连接、、、．下面四个结论：①四边形为平行四边形；②；③当时，四边形的面积为；④存在，使得四边形为矩形． 其中正确结论的序号是____________． 5．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②求的值． 6．（2026·江苏扬州·中考真题）如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． (1)如图2，若，求的值； (2)如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； (3)求点E运动过程中的最大值． 7．（2026·江苏无锡·中考真题）在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 8．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，在正方形中，是边上一动点（不与端点重合），连接，作关于的对称图形． (1)如图1，延长交于点，与相等吗？证明你的结论； (2)如图2，当时，连接交于点，求的值； (3)如图3，连接交于点，连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 1．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·三模）如图，与是位似图形，其位似中心为点，且，若的周长为3，则的周长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．27 3．（2026·江苏宿迁·二模）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为（     ） A．4 B． C．5 D． 4．（2026·江苏泰州·三模）如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南通·二模），，，点在边上，交于点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·三模）如图，在矩形中，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，连接．则的最小值为（     ） A．3 B．7 C． D． 8．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏无锡·三模）如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别在反比例函数，的图像上，连接，，，且．作轴于点A，轴于点B，若，则k的值为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 12．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏连云港·一模）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点为圆心，长为半径作弧交于点，与相交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，．点在边上，且．下列结论中，正确的个数是（   ） ①②③平分④的周长为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2026·江苏苏州·一模）如图，在△中，，点是上一点，连接，将△沿折叠得到△，经过的中点，且，则的长度为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏南通·一模）如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，则将直线绕着点B逆时针旋转后与x轴交点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 18．（2026·江苏宿迁·一模）如图所示，已知双曲线（）和（），直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，，则（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A． B． C． D． 20．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 21．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·江苏扬州·三模）如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 23．（2026·江苏南京·三模）如图，在中，．、分别是、上的点，、相交于点．若，则的长为__________． 24．（2026·江苏徐州·三模）已知，则________． 25．（2026·江苏泰州·三模）如图，矩形中，，，点为上一点，且，点为直线上一个动点，以为直角边，在下方作，其中，，连接，则线段长的最小值为___________． 26．（2026·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转，旋转角为，交直线于点E，BC交y轴于点F．对角线AC交y轴于点M，交直线于点N，连接，将与的面积分别记为与，设，，则关于n的函数表达式为 _____________． 27．（2026·江苏扬州·三模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为_____． 28．（2026·江苏南通·二模）如图，点在函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，连接并延长至，使，连接交该函数图象于点． （1）的面积是_____（用含的式子表示）； （2）的值是_____． 29．（2026·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 30．（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，则此时的值为_______． 31．（2026·江苏镇江·二模）如图，在边长为4的等腰中，点是线段的中点，点关于的对称点是点，连接，则的长是_____． 32．（2026·江苏连云港·三模）如图，在四边形中，，，，，则的最小值是______． 33．（2026·江苏徐州·二模）如图，在等边中，，点是边上的一动点（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．在点运动的过程中，线段比的最小值为______． 34．（2026·江苏南京·二模）如图，的顶点，分别在的边，上，，在边上，则的最大值为______． 35．（2026·江苏连云港·二模）如图，是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连接并延长交于点M．若，，则线段的长为____． 36．（2026·江苏淮安·二模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，若，（为常数），则_____．（用含的代数式表示）． 37．（2026·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则______． 38．（2026·江苏盐城·二模）如图，在边长为的正方形中，点E是边的中点，连接，以点E为旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点G，H，则的长为_____． 39．（2026·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M． （1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示） 40．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____． 41．（2026·江苏连云港·二模）如图，点O是边长为8的正方形的中心，P、Q分别是边、上的动点，若P、Q在运动过程中，则四边形的面积最小值为_______． 42．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为______． 43．（2026·江苏无锡·二模）如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 44．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 45．（2026·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，矩形的面积为18，对角线上有一点D，点D在反比例函数上，若，则k的值为_______． 46．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 47．（2026·江苏无锡·二模）如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 48．（2026·江苏苏州·二模）在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，则的长为__________． 49．（2026·江苏南京·二模）如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 50．（2026·江苏盐城·一模）如图，点在的边上，连接交于点，若，且，则________． 51．（2026·江苏扬州·二模）如图，是正方形两个外角的平分线，点M、N分别是平分线上的点，且始终满足． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若正方形的边长为2，随着点M在上运动，点N在上也随之运动， ①小明认为为定值，为定角，请问你是否同意小明的观点，如果同意，求出定值和定角，如果不同意，请说明理由； ②以为边构成的三角形面积为 ． 52．（2026·江苏盐城·三模）【创设情境】定义：如图1，若在边的同侧存在异于的点，有且，则称点为关于的直等积点． (1)【概念理解】 ①若，，则 ； ②如图2，用直尺和圆规作出关于的一个直等积点 （点在点的右侧），并过和交点作一直线将四边形的面积平分（不写作法但要保留作图痕迹）． (2)【初步运用】如图，正比例函数与反比例函数的图像相交于、两点，点，求关于的直等积点 的坐标． (3)【拓展提高】如图，抛物线与轴相交于、两点，点，关于的直等积点 恰好在此抛物线上． ①求二次函数表达式； ②若点在抛物线对称轴的右侧，为线段上的一个动点，始终与线段垂直，且交轴于点，当点沿线段从运动到，点在轴随之运动，点走过的路径长为 ．（直接写出结论）． 53．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 54．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数（）交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为1． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)如图2，点是图1中线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，，求面积的最大值； (3)如图3，将图1中线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（2026·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且． (1)求k的值； (2)在反比例函数的图象上取一点E，且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标． 56．（2026·江苏盐城·模拟预测）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，． (1)求证：； (2)【思考探究】如图2，矩形中，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长． 57．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践 【发现问题】数学活动课上，我们通过观察、探究，发现三角形的三条中线相交于一点，三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍． 【提出问题】怎样证明这两个结论？ 如图，的中线相交于点，连接并延长交于点． 求证： ① 是的中线； ② ． 【分析问题】(1)小明进行了以下思考，证明：延长至点，使得，连接．请沿着小明的思考，将证明过程补充完整． 【解决问题】(2)如图，在中，，，，中线相交于点．求四边形的面积． (3)如图，在的条件下，的角平分线交于点，连接．请直接写出的长． 58．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． (1)求证：F是的中点； (2)求证：； (3)若，，求的值． 59．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，，点E在对角线上，点F是边上一动点，连接，延长交于点P，若． (1)当时，___________； (2)如图1，将射线绕点E逆时针旋转，交边于点G，连接，求证：是等边三角形； (3)在（2）的条件下，连接，当与相似时，求的长； (4)以为斜边，在的右侧作，使，当点F从点B运动至点C时，请直接写出点Q的运动路径长． 60．（2026·江苏无锡·三模）解决以下问题 (1)问题思考 如图1，正方形中，点、在线段上，且满足，作交的延长线于点，则利用全等三角形的知识可知______（填，，）． (2)变化研究 如图2，正方形中，，点、在线段上，当时，试探究与、的关系，并直接写出的最小值为______． (3)拓展探索 如图3，，，，点、在线段上，且满足，若当取最小值时，，则线段的长为______． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $