精品解析：江西省南昌市南昌中学2025-2026学年九年级数学11月份考试试题

南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期初三数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线解析式确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 4. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解答即可． 【详解】解：，是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， 故选：C． 5. 点，和在抛物线上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握;根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 6. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或． 故答案为 或． 8. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 9. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支． 【答案】5 【解析】 【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案． 【详解】解：设每个支干长出x根小分支， 根据题意可得：1+x+x2＝31， 解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴每个支干长出5根小分支， 故答案是：5． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 10. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程是解决问题的关键．由题意可知物体回落到地面，也就离地面的高度为0，建立方程，求得答案即可． 【详解】解：由题意知 ：，解得：（舍）或， 答：物体经过秒回落地面， 故答案为：． 11. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解， ， 则，即， ， ； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ， 解得． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为 【解析】 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 15. 已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 【答案】（1） 如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知：二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求a，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是________． 【答案】（1），，； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把分别代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． （2）先由（1）得，，开口向上，结合表格数据，当时，，即可得出当时，x的取值范围是或． 【小问1详解】 解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴， 依题意，把代入， 得， 即． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴开口方向向上， 结合表格数据，得当时，， ∵抛物线的开口方向向上， 故当时，x的取值范围是或． 17. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出； （2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为． 【小问1详解】 解：如图，连接， 过圆心，， ， 设半径为，， 在中，， 即， 解得：， ∴半径为． 【小问2详解】 解：由（1）可知桥洞所在圆的半径， ∵，， ， ， ， ， 在中，． 又∵过圆心， ∴， 即当水深时，此时的水面宽为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达2000个；每降价1元，日销量可增加200个．为了尽快减少库存，当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到44800元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设日平均增长率为x，根据从4日到6日的增长列方程求解； （2）设降价y元，根据利润公式列方程求解，并考虑减少库存选择降价较多的解． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（负值舍去）， 即3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价y元， 由题意得：， 即， 化简得：， 解得或， 为了尽快减少库存，选择降价较多的， 答：每个玩偶降价6元． 19. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）若，求点的坐标； （2）如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【答案】（1）点C的坐标为或或或； （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可； （2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； 【小问2详解】 解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； （2）由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系；熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 22. 课本再现： 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，E为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，连接． ①求出点D到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，． ， ， ， ； （2）①∵四边形是菱形，， ， ∴为等边三角形， ， 由旋转可得：， ， 如图2，过作于． ， 当最小时，最小， 当时，最小，此时， ， ， ∴点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，，的最小值为 【解析】 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； 【小问3详解】 存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学教育集团2025-2026学年第一学期初三数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点，和在抛物线上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根是________． 8. 点关于原点对称的点的坐标是________． 9. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支． 10. 根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 11. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）. 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 15. 已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点． （1）如图1，点E在的边上； （2）如图2，点E在外． 16. 已知：二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … （1）求a，b，m的值； （2）当时，x的取值范围是________． 17. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到288个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达2000个；每降价1元，日销量可增加200个．为了尽快减少库存，当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到44800元？ 19. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． （1）若，求点的坐标； （2）如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，为的直径，为的弦．的平分线交于点D． （1）若，求的度数； （2）若，求的面积． 22. 课本再现： 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，E为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，连接． ①求出点D到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $