全国初中数学八年级竞赛模拟卷（三）八年级全国通用

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，不等式的性质，整式的加减等知识，先根据判断出，，，，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 3．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题． 分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了， ∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙， ∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意． 故选：C． 4．已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 5．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 6．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ， ， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如果关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及解不等式组等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由一次函数图象所过象限得到，且，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，且， 解得， 故答案为：． 8．分解因式= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，过点C作于G，先求出，，再证明得出，进而可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于G，如图： ， ∵， ∴，， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 故答案为：． 10．如图，平行四边形中，交于点F，交于点E， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，先求出，，设，分别对运用角直角三角形的性质和勾股定理表示出边长，再对运用角直角三角形的性质和勾股定理表示出边长，最后再对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ 设， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：． 11．如图，在等边中，D、E分别是边、上的点，且，与相交于点P，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 作于点Q，则，由等边三角形的性质得，，而，则，可证明，得，可推导出，则，所以，再证明，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点Q， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 14．（本题10分）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2024 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握题目所给的变形方式并正确应用是关键． （1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值； （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）解：设，， 则，， 所以， ； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 由得： ， 所以， ． 15．（本题10分）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论： 时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 16．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． (1)求k，m的值； (2)如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的存在性问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）①先确定点在直线上，在轴正半轴上截取，连接，证明，则，那么，当点三点共线时，取得最小值即为； ②可得，则，而，则，而，那么当是等腰直角三角形时，只能是，得到，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 将代入，则， 解得； （2）解：①对于，当 ∴， 由（1）可得直线的解析式为， 当， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∵轴，记垂足为点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最小值即为； ②如图： 由题意得，， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴ ∴当是等腰直角三角形时，只能是， ∴， 解得：或 ∴当是等腰直角三角形时，或． 17．（本题10分）如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． (1)求证：； (2)如图1，若，求的周长； (3)如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 【答案】(1)见解析 (2)或. (3)y的值是变化的，变化范围为 【分析】（1）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论； （2）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得，，在上截取，连接，过点N作于P，证明，得，再，设，由，，然后在中，由勾股定理，求得x值，由或，代入即可求的值，即可由的周长求解． （3）作的平分线交于N，证明，得，，，再证明，得，，证明，得，从而求得，所以y随着的增大而减小，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵， ∴， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在上截取，连接，过点N作于P，如图1， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，由，， 在中，由勾股定理，得 解得：， ∴， ∴， ∴当时， 的周长． 当时， 的周长． 综上，的周长为或. （3）解：作的平分线交于N，如图2， ∵平分 ∴， 由（1）知：， ∴ ∵，， ∴，， ∴ ∴，，， ∵将沿DE折叠至， ∴，，， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ， ∵，， ∴ ∴y随着的增大而减小， ∵E在AC边上运动（不与点A重合），， ∴点M在线段上， ∴，即， 此时， 当时，此时DM最小， ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理，得， ∴ 此时y取得最大值为，即， ∴． 故y的值是变化的，变化范围为． 18．（本题12分）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ； （2）不变，理由如下：    由（1）可知，， 是的外角， ， ， ； （3）在中，，， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学八年级竞赛模拟卷（三） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．设实数，则的化简结果是（   ） A． B． C． D． 2．是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 4．已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 5．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．如果关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是 ． 8．分解因式= ． 9．如图，点D在点A、C两点之间运动（不与点A、C重合），，．若，，则 ． 10．如图，平行四边形中，交于点F，交于点E， ，，则 ． 11．如图，在等边中，D、E分别是边、上的点，且，与相交于点P，连接，若，则 ． 12．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 14．（本题10分）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 15．（本题10分）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 16．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，直线，直线与y轴分别交于点B，C． (1)求k，m的值； (2)如图2，已知点P，过点P作轴，交直线于点E，过点P作轴，交直线于点D（点P与点D不重合）． ①连接，求的最小值； ②连接，当是等腰直角三角形时，求n的值． 17．（本题10分）如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． (1)求证：； (2)如图1，若，求的周长； (3)如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 18．（本题12分）（1）【判断】如图1，在中，，，作的平分线交于点D，在上任取点F，作，垂足为点E，则_______； （2）【迁移】如图2，将（1）中“在上任取点F”改为“在的延长线上任取点F”，其他条件不变，则______； （3）【拓展】如图3，在中，，，是的平分线，在直线上任取点F，过点F作与直线交于点E，请直接写出与α，β之间的数量关系______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $