精品解析：湖南省邵阳市邵东市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年九年级（上）期中学情质量监测 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则（ ） A. 6 B. 1.5 C. 9 D. 12 7. 如下图：点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A. ∠ACP＝∠B B. ∠APC＝∠ACB C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，轴于点，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 12. 若，则的值为 ________． 13. 已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）． 14. 如图，在中，，，如果，则_____． 15. 已知是方程的两个实数根，则代数式____________． 16. 如图RtABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=_________． 17. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点C坐标为，连接，若，则（1）点B的坐标为______；（2）k的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19～20小题每小题6分，第21～22小题每小题8分，第23～24小题每小题9分，第25～26小题每小题10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解方程： （1） （2）． 20. 如图，，已知，求的长． 21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 26. 如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点． （1）求证：； （2）当点运动到边的中点时，求的长； （3）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级（上）期中学情质量监测 数学 温馨提示：本卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，当时，求出对应的电流值即可． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴当时，， 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 4. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边加上一次项系数一半的平方得： 即 故选：A． 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 6. 如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则（ ） A. 6 B. 1.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的就是三角形相似的应用．解决本题的关键就是根据题意得出三角形相似．相似三角形的边长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，各边对应的中线、高线以及角平分线的比值等于相似比．在证明三角形相似的时候，利用两个角对应相等来证明是用的最多的一种方法．根据可得：，根据可得：，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如下图：点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A. ∠ACP＝∠B B. ∠APC＝∠ACB C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、∠ACP=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； B、∠APC=∠ACB，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； C、，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； ④，因为∠A=∠A，而PC和BC的夹角为∠C，所以不能判定△ACP∽△ABC，错误．故选D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 9. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 10. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，轴于点，则的面积为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 若，则的值为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 13. 已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，， ∴在同一象限内随着的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴（答案不唯一）； 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，如果，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由可得到，由可得到，从而可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴ 故答案为：． 15. 已知是方程的两个实数根，则代数式____________． 【答案】-2 【解析】 【分析】将m代入方程中得到m²+2m=2015，然后代数式可变形为再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意知：将m代入方程中得到m²+2m=2015， ∴==2015+(m+n)+mn， 由根与系数的关系可知：， ∴原代数式=2015+(-2)-2015=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，熟练掌握根系关系是解决本题的关键． 16. 如图RtABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=_________． 【答案】 【解析】 【分析】由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组对应角相等，进而可证得，因此可证得△BCD∽△CAD，列出比例式可求CD． 【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴， ∴, , ∴, ∴△BCD∽△CAD, ∴, ∴, ∵AD=4，BD=2， ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定的应用，解题的关键是推出△BCD∽△CAD. 17. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点C坐标为，连接，若，则（1）点B的坐标为______；（2）k的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键． 利用一次函数的性质和性质，求出点B的坐标为；设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， 故答案为： ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，第19～20小题每小题6分，第21～22小题每小题8分，第23～24小题每小题9分，第25～26小题每小题10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 【小问2详解】 解： ，，， ∴， ∴ ∴ 20. 如图，，已知，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明，由相似三角形的性质得出，设的长是．则，然后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解：设的长是．则， ， ∴， ， ， 解得：， 即的长为． 21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据得到，根据根与系数的关系得到，进而代入求解即可． 【小问1详解】 证明：， 无论取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：， ， 又， ， 解得：． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【解析】 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； 【小问2详解】 解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 26. 如图，在中，已知，，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点A，EF与交于点． （1）求证：； （2）当点运动到边的中点时，求的长； （3）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，根据等边对等角，可得，由，可得，进而可得，即可证得结论； （2）先证明，利用相似三角形性质求解即可； （3）根据是等腰三角形，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵点是边的中点，，， ∴，， ∴， ∵ ∴，即：， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，且， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用、等腰三角形性质等．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $