4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边)（教学设计 ）2025-2026学年八年级数学湘教版上册

该初中数学教学设计聚焦“全等三角形的判定定理（边角边，SAS）”，通过回顾全等三角形概念及“能否用更少条件判定”的问题导入，结合数学史（欧几里得《几何原本》）与AI动态数字人动画，搭建从概念到判定定理的学习支架。 特色在于实验探究（动手画三角形、对比夹角与非夹角反例）、逻辑证明（平移旋转轴对称三步变换）及中考真题与生活应用（卡钳测量原理），渗透数学史与思政教育。发展几何直观（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与模型应用（数学语言），助学生深化理解，教师易操作提升教学效率。

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 4.3.2全等三角形的判定定理(边角边) 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级上册 学段 义务教育初中阶段 版本章节 湘教版《数学》八年级上册第4章第3节第2课时 教学目标 1.通过动手操作与实验探究，理解并掌握“边角边”（SAS）全等三角形的判定定理，能够用语言和符号准确表述该定理，发展几何直观与逻辑推理素养。 2.能在具体图形中识别两边及其夹角的对应关系，并运用SAS定理判断两个三角形是否全等，提升空间观念与数学表达能力。 3.结合欧几里得《几何原本》中的公理化思想，了解“边角边”作为基本事实的历史渊源，感受人类对逻辑严谨性的追求；在证明过程中培养“言必有据”的科学态度，树立实事求是、尊重规律的思政意识。 教学重难点 教学重点： 1.掌握“边角边”判定定理的内容及适用条件，明确“两边及其夹角”是关键要素。 2.能结合具体图形正确应用该定理进行三角形全等的判断与简单证明。 教学难点： 1.理解“夹角”的含义，避免将非夹角误认为满足条件，实现从直观感知到逻辑辨析的跨越。 2.在复杂图形中准确提取所需信息，建立正确的对应关系，发展学生的空间想象能力和严谨的演绎推理能力。 学情分析 八年级学生已经学习了全等三角形的概念，具备一定的几何推理基础。他们能够通过叠合实验理解全等的本质，但在抽象概括和形式化表达方面仍存在困难。部分学生容易混淆“任意两边一角”与“两边及其夹角”的区别，导致错误应用定理。此外，学生对于几何证明的逻辑结构尚不熟练，常出现跳步、因果倒置或理由缺失等问题。同时，多数学生对数学史缺乏兴趣，若不加以引导，难以体会几何学背后的理性精神与文化价值。因此，本节课需借助实验操作、历史溯源与逻辑论证相结合的方式，帮助学生深化理解、纠正误区，激发探究欲望，培养逻辑思维品质和科学态度。 教学准备 教师准备：多媒体课件、剪刀、直尺、量角器、彩色卡纸。 学生准备：练习本、铅笔、橡皮、直尺、量角器、剪刀、圆规。 教具支持：电子白板、实物投影仪，用于展示学生作品和操作过程。 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） 任务一：情境导入，追溯起源 活动1：回顾旧知，提出核心问题 师：我们已经知道，如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等。但这样需要六个条件，太繁琐了。能不能用更少的条件来判定两个三角形全等呢？ 师：比如只给一条边或一个角，行不行？ 生：肯定不行，形状大小都不确定。 师：两条边呢？或者一边一角？ 生：好像也不够…… 师：非常好！这正是我们今天要研究的问题。翻开教材第106页，我们一起看“议一议”表格，看看书中是如何引导我们一步步探究这个问题的。 活动2：数学史渗透 数字人：其实早在两千多年前，古希腊有一位伟大的数学家叫欧几里得，他在一本叫《几何原本》的书中系统地研究了这个问题。他提出了一些不需要证明就被接受的基本事实，其中就包括今天我们即将学习的“边角边”定理。这不仅是数学知识，更是人类理性思维的伟大成果。让我们带着敬意走进这段历史，开启今天的探索之旅。 通过真实工程紧扣“能否用更少条件”这一根本问题，激发认知冲突；通过连续追问引导学生主动思考，为后续探究做好心理铺垫；融入数学史增强文化底蕴，培养学生科学精神与民族自豪感。 使用AI生成动态数字人动画，增强沉浸感。 任务二：实验探究，形成猜想 活动3：完成“议一议”表格 师：请大家看教材第106页“议一议”中的表格： 师：由上表可知，当两个三角形只有一条边(或一个角)相等时，两个三角形不一定全等;当只有两条边(或一边一角、两个角)分别对应相等时，两个三角形也不一定全等，这启发我们思考:能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等? 师：也就是说，我们需要找到一组“恰当组合”的三个条件，使得一旦满足，就能唯一确定一个三角形的形状和大小。 那么，今天我们就来重点研究其中一种情况——两边及其夹角。 活动4：“做一做” 师：现在请大家完成课本上的“做一做”： “画△ABC，使AB=2.5cm，BC=2cm，∠B=50°。” （教师巡视指导，提醒学生使用量角器精确画角） 师：大家都画好了吗？接下来，请你同桌也画一个同样的三角形：A'B'=2.5cm，B'C'=2cm，∠B'=50°。 画好后，请你们把两个三角形剪下来，试着叠在一起，看看能否完全重合。 师：你们发现了什么？ 生：能重合！ 师：所以这两个三角形—— 生：全等！ 师：非常好！这说明，当我们给出“两条边及其夹角”这三个条件时，所画出的三角形是唯一的，也就是说，这样的两个三角形一定全等。 活动5：对比反例，突出“夹角”关键性 师：那么，如果这个角不是“夹角”，而是其中一条边的对角，情况会如何呢？它是否也会全等？我们来探讨一下这种情况： “BC = B'C'，∠C = ∠C'，AB = A'B'” 。请注意，这里相等的角是∠C，它是边BC和AC的夹角，但我们所给出的两条边是AB和BC，∠C并不是这两条边的夹角！ 让我们尝试一下：能否画出两个满足这些条件却不全等的三角形？ 生：我发现很难画出来，因为不确定∠B的具体数值……似乎可以存在两种不同的位置。 师：说得对！这种情形就是我们常提到的“SSA”情况，它并不能确保三角形的唯一性。 活动6：归纳初步结论 师：通过刚才的操作和对比，我们可以得出一个重要发现： 只有当角是两边的“夹角”时，才能唯一确定一个三角形。 由此我们猜想： “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。” 这就是我们要学习的“边角边”判定定理，简称SAS。 通过亲自动手操作，经历“构造—对比—归纳”的全过程，建立直观感知；正反案例对比突出“夹角”的核心地位。 通过实验操作，激发学生学习兴趣。 任务三：逻辑证明，验证猜想 活动7：引入演绎证明 师：刚才我们通过实验得出了猜想，但数学不能仅靠实验，还需要严格的逻辑证明。下面我们利用平移、旋转、轴对称的知识来证明这个结论成立。 活动8：分步讲解证明过程 师：设在△ABC和△A'B'C'中，BA=B'A'，∠ABC=∠A'B'C'，BC=B'C'，如图4.3-8所示。 第一步：平移 将△ABC沿直线BB'方向平移，距离等于BB'的长度，得到△A₁B₁C₁，使点B与点B'重合。此时有： B₁C₁=BC=B'C'，BA₁=BA=B'A'，∠A₁B₁C₁=∠ABC=∠A'B'C' 第二步：旋转 将△A₁B₁C₁绕点B'旋转，转角大小为∠C'B'C₁。由于BC=B'C'，且B₁C₁=BC，所以B₁C₁=B'C'，故点C₁与点C'重合。 又因∠A₁B₁C₁=∠A'B'C'，所以射线B'A₁与射线B'A'重合。 第三步：轴对称 若点A₁与点A'不在同侧，则作△A₁B'C'关于直线B'C'的轴对称图形，其像记为△A₂B'C'。由对称性质可知，点A₂与点A'重合。 师：经过变换后，最终△ABC与△A'B'C'完全重合了吗？ 生：是的！ 师：所以我们可以说： △ABC≌△A'B'C'（SAS） 这个过程体现了数学的严谨性——每一个结论都有依据，每一步变换都可追溯。 帮助学生建立从合情推理到演绎推理的认知飞跃；通过三步变换演示，深化对全等本质的理解，体现数学的逻辑之美。 联系已有知识，帮助学生构建数学知识间的直接联系，为新知识搭建稳固的支架。 任务四：典例剖析，发展推理 活动9：讲解教材例题2 师：现在我们来看课本第107页的例题2： “如图4.3-10，AB和CD相交于点O，且AO=BO，CO=DO。求证：△ACO≌△BDO。” 师：在这个题目中，我们有哪些已知条件？ 生：AO=BO，CO=DO，还有AB和CD相交于O。 师：那我们能找出哪些角相等？ 生：∠AOC和∠BOD是对顶角，所以相等。 师：非常好！所以在△ACO和△BDO中： AO=BO（已知） ∠AOC=∠BOD（对顶角相等） CO=DO（已知） 所以可以用SAS判定全等。 活动10：规范书写证明过程 师：现在我们一起来写出完整的证明过程： 证明： 在△ACO和△BDO中， ∵AO=BO（已知） ∠AOC=∠BOD（对顶角相等） CO=DO（已知） ∴△ACO≌△BDO（边角边） 活动11：辨析易错命题 师：请大家讨论一下：“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？ （组织小组讨论） 生：我觉得是假的，因为那个角不是夹角。 师：非常正确！这就是所谓的“SSA”情形，它不能保证唯一性。我们将在后续课程中专门研究反例。记住：只有“SAS”才是可靠的判定方法。 活动11：呈现中考真题 师：同学们，全等三角形的判定是中考必考内容。下面我们来看一道来自湖南省近年的中考原题： 【2024中考真题】 如图，如图，平分，．求证：． 师：请大家仔细审题，找出已知条件。 生：AB平分∠CAD，AC=AD 师：证明步骤： ∵AB平分∠CAD（已知） ∴∠CAB=∠DAB（角平分线的定义：将一个角分成两个相等的角） 在△ACB和△ADB中： AC=AD（已知） ∠CAB=∠DAB（已证） AB=AB（公共边：两个三角形共有的边） ∴△ACB≌△ADB（SAS全等判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等） ∴∠C=∠D（全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等） 结论：∠C=∠D，得证。 活动12：总结中考考点 师：从这道题可以看出，中考中对SAS的考查关键是要找准“两边及其夹角”，并通过等量代换、公共边、公共角等方式挖掘隐含条件。 活动12：解决实际问题 师：数学不仅存在于课本中，也广泛应用于生活中。请大家看课本第108页练习第1题： “将两根钢条AA'和BB'的中点O连在一起，形成卡钳。只要量出A'B'的长，就能得出工件内槽的宽AB。根据的是什么道理？” 师：谁能分析一下这个装置的原理？ 生：因为O是AA'和BB'的中点，所以AO=A'O，BO=B'O。 又因为∠AOB和∠A'OB'是对顶角，所以相等。 所以△AOB≌△A'OB'（SAS），因此AB=A'B'。 师：回答得非常完整！这就是卡钳的设计原理——利用SAS判定全等，实现间接测量。这体现了数学在工程技术中的巨大价值。 活动13：渗透思政教育 师：从古至今，无论是古代工匠制作测量工具，还是现代工程师设计精密仪器，都离不开像SAS这样的几何原理。这告诉我们：数学不是空中楼阁，而是源于实践又服务于实践的科学。 数字人：正如我国著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。” 希望大家今后也能像欧几里得那样，保持理性思维，追求真理；像一线工程师那样，脚踏实地，实事求是。这才是新时代青少年应有的科学精神和责任担当。 通过引入真实中考题，增强学生对知识点重要性的认识；剖析命题规律，提升应试能力；帮助学生构建解题策略体系，实现课堂与中考的有效衔接。 紧扣中考要点，攻克中考重难点；融入思政教育，彰显数学核心素养。 作业设计 一、基础巩固 1.下列条件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是（　　） A.AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B' B.AB=A'B'，BC=B'C'，∠A=∠A' C.AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C' D.∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 2.如图,,.和全等吗?为什么? 二、能力提升 3.如图,已知,,分别是,的中点。求证:. 三、拓展延伸 4.查阅资料，简述欧几里得《几何原本》中关于“边角边”的记载，并谈谈你对“公理化思想”的理解（不少于150字）。 板书设计/课堂小结 4.3.2全等三角形的判定定理（边角边） 一、问题引入： 全等需六要素→能否简化？ 二、实验探究： “议一议”三种情况： ①夹角→全等（是） ②非夹角→不一定全等（否） 三、合情猜想： “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等” 四、演绎证明： 三步变换法： 1.平移→点B重合 2.旋转→边BC重合 3.轴对称→完全重合 ∴△ABC≌△A'B'C'（SAS） 教学反思 1.本节课通过引导学生亲历“操作—观察—猜想—证明—应用”的完整认知链条，深刻体会数学知识的发生发展过程，有效突破了教学难点。 2.教学过程中体现了“用教材教”的理念。通过层层递进的师生对话，不断暴露思维过程，纠正学生对“任意两边一角”的错误认知，强化了逻辑推理的严密性，落实了数学核心素养的培养要求。 3.“中考链接”和“生活应用”环节后，显著提升了学生的学习动机和目标感。通过分析真实考题和工程案例，学生不仅掌握了SAS的应用技巧，更学会了如何应对条件变形、如何挖掘隐含信息。反思发现，部分学生在面对综合题时仍缺乏拆解问题的能力，后续教学中应加强“条件分析—目标导向—策略选择”的思维训练，进一步提升数学建模与问题解决能力。 学科网（北京）股份有限公司 $