专题01 全等三角形的4大模型1大构造法（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 全等三角形的4大模型1大构造法 目录 题型一：平移模型 1 题型二：翻折（轴对称）模型 5 题型三：手拉手模型 9 题型四：一线三等角模型 19 题型五：倍长中线法 25 题型一：平移模型 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，首先由平移的性质知，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】由平移的性质知， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以的面积为． 故选A． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，将沿所在直线向左平移得到，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平移的性质、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质． 由平移性质可得，，则可排除、选项；根据全等三角形性质可证，可排除选项． 【详解】解：根据平移性质可得：，， 、选项说法正确，不符合题意； ， ， 即， 选项说法正确，不符合题意； 如果，则可证， 但题中未给该条件，无法证明， 选项说法错误，符合题意． 故选：． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，其中． (1)若，求阴影部分的面积； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平移的性质得到，，则，即，再根据梯形的面积公式计算，得到答案． （2）根据平移的性质得到，由平分可求，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）解：由平移的性质可知：，， ， ， ； （2）解：根据平移的性质得到， ∵平分，， ， ． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 即平移的距离的长为． 6．（23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 题型二：翻折（轴对称）模型 7．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，三角形的内角和，全等三角形的性质，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 由翻折得到，推导出，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：∵分别沿向外翻折至， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，把沿直线翻折，得到，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，翻折的性质，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可得，再根据全等三角形的性质，得出对应角相等，进而根据三角形内角和可得的度数． 【详解】解：∵沿直线翻折，得到，，， ∴， ∴，， ∴． 9．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，点与点关于成轴对称，连接，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、轴对称的性质、等边对等角，由轴对称的性质可得，由等边对等角可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点与点关于成轴对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在中，，，是边上一点，与关于直线成轴对称，若，则 ；若，，则的面积为 ． 【答案】 /60度 / 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，等腰三角形的判断，三角形面积计算，先根据三角形内角和定理求出，根据折叠得出，求出；证明，得出，求出，根据，求出三角形面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 11．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形外角的性质等知识，根据成轴对称的图形，对应角相等，得出，，然后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于边所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于成轴对称，点B，M，C在同一直线上，N是边上一点，D是延长线上一点，连接，与交于点O，作关于的对称图形，点D，N，E在同一直线上． (1)填空：________，________； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)132°． 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据成轴对称的两个图形全等解答即可； （2）根据轴对称的性质得到，，然后根据三角形的内角和求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，与关于成轴对称，关于的对称图形， ∴，， 故答案为：，； （2）根据轴对称的性质，得，，，． ． ． ． ． ． 题型三：手拉手模型 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，，进而得到，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选C 14．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）已知： 等腰中，， 等腰中，，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，可得，从而可证，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质可得，由，并结合对顶角相等可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵等腰，等腰， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点C，交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 15．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）如图，三个斜边彼此不等的等腰，，，其中，，，，若P为的中点，请探究P是否为线段的中点，说明理由． 【答案】是，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，、、，证明，进而证明得出，证明A、P、B三点共线，即可得证． 【详解】解：P为线段的中点，理由如下： 连接、、 ∵等腰，，， ，  ，    ，    ， ，     ，        ∵P为的中点，         ， 又    A、P、B三点共线    P是线段的中点 16．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）【问题探究】如图，和都是等腰直角三角形，，，，且这两个三角形的顶点重合，连接，． （1）如图①，探究和的数量关系为__________； （2）如图②，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图③，在广场改造项目中，施工团队规划了两个等腰直角三角形的景观区域和，两个区域以点为公共衔接点，且，，．为了优化广场步行动线，团队计划在两区域间搭建一条关键步行通道，要求通道与垂直（即），延长交景观边界于点，且，的面积为．请计算出关键步行通道的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）过点C作于E，过点D作交延长线于F， 可证明，得到；再由，且，即可证明； （3）过点D作交延长线于H，证明，得到，；则由三角形面积计算公式可推出，进而得到；证明，得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图所示，过点C作于E，过点D作交延长线于F， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，且， ∴； （3）如图所示，过点D作交延长线于H， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 18．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 19．（2023九年级·全国·专题练习）如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问： （1）△ADG≌△CDE是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分∠AHE？ （如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？） 【答案】（1）是，详见解析；（2）是，详见解析；（3）90°；（4）是，详见解析 【分析】（1）由四边形与是正方形，可得，，，进而得出，然后由边角边即可判定； （2）根据全等三角形的性质则可证得； （3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是； （4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可． 【详解】解：（1）结论：成立 证明：∵和是正方形 ∴，，且 ∴ 在与中 ∴； （2）结论： 证明：∵ ∴； （3）与交点为，如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴和的夹角为； （4）结论：平分 证明：过点作，，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴平分． 由勾股定理可得：AC2+GE2=AE2+CG2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、角的和差、三角形的面积、角平分线的判定、三角形的内角和等知识点，体现了逻辑推理的核心素养，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 题型四：一线三等角模型 20．（25-26八年级上·海南海口·期中）在中，，，直线经过点C，用于点，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题； （2）由（1）同理可证，利用全等三角形性质得到，再结合等量代换即可证明： （3）由（1）同理可证，利用全等三角形性质得到，再结合等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵在中，， ， 于点，于点E， ， ， ， ， ， （2）证明：由（1）同理可证， ， ， ． （3）解：， 理由如下：由（1）同理可证， ， ， ． 21．（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，点，，在同一条直线上，在的同侧作．，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． （1）利用直接证明； （2）根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】（1）证明：∵．， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）已知，中，，，一直线过定点，过，分别作其垂线，垂足分别为，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ； (3)在（2）的条件下，若，，则的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，余角的性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据即可证明； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， 理由如下： ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 即； （3）解：由（2）得且， ， ， ，， ． 23．（25-26八年级上·天津·阶段练习）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 求证： (1)； (2)若，．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，根据余角的性质可得，然后根据AAS证明即可； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵，，． ∴，， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·山东泰安·期中）像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）过D作交的延长线于点F，证明，得到，，进而得到，即可证明； （3）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，作交于，作交于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：米． 题型五：倍长中线法 25．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 26．（25-26八年级上·天津·期中）在中，，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·四川自贡·阶段练习）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】（1）解： 是中线， ． 在和中， ， ． （2）解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 28．（25-26八年级上·吉林延边·期中）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如 下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到 M，使，连接． 【探究发现】∶（1）图①中，判断与的数量关系和位置关系并证明． 【初步应用】∶（2）如图②，在中，若，求边上的中线的取值范围． 【探究提升】∶（3）如图③，是的中线，过点A 分别向外作，使得，延长交于点P，直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）与的数量关系为，位置关系为，证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，在中，利用三角形的三边关系解答即可； （3）延长到 M，使，连接，由（1）得：，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：（1）与的数量关系为，位置关系为，证明如下： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）延长到 M，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴， 即边上的中线的取值范围为； （3）如图，延长到 M，使，连接， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SAS B．SSS C．AAS （2）由三角形三边的关系可得的取值范围为，从而得到长的取值范围是___________． 【方法小结】题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）A；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，中点与中线的性质应用，解决本题的关键是熟练掌握角边角的证明方法证明全等． （1）根据边角边的证明方程即可证明． （2）根据三角形三边关系可先求解的取值范围，再根据即可求解长的取值范围． （3）先由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，，再根据边角边的证明方法证明与全等，由此可证． 【详解】解：（1）∵为边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴． 故答案为：A． （2）由（1）知，， 又， 在中，， 则有，即， ∵， ∴，即． 故答案为：． （3）延长到点F，使，如图， ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， 在与中， ， ∴． ∴， ∵，即， ∴． 30．（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点 E，使，请根据小明的方法思考： （1） 由已知和作图能得到的理由是 ． A．   B．     C．     D． （2）求得的取值范围是 ． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3） 如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）详见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确作辅助线，构造全等三角形． （1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长至，使，可证明，可得，，从而得到，再根据以及三角形外角的性质可得，可证明，可得到，即可求证． 【详解】解：（1）延长到点 E，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； 故选：B （2）∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴； 故选：C （3）延长至，使， 是的中线， ， ∵，， ， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形的4大模型1大构造法 题型1平移模型 题型2翻折（轴对称）模型 全等三角形的4大型1大构 题型3手拉手模型 造法 题型4一线三等角模型 题型5倍长中线法 题型归纳 月录 题型一：平移模型… 1 题型二：翻折（轴对称）模型 .5 题型三：手拉手模型… 题型四：一线三等角模型 .9 19 题型五：倍长中线法… .25 题型专练 题型一：平移模型 1.(25-26八年级上·全国·随堂练习)如图，两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10,D0=4,BF=21,平移距离为6，则△OEC的面积为() B E A.27 B.40 C.42 D.48 2.(24-25八年级下·辽宁丹东·期中)如图，将ABC沿BC所在直线向左平移得到△DEF,则下列说法错误 的是() 1/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B F A.AB∥DE B.BE=CF C.△ABC≌△DEF D.AB⊥DF 3.(24-25八年级下·山西晋中期中)某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考.现将两个全等 的ABC和△DEF重叠在一起，固定ABC不变，将△DEF沿射线BC平移.若ABC的周长为8，平移的 距离为2，则四边形ABFD的周长 D B E 4.(22-23七年级下·陕西西安期中)如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到△DEF,其中 ∠ABC=90°. D (I)若BE=4,EF=8,CG=3,求阴影部分的面积； (2)若EG平分∠FED,∠C=60°，求LFGE的度数. 5.(24-25七年级下·江苏泰州阶段练习)如图，将三角形ABC沿BC方向平移，得到三角形DEF. D 2 B E C F (1)若∠B=85°，∠F=30°，求∠A的度数： (2)若BC=10,EC=6,求平移的距离的长. 6.(23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习)如图，ABC的边长BC长为7cm,将ABC向上平移3cm得到 △A'B'C',已知四边形BCC'B'为长方形，则阴影部分的面积为一· 2/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A 题型二：翻折（轴对称）模型 7.(25-26八年级上·福建厦门阶段练习)如图，在锐角ABC中，∠ABC=47°，∠ACB=74°，P为BC上 一动点，将aABP,△ACP分别沿AB,AC向外翻折，得到△ABD,△ACE,则∠DAE的度数为() E B C A.104° B.118° C.121° D.138 8.(25-26八年级上·陕西榆林·期中)如图，把ABC沿直线AC翻折180°，得到△ADC,∠B=100°， ∠BAD=64°，求∠BCA的度数， B D 9.(24-25七年级下·江苏常州期末)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点C与点B关于DE成轴对称，连 接BE,已知LABE=3LEBD,则∠C的度数是() E B D A.30° B.20° C.18 D.16 10.(24-25七年级下·重庆北碚期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，D是边AC上一点， △ABD与△EBD关于直线BD成轴对称，若∠ADB=120°，则∠CBF=一；若AF-CF,AB=2,则 5 BCF的面积为_一 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 11,(25-26八年级上·吉林期中)如图，AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，A0的延长线交 BC于点D.若∠ABO=25°，∠C=20°.求∠ADC的度数. 12.(24-25七年级下山西晋城期末)如图，△ABM与△ACM关于AM成轴对称，点B,M,C在同一直 线上，N是AC边上一点，D是AM延长线上一点，连接DN,DN与CM交于点O,作△ADN关于AN的 对称图形△AEN,点D,N,E在同一直线上. E B D (I)填空：△ABM≌△ ,△ADN≌△ (②)若∠ABM=42°，求∠E和∠MON的度数. 题型三：手拉手模型 13.(25-26八年级上·吉林长春·期中)如图，△ABC≌△ADE,连接BD,若LEAC=90°，AB=3,则图 中阴影部分的面积为() E B A. B.3 c D.9 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上山东滨州阶段练习)已知：等腰Rta0AB中，∠A0B=90°，等腰Rt△E0F中， LEOF=90°，连接AE、BF,求证： B (1)AE=BF; (2)AE⊥BF. 15.(24-25七年级下·福建厦门阶段练习)如图，三个斜边彼此不等的等腰RtAADC,Rt△DEF,Rt△CEB, 其中AD=CD,DE=EF,BE=CE,LADC=∠DEF=∠CEB=90°，若P为DF的中点，请探究P是否 为线段AB的中点，说明理由. 等腰RtaADC,Rt△DEF,Rt△CEB, 16.(25-26八年级上陕西榆林期中)【问题探究】如图，A0B和△C0D都是等腰直角三角形， LA0B=LCOD=90°，OA=OB,OC=OD,且这两个三角形的顶点O重合，连接AD,BC. B B B 图① 图② 图③ (1)如图①，探究BC和AD的数量关系为 (2)如图②，连接AC,BD.求证：SA4oc=S△BO; 【问题解决】 (3)如图③，在广场改造项目中，施工团队规划了两个等腰直角三角形的景观区域AOB和△COD,两 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个区域以点O为公共衔接点，且∠AOB=∠C0D=90°，OA=0B,OC=OD.为了优化广场步行动线，团队 计划在两区域间搭建一条关键步行通道AC,要求通道AC与OA垂直（即∠CA0=90°），延长OA交景观边 界BD于点E,且AE=100m,△AOD的面积为3200m2.请计算出关键步行通道AC的长度. 17.(24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中)已知ABC与ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD, 连接BD与EC相交于点F,BD与AC相交点G. 图1 图2 图3 (1)猜想：如图1所示，当LBAC=60°时，则∠BFC= (2)探究：如图2所示，当LBAC=90°时，请求出∠BFC的度数： (3)拓展延伸：如图3所示，当AB∥CE,AB=5,EC=8,请求出DF的长度. 18.(23-24七年级下·广东揭阳·期末)如图，以ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直 角△ACE,∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于点G. A B (I)试说明：△DAC≌△BAE; (2)试说明：DC⊥BE; (3)试说明：点A到边CD,BE所在直线的距离相等. 19.(2023九年级·全国·专题练习)如图，两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H问： B (1)△ADG≌△CDE是否成立？ 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)AG是否与CE相等？ (3)AG与CE之间的夹角为多少度？ (4)HD是否平分∠AHE? (如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？) 题型四：一线三等角模型 20.(25-26八年级上海南海口·期中)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,用 AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. PB A NN 图1 图2 图3 (I)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB; (②)当直线MW绕点C旋转到图2的位置时，求证：AD=DE+BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出DE,AD,BE之间的等量关系 21.(25-26八年级上北京西城期中)如图，点A,B,D在同一条直线上，在AD的同侧作 ∠A=∠ADE=90°.BC=BE,∠ABC=∠DEB. A B (I)求证：△ABC≌△DEB. (2)求证：AD=AC+DE. 22.(25-26八年级上吉林阶段练习)已知，ABC中，CA=CB,LACB=90°，一直线过定点C,过A, B分别作其垂线，垂足分别为E,F. 图1 图2 (I)如图1，求证：AEC≌CFB; (2)如图2，请直接写出EF,AE,BF之间的数量关系_： (3)在(2)的条件下，若BF=3AE,EF=4,则△BFC的面积是_· 23.(25-26八年级上·天津阶段练习)如图，已知：在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点 7/11 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E. D A E 求证： (I)△BDA≌△AEC; (2)若BD=3,CE=4,求四边形BDEC的面积. 24.（25-26七年级上山东泰安期中)像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们 般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索，请结合以上阅 读，解决下列问题： D E B 图1 图2 图3 (I)如图2，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,过点A作直线AE,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E, 探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论， (2)如图3，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC,AE=DE,且点E在 BC上，连接BD,求证：∠ABD=90°. (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用 力一蹬，妈妈在距地面1.2m的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m的C处接住她.若妈妈与爸爸水 平距离DE为3.lm,∠B0C=90°，则秋千悬挂处O与地面的距离为·（不必书写解题过程）. D 7777777777777777771 图4 题型五：倍长中线法 25.(25-26八年级上·全国·期中)如图，在ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，则AD的取 值范围是() 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D A.2<AD<10 B.1<AD<5 C.0<AD<10 D.无法确定 26.(25-26八年级上·天津期中)在ABC中，AC=8,AB=12,则ABC的中线AD取值范围是 B D 27.(25-26八年级上·四川自贡阶段练习)在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长 中线法。 B、 M 图1 图2 (I)如图1，在ABC中，AB>AC,AD是中线，延长AD至点E,使DE=DA,可得ADC≌EDB.请 你说明理由。 (②)如图2，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC中点，求证：DE=2AM. 28.(25-26八年级上·吉林延边期中)为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽 在组内做了如下尝试：如图①，在ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M,使DM=AD,连接 BM 【探究发现】：(1)图①中，判断AC与BM的数量关系和位置关系并证明. 【初步应用】：(2)如图②，在ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围. 【探究提升】：(3)如图③，AD是ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC,使得 AE=AB,AF=AC,延长DA交EF于点P,直接写出线段EF与AD的数量关系， B M D 图① 图② 图③ 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 29.(25-26八年级上浙江绍兴·阶段练习)【发现问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： B E 图① 图② 如图①.在ABC中，若AB=12,AC=6,求BC边上的中线AD取值范围 【探究方法】经过合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明方法 思考： (I)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SAS B.SSS C.AAS (2)由三角形三边的关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD长的取值范围是 【方法小结】题中出现“中点“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 的结论集中到一个三角形中， (3)【初步运用】 如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，求证： OE=1BD 2 30.(25-26七年级上·山东济宁·阶段练习)【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到 了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： D 图1 (1)由已知和作图能得到ADC≌EDB的理由是_， A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是_ A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 10/11