24.2 直角三角形的性质同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

24.2 直角三角形的性质 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•山阴县期中）在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大20°，则该三角形中较小锐角的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．35° 2．（2025秋•宁波校级期中）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝75°，则∠DEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．（2025秋•榆阳区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，连接ED，EC，且ED＝EC，过点E作EF⊥BC于点F，若BE＝6，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．（2025•彰武县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，过点A，B分别作AE∥BD，BE∥AC．若AB＝5，BC＝12，则四边形AEBD的面积为（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 5．（2025秋•松山区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝2∠A，BD是∠ABC的平分线，过点D作BD的垂线，交BC的延长线于点E，交AB于点F，若CE＝3，则AB＝（　　） A．6 B．10 C．12 D．18 6．（2025秋•柯桥区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（　　） A．14° B．16° C．18° D．15° 二．填空题（共7小题） 7．（2025秋•南昌期中）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，连接CD，且AD＝BD＝CD，若∠A＝36°，则∠BCD＝　 　 °． 8．（2025秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．BE为AC边上的高，BD为AC边上的中线．若△ABC的面积为20，BD＝5，则BE的长度为　 　 ． 9．（2025秋•潮南区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上的一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F．则线段BF的长的最大值是　 　 ． 10．（2025秋•临河区期中）如图所示，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若AC＝6，则AD的长为 　 　 ． 11．（2025秋•集美区校级期中）将两个全等的含30°角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF＝ 　 　 ． 12．（2025春•新田县期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　 　 m． 13．（2025秋•宁阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∠E＝∠EBC＝60°，若BE＝10cm，EG＝6cm，则BC的长为　 　 ． 三．解答题（共3小题） 14．（2025秋•南昌期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D． （1）若∠A＝30°，求∠BDC的度数； （2）若△BCD的周长为9，BC＝3，求△ABC的周长． 15．（2025秋•宁波校级期中）如图，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝30°，BD＝8，求AC的长． 16．（2025秋•山阴县期中）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AD是△ABC的角平分线，延长BC至点E，∠ACE＝110°． （1）求∠CAD的度数． （2）若F是AB边上一点，∠ADF＝53°，求证：△ADF是直角三角形． 24.2 直角三角形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•山阴县期中）在一个直角三角形中，其中一个锐角比另一个锐角大20°，则该三角形中较小锐角的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．35° 【考点】直角三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+20°， 由题意得：x+x+20°＝90°， 解得：x＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 2．（2025秋•宁波校级期中）如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝75°，则∠DEC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】直角三角形斜边上的中线；垂线． 【专题】三角形． 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以∠BAC＝∠ECA，又∠ACD+∠BAC＝75°，则∠DCE＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠BAC＝75°，然后通过等边对等角得∠CDE＝∠DCE＝75°，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵E为AB中点， ∴， ∴∠BAC＝∠ECA， ∵∠ACD+∠BAC＝75°， ∴∠DCE＝∠ACD+∠ECA＝∠ACD+∠BAC＝75°， ∵DE＝CE， ∴∠CDE＝∠DCE＝75°， ∴∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题关键． 3．（2025秋•榆阳区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，连接ED，EC，且ED＝EC，过点E作EF⊥BC于点F，若BE＝6，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】A 【分析】在Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则∠BEF＝30°，，求出BF的值，根据题意可得BD+2DF＝5，同时BF＝BD+DF＝3，即DF＝3﹣BD，代入数据求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝5， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB＝90°， ∠ABC＝60°， 则∠BEF＝30°，， ∵BE＝6， ∴， ∵ED＝EC，EF⊥BC， ∴DF＝CF， 又∵BC＝5，即BD+DF+CF＝5，而DF＝CF， ∴BD+2DF＝5，同时BF＝BD+DF＝3，即DF＝3﹣BD， 将DF＝3﹣BD代入BD+2DF＝5，可得BD+2（3﹣BD）＝5， ∴BD＝1． 故选：A． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，正确进行计算是解题关键． 4．（2025•彰武县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，过点A，B分别作AE∥BD，BE∥AC．若AB＝5，BC＝12，则四边形AEBD的面积为（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；三角形的面积． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，再根据三角形中线的性质得到△ABD的面积，判定四边形AEBD是平行四边形，即可得到S▱AEBD＝2S△ABD＝30． 【解答】解：由条件可知， ∵点D是AC的中点， ∴， ∵AE∥BD，BE∥AC， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴S▱AEBD＝2S△ABD＝2×5＝30． 故选：B． 【点评】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质．熟练掌握以上知识点是关键． 5．（2025秋•松山区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝2∠A，BD是∠ABC的平分线，过点D作BD的垂线，交BC的延长线于点E，交AB于点F，若CE＝3，则AB＝（　　） A．6 B．10 C．12 D．18 【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】先求出∠ABC＝60°，∠A＝30°，由角角平分线的定义可求∠CBD＝30°，进而求出∠BDC＝60°，∠CDE＝30°，然后利用30°角的性质依次求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵∠ABC＝2∠A， ∴∠ABC＝60°，∠A＝30°． ∵BD是角平分线， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BDC＝60°． ∵EF⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴DE＝2CE＝6， ∴BE＝2DE＝12， ∴BC＝BE﹣CE＝9， ∴AB＝2BC＝18． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键． 6．（2025秋•柯桥区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（　　） A．14° B．16° C．18° D．15° 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】根据直角三角形性质得到．再结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠AEF，∠AEB，进而得到∠EFB，即可解题． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点，∠AFC＝90°． ∴， ∵∠ECF＝24°， ∴∠EFC＝∠ECF＝24°， ∴∠AEF＝∠EFC+∠ECF＝48°， ∵∠ACB＝50°， 同理可得∠AEB＝100°， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 7．（2025秋•南昌期中）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，连接CD，且AD＝BD＝CD，若∠A＝36°，则∠BCD＝　54　 °． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】54． 【分析】根据题意，求出∠ACB＝90°，据此求出∠BCD的度数即可． 【解答】解：由题知， ∵AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD． 又∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， 即∠ACB＝90°． ∵∠ACD＝∠A＝36°， ∴∠BCD＝90°﹣36°＝54°． 故答案为：54． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线及等腰三角形的性质，能根据题意求出∠ACB＝90°是解题的关键． 8．（2025秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．BE为AC边上的高，BD为AC边上的中线．若△ABC的面积为20，BD＝5，则BE的长度为　4　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】4． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质，求出AC＝10，由三角形面积公式即可求出BE的长． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线， ∴BDAC， ∵BD＝5， ∴AC＝10， ∵△ABC的面积为20， ∴AC•BE＝20， ∴BE＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出AC的长，由三角形面积公式即可求出BE的长． 9．（2025秋•潮南区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为BC上的一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F．则线段BF的长的最大值是　　 ． 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】． 【分析】先求出AB的长，过点F作FH⊥BC于H，连接DF，若要使BF最大，则AF需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【解答】解：连接DF，过点F作FH⊥BC于H， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝2AC＝2×4＝8． ∵EF垂直平分AD， ∴AF＝DF． 若要使BF最大，则AF需要最小， 设AF＝x，则BF＝8﹣x， ∵∠B＝30°， ∴FHBF＝4x， ∵FD≥FH （垂线段最短）， ∴x≥4x， 整理得，x≥4， 解得x， A∴F最小值为，BF的最大值为8． 故答案为：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，关键掌握30°角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键． 10．（2025秋•临河区期中）如图所示，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若AC＝6，则AD的长为 　4　 ． 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用垂直平分线的性质得到AD＝DB，再利用等腰三角形的性质求出∠CBD的度数，结合含30°角的直角三角形特征得到CDBDAD，根据AC＝AD+CD，即可求出最后结果． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝30°， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°， ∴CDBDAD， ∴AC＝AD+CDAD， ∵AC＝6， ∴AD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质特征是解答本题的关键． 11．（2025秋•集美区校级期中）将两个全等的含30°角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF＝ 　　 ． 【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】根据全等三角形的性质得到CD＝BC，含30°角的直角三角形的性质求出CD＝3，证明△BCD为等边三角形，再根据等边三角形的性质及直角三角形的性质进行求解即可． 【解答】解：由全等三角形得CD＝BC， 根据含30°角的直角三角形的性质得， ∵∠B＝60°，CD＝BC， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠BCD＝60°， ∴∠DCF＝90°﹣∠BCD＝30°， 又∵∠CDE＝60°， ∴∠CFD＝90°， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 12．（2025春•新田县期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是　5　 m． 【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】5． 【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°， 在Rt△CBM中， ∵BC＝10m，∠CBM＝30°， ∴CMBC＝5m， 即乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m． 故答案为：5． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键． 13．（2025秋•宁阳县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∠E＝∠EBC＝60°，若BE＝10cm，EG＝6cm，则BC的长为　16cm ． 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】16cm． 【分析】先证明△BEF为等边三角形得到BF＝BE＝EF＝10cm，∠BFE＝60°，再根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，接着计算出GF＝4cm，则DFGF＝2cm，然后计算出BD，从而得到BC的长． 【解答】解：∵∠EBC＝∠E＝60°， ∴∠EBC＝∠E＝∠EFB＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴BF＝BE＝EF＝10cm，∠BFE＝60°， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵EG＝6cm， ∴GF＝EF﹣EG＝4cm， 在Rt△GFH中，DFGF＝2cm， ∴BD＝BF﹣DF＝10﹣2＝8（cm）， ∴BC＝2BD＝16cm， 故答案为：16cm． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．能求出BF、DF的长是解决问题的关键． 三．解答题（共3小题） 14．（2025秋•南昌期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D． （1）若∠A＝30°，求∠BDC的度数； （2）若△BCD的周长为9，BC＝3，求△ABC的周长． 【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】（1）60°； （2）15． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； （2）求出AC的长，据此即可求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD． ∵∠A＝30°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°； （2）∵△BCD的周长为9，且BC＝3， ∴BD+DC＝9﹣3＝6， ∴AD+DC＝6， 即AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∴AB+AB+BC＝6+6+3＝15， ∴△ABC的周长为15． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（2025秋•宁波校级期中）如图，在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，F分别是对角线BD，AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ADC＝30°，BD＝8，求AC的长． 【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】（1）如图，连接AE，CE， ∵∠BCD＝∠BAD＝90°，E是对角线BD的中点， ∴，， ∴AE＝CE， ∵F是对角线AC的中点， ∴EF⊥AC． （2）4． 【分析】（1）连接AE，CE，利用直角三角形斜边中线定理得到，，由上述结论可知AE＝CE，得到△AEC是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一性质得到EF⊥AC； （2）根据BD＝10，先求出AE和CE的长度，由根据三角形两内角之和等于另一个角的外角，得到∠AEC＝2∠ADC＝60°，随即判断出△AEC的形状，最后可求得AC的长度． 【解答】（1）证明：如图，连接AE，CE， 由题意可得： ，， ∴AE＝CE， ∵F是对角线AC的中点， ∴EF⊥AC． （2）解：如图，连接AE，CE， ∵BD＝8， ∴， ∴∠ADE＝∠EAD，∠EDC＝∠ECD， ∵∠ADE+∠EAD＝∠BEA，∠EDC+∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEA＝2∠ADE，∠BEC＝2∠EDC， ∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝2∠ADE+2∠CDE， 又∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADC＝30°， ∴∠AEC＝2∠ADC＝60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC＝EA＝4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键． 16．（2025秋•山阴县期中）如图，在△ABC中，∠B＝36°，AD是△ABC的角平分线，延长BC至点E，∠ACE＝110°． （1）求∠CAD的度数． （2）若F是AB边上一点，∠ADF＝53°，求证：△ADF是直角三角形． 【考点】直角三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）37°； （2）由（1）可知∠BAD＝∠CAD＝37°， ∴∠ADF+∠BAD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠CAD； （2）根据两锐角互余的三角形是直角三角形证明． 【解答】（1）解：∵∠ACE是△ABC的外角，∠B＝36°，∠ACE＝110°， ∴∠BAC＝∠ACE﹣∠B＝110°﹣36°＝74°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴； （2）证明：由（1）可知∠BAD＝∠CAD＝37°， ∴∠ADF+∠BAD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握两锐角互余的三角形是直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $