24.2 直角三角形的性质 同步课堂练习2025－2026学年华东师大版数学九年级上册

24.2 直角三角形的性质 一．选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝47°，∠ABC＝90°，AB的垂直平分线MN与AC交于点D，则∠CBD的度数是（　　） A．47° B．45° C．43° D．41° 2．如图是某景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，∠BAC＝30°，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为（　　） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 3．如图，AC＝BC＝6cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．如图，李明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，李明发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（　　） A． B．5cm C．10cm D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为支柱（即底边BC的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF等于（　　） A．10m B．5m C．2.5m D．9.5m 7．如图，Rt△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，线段AD是∠CAB的平分线，∠ADB的度数为（　　） A．80° B．100° C．110° D．150° 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝∠CAD，DE是△ACD的中线，若BC＝18，AD＝12，则DE的长为（　　） A．4 B．5.5 C．6 D．7.5 9．将直角三角板ABC与直角三角板ADE如图摆放，点C在边AE上，BC与AD相交于点F，若AB＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连接DE，若CD＝3，AE＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 二．填空题 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，则BC＝　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，点D为AB的中点，连接CD，且CD＝3.5，则AB＝　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则△DEF的周长是 　 　 ． 14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　 　 ． 15．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上的一点，AD＝2，过点D作DF⊥AB交AC于点E，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AC交AC的延长线于点G，当E为AC的中点时，则AG的长为　 　 ． 16．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 如图2，已知∠C＝18°，△ABC同时满足：①∠C为最小角；②存在关于点B的二分割线，则∠BAC的度数为 　 　 ． 三．解答题 17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE平分∠ACB，且BE＝CE， （1）过E作ED⊥BC垂足为D，求证：BD＝CD； （2）若BE＝4，求AE的长． 18．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）若∠EDF＝60°，DE＝2，求BC的长． 19．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 20．【教材回顾】如图1，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝2，则AB＝　 　 ； （2）【变式探究】如图2，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，，求证：∠BAC＝30°． 21．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G． （1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数； （2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE∠ABC+∠G． 参考答案 一．选择 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D B B C D A B 二．填空 11．4． 12．7． 13．11． 14．60°． 15．10． 16．36°或45°或54°或90°． 三．解答 17．（1）证明：∵BE＝CE，ED⊥BC， ∴BD＝CD（等腰三角形的三线合一）； （2）解：∵∠A＝90°， ∴∠B+∠BCE+∠ACE＝90°， ∵BE＝CE＝4， ∴∠B＝∠BCE， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE， ∴∠B＝∠BCE＝∠ACE＝30°， ∴． 18．（1）证明：连接EF， 由条件可知∠BDC＝∠CEB＝90°， ∴△BCD，△BCE为直角三角形， ∵F是BC的中点， ∴， ∴△DEF是等腰三角形； （2）解：∵， 且∠EDF＝60°， ∴△EDF为等边三角形， ∴BC＝2DE＝4． 19．（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 20．（1）解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4； （2）证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵∠ACB＝90°，CD＝BC， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴AB＝AD， ∵，BC＝CDBD， ∴BD＝AB， ∴BD＝AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°． 21．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵BG平分∠ABC， ∴∠CBG＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD＝90°， ∵DG平分∠ADE， ∴∠CDF＝45°， ∴∠CFD＝45°， ∴∠G＝∠CFD﹣∠CBG＝45°﹣20°＝25°； （2）如图2，∠A＝2∠G，理由是： 由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD， 设∠ABG＝x，∠CDF＝y， ∵∠ACB＝∠DCF， ∴∠A+∠ABC＝∠CDF+∠CFD，即∠A+2x＝2y， ∴y， 同理得∠A+∠ABG＝∠G+∠CDF， ∴∠A+x＝∠G+y，即∠A+x＝∠Gx， ∴∠A＝2∠G； （3）如图3，∵EF∥AD， ∴∠DFE＝∠CDF， 由（2）得：∠CFD＝∠CDF， △FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG＝180°，∠BFG+∠DFC＝180°， ∴∠DFC＝∠G+∠FBG， ∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G∠G． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/24 15:07:25；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $