湖北省武汉市华师联盟2025-2026学年高三上学期质检数学试卷（11月份）

2025-2026学年湖北省武汉市华师联盟高三（上）质检数学试卷（11月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. 1 D. 4.设甲：，乙：，则甲是乙的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，均为锐角，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则(    ) A. B. C. D. 8.若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设a，b均为正数，满足，则(    ) A. B. C. D. 10.设，均为非零复数，下列命题中正确的有(    ) A. B. C. 若，则 D. 若，则 11.已知函数，的定义域均为R，且，若是偶函数，，则(    ) A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则______. 13.已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则______. 14.已知在中，，，，点D在边BC上不含端点，设，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知函数 讨论的单调性； 若，证明：当时， 16.本小题15分 已知函数的最小正周期为 求的解析式； 将曲线向右平移个单位长度后，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到曲线若关于x的方程在区间上有解，求m的取值范围. 17.本小题15分 设函数 求在区间上的值域； 若对区间中的任意三个数，，，都存在以，，为三边长的三角形，求a的取值范围. 18.本小题17分 已知的三边长是三个连续的正整数. 求周长的最小值； 若是钝角三角形，求的面积； 若的一个内角是另一个内角的两倍，求的三边长. 19.本小题17分 已知函数，，设函数 当时，求的极值点； 证明：当时，； 若对任意，都有恒成立，求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：，则 故选： 根据复数的基本运算求解即可． 本题主要考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：不等式可化为：且， 解得或， 所以或， 又因为， 所以 故选： 先求出集合A，再利用集合的交集运算求解． 本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题． 3.【答案】C  【解析】解：向量，， ， ， ， 解得， 则 故选： 利用向量坐标运算法则、向量的模求解． 本题考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】B  【解析】解：当，，满足，但，充分性不成立； 当时，， 故，必要性成立． 故选： 结合不等式性质检验充分必要性即可求解． 本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题． 5.【答案】B  【解析】解：由已知可得：， 即，又因为，为锐角， 则，所以，又因为为锐角，则，则， 所以 故选： 将已知两式相比可得，再利用正余弦的平方关系以及为锐角分别求出，的值，进而推出的值，然后根据为锐角推出的大小，由此求出的值，再根据余弦的和角公式化简即可求解． 本题考查了余弦的和角公式的应用，涉及到正余弦的平方关系，考查了学生的运算能力，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 又因为，且时，， 所以当时，，当时， 由奇函数的性质得：当时，，当时， 对于不等式，当时，只需， 所以，即； 当时，，只需， 所以或，即 综上所述，x的取值范围是 故选： 利用导数求得的单调区间，根据特殊值，分析可得当时，，当时，，结合奇函数性质，可得当时，，当时，，由题意或，分别求解，综合即可得答案． 本题主要考查利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 7.【答案】C  【解析】解：由题意，，则由余弦定理， 可得，整理得， 又，所以， 整理得，即， 解得或， 当时，代入，可得，此时， ， ， 故，，则； 当时，同理可得，，则； 故 故选： 由余弦定理，结合，可得或，根据余弦定理，求得及，进而求得及，即可求解． 本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题． 8.【答案】C  【解析】解：令，则， 即， 依题意，函数与函数恰有两个交点， 则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 令，解得， 则， 所以在处切线方程为， 即， 令，解得，则， 所以在处切线方程为，即， 函数与函数图象如图所示： 切线与在x轴上的截距分别为和e， 当时，与函数图象只有一个交点， 所以a的取值范围是 故选： 将条件转化为函数与函数恰有两个交点，利用导数求得的单调性及斜率为1和时的切线方程，数形结合，分析整理，即可得答案． 本题考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，考查了导数的几何意义及综合运用，属于中档题． 9.【答案】AD  【解析】解：对于A：因为a，b均为正数，满足， 所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B：因为， 所以，当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当，即，时取等号，故C错误； 对于D：因为，所以， 又a，b均为正数，所以，解得， 所以， 当且仅当，时取等号，故D正确． 故选： 利用基本不等式判断A、B、C，换元，结合二次函数的性质判断 本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题． 10.【答案】ABC  【解析】解：设，，a，b，c，，则， ，，所以，A正确； ，B正确； 若，则，C正确； 若，取，，满足条件，但，D错误． 故选： 根据复数代数形式的乘除运算，复数模的求法即可求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，复数模的求法，属于基础题． 11.【答案】BCD  【解析】解：由，得， 又，得， 由是偶函数，得， 可得，则， 由此得到， 再由，得， 所以，可得为偶函数，故A错误； 由，得， 又，所以， 则，因此，即4为的一个周期，故B正确； 由，得，已知，则， 所以， 再由，得，则， 由，，可得， 由，，可得， 则，故C正确； 由奇数的平方除以4余1，所以，故D正确． 故选： 由已知函数关系式对x加以替换，可得两函数的周期性与奇偶性，再利用特值代换法依次求解四个选项即可． 本题考查抽象函数的性质及应用，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属难题． 12.【答案】  【解析】解：由题意得， 可得，所以 故答案为： 根据题意运用三角函数的诱导公式进行求解，即可得到本题的答案． 本题主要考查了运用三角函数的诱导公式化简求值，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为线与的导数分别为与， 因为是曲线的切线，设切点为， 则，所以，所以切点为，代入切线， 可得， 所以切线方程为，又该切线与也相切，设切点为， 则，，，解得， 所以 故答案为： 根据导数的几何意义，方程思想，即可求解 本题考查导数的几何意义的应用，函数的公切线问题，属中档题． 14.【答案】  【解析】解：由余弦定理：， 又，所以， 由正弦定理得：， 设， 在和中分别使用正弦定理得： ， 两式相乘得， 则， 所以， 注意到，且， 所以， 当且仅当，即AD平分时，等号成立， 所以的最小值为 故答案为： 利用余弦定理求得A，利用正弦定理求得，，再利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得的最小值． 本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题． 15.【答案】当时，在上递增，在，上递减； 当时，为减函数； 当时，在上递增，在，上递减；   证明：由  知：若，当时， 在上递增，在上递减， 所以，令， 问题即转化为证明在上恒成立， 又恒成立，所以在上单调递减， 则  ，即，且时，  【解析】因为函数，显然定义域为R， 又， 令得或， 当时，，或， 所以此时在上递增，在，上递减； 当时，恒成立，为减函数； 当时，，或， 所以此时在上递增，在，上递减； 综上，当时，在上递增，在，上递减； 当时，为减函数；当时，在上递增，在，上递减． 证明：由知：若，当时， 在上递增，在上递减， 所以，令， 问题即转化为证明在上恒成立， 又恒成立，所以在上单调递减， 则，即，且时， 求出的导数，讨论其零点以及导数的符号判断单调性； 研究函数在上的单调性与最大值，证明结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题． 16.【答案】；     【解析】由题意得 ， 根据的周期，解得，所以； 将图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，可得的图象， 所以，关于x的方程，即， 令，时，，关于t的方程在上有解， 整理可得：在上有解， 设，则在上恒成立， 所以在区间上是减函数，可得，即， 因此，若在上有解，则，即满足条件的m的取值范围为 根据三角恒等变换公式化简的表达式，可得，结合三角函数的周期公式算出，进而可得的解析式； 根据函数图象的平移、伸缩变换公式，算出，从而将题中方程化为，在区间上有解，设，将方程变形为，在上有解，然后运用导数研究等式右边对应函数的单调性与最值，进而求得满足条件实数m的取值范围． 本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象变换、函数的零点与方程的根、运用导数研究函数的单调性与最值等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 17.【答案】；     【解析】， 令， 则， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以，， 所以， 所以在区间上的值域为； 由知，对，2，3，， 只需中较小的两个数之和大于最大数， 由x的任意性可知，只需在区间内的最小值的2倍大于最大值， ①当时，在区间上单调递增， 所以，， 由，得到，解得； ②当时，在区间上单调递减， 所以，， 由， 得到，解得，与矛盾，舍去； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， ， 若， 由， 得到，没有实数解，舍去； 若，由， 得到，没有实数解，舍去； 综上所述，a的取值范围为 分离常数后，可借助换元法将原函数化简，再结合对勾函数单调性计算即可得解； 由三角形三边关系可得在区间内的最小值的2倍大于最大值，再结合二次函数对称轴与区间的关系，分、与进行讨论即可得． 本题考查了二次函数的性质、转化思想及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想及对勾函数的性质，属于中档题． 18.【答案】9；  ；   4，5，6  【解析】不妨设，，，其中k为不小于2的整数， 由，可得，所以，故k的最小值为3， 所以的周长，最小值为此时三边长分别为2，3，； 由于c是的最长边，由大边对大角，钝角必为 由余弦定理得， 若，则，由知，故k只能为3， 此时，， 故的面积； 由余弦定理：，， ， 可知随着k的增大，，减小，增大， 所以A，B随着k的增大而增大，C随着k的增大而减小， 由于，故所有可能的情况为或或， 对于每个k对应的数组，只需验证是否有，，之一成立即可． 当时，，此时上述三条关系均不成立； 当时，，此时上述三条关系均不成立； 当时，，此时有，即； 不妨记时，，， 则当时，由于A，B随着k的增大而增大，C随着k的增大而减小， 所以A，B，C均位于区间，不可能存在两倍关系， 如若不然，较大角会大于推出矛盾， 综上所述，的三边长为4，5， 不妨设，，，其中k为不小于2的整数，根据三角形性质，可得k的最小值，即可得答案． 由于c是的最长边，钝角必为C，利用余弦定理，根据，可得k值，进而可得的值，代入面积公式，即可得答案． 由余弦定理，分别求出，，的表达式，根据单调性及，分析可得所有可能的情况为或或，对k赋值检验，综合分析，即可得答案． 本题主要考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 19.【答案】极小值点是，无极大值点；   证明：由题意， 则，由  可知，当时，单调递增， 取且，则， 取且，则， 所以存在唯一的，使得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，成立．    【解析】当时，，则，所以， 因为，在上均为增函数，所以单调递增， 所以当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值点是，无极大值点； 证明：由题意， 则，由可知，当时，单调递增， 取且，则， 取且，则， 所以存在唯一的，使得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，成立． 因为，得到，所以， 当时，令，则， 所以时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以成立，符合题意． 设，则恒成立， 当时，，符合题意； 当时，，不符题意． 同理，恒成立，即， 设，则，所以， ，令，解得或， 当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，符合题意； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，，所以符合题意， 所以 综上所述，的取值范围为 利用导数分析的单调性，分析即可得答案． 用导数分析的单调性，根据零点存在性定理，设出的零点，即可求出的极值，化简整理即可得证． 利用赋值法，求出a值，分别讨论、和三种情况，利用导数求得函数的单调性和最值，分析求解，即可得答案． 本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于难题． 第2页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $