精品解析：江苏扬州市2025-2026学年高二第二学期期末调研数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. 11 B. 17 C. 126 D. 132 2. 下列函数中存在极值点的是（ ） A. B. C. D. 3. 若水池的排水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ） A. 4秒时水池的排水量 B. 4秒内水池的排水总量 C. 4秒时水池排水量的瞬时变化率 D. 4秒内水池排水量的平均变化率 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 48 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在唯一整数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量的数学期望，则 C. 研究两个变量的相关性时，相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强 D. 进行独立性检验时，统计量的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小 10. 某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（ ） A. 从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B. 从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案 C. 8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D. 8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 11. 如图，已知正方体的棱长为4，点，，分别是棱，，的中点，点在四边形及其内部运动，则下列选项中正确的有（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 若平面，则直线与所成的角可能为 D. 三棱锥的外接球半径的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 13. 已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 14. 从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则： （1）_____； （2）_____．（结果用最简分数表示） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求展开式中含项的系数； （2）求证：能被整除． 16. 为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析． （1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由． （2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降．从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量（g）与产量（g），数据如下表： 农作物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过量施肥量（g） 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量（g） 100 85 85 85 80 75 75 70 70 75 经计算，，，，，求关于的线性回归方程． 附：， 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面侧面，是正三角形，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为， （i）求的值； （ii）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18. 袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． （1）若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； （2）若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 19. 已知函数，． （1）若，求在点处的切线方程； （2）若在上存在唯一零点， （i）求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自已的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考 试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答 案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿 纸上、试卷上答题无效， 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.A+C的值是( A.11 B.17 C.126 D.132 【答案】B 【解析】 【详解】 A+C=4×3+5=17 2.下列函数中存在极值点的是() A.=x3 B.y=e*-1 C.y=2lnx D.y=sinx 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，利用极值的定义依次判断可解. 【详解】对于A,少=x的定义域为R, 因为y=3x≥0，当且仅当=0时等号成立， 所以y=在R上单调递增，不存在极值点，故A不符合题意： 第1页/共24页 命学科网命组卷网 对于B,y=e-1的定义域为R, 因为y=©>0，所以y=e-l在R上单调递增，不存在极值点，放B不符合题意， 对于C,y=2Imx的定义域为(0，+o), 图为了0，斯以=2在心o单调透相，不布在极值点。改C不符合题 对于D,因为'=sinr 0,2π) 是周期函数，不妨取其中一个周期 时，y0,当*e）》 2’2时，y'<0 0, π3π 所以v=sinr在区间22,2元 上单调递增，在区间2’2上单调递减， 3π X= X三 所以y=sinr在2处取到极大值，在2处取得极小值， y=sinx 所以 存在极值点，故D符合题意 3.若水池的排水量P（单位：m)与时间1《单位：s)满足函数关系武”=f回，则'(4)的实际意 义是() A.4秒时水池的排水量 B.4秒内水池的排水总量 C.4秒时水池排水量的瞬时变化率 D.4秒内水池排水量的平均变化率 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的实际意义即可得解， 【详解】由导数的实际意义可知，∫'(4)的实际意义是4秒时水池排水量的瞬时变化率 4在空间直角坐标系0-2中，点P(3,21）关于平面0：对称的点的坐标为() 第2页/共24页 学科网 命组卷网 A.（-3,2,1) B.（-3,-2,1) c(3,-2,-) D.（-3,2,-1) 【答案】A 【解析】 【分析】由关于平面 对称的点的坐标的特点可得结果， 【详解】点P(3,21关于平面0：对称的点的坐标为(-3,2,1) 5.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条 路，则从甲地到丁地不同的走法总数为() 丙 A.11 B.14 C.30 D.48 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算求解。 【详解】第一类：甲先到乙地再到丁地，此时共有3×2=6种不同的走法： 第二类：甲先到丙地再到丁地，此时共有2×4=8种不同的走法： 所以甲地到丁地不同的走法总数为6+8=14 6,在空间直角坐标系中，已知点A(,10）,B(L,0),C(0,1),D(3,L0,则点D到平面ABC的距 离为() 5 25 A.3 B.2 C.3 D.√5 【答案】C 【解析】 【详解】易得， AB=(0,-1,1),AC=(-1,0,1)AD=(2,0,0) 第3页/共24页 学科网命组卷网 设平面ABC的法向量为m=(x,八，2). AB.m=-y+z=0 则4Cm=-x+2=0令 =1 则m=(,1) AD.m 223 则点D到平面ABC的距离为 33 7.甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生先从甲小组中随 机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概 率为() 5 A 2 B.7 C.14 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】设事件后，求出相关事件的概率，再由全概率公式计算即得 【详解】设从甲小组中抽出1名男生为事件4，从甲小组中抽出1名女生为事件4， 从乙小组中抽出的学生是女生为事件B 则P0-号)-号re4-名@4-8 31 3141_3 放P)=P八4)PB到A)+P4AB到4)-行+*号. 8已知函数(~)=血x-,若存在唯一整数1，使得f)>0,则实数k的取值范围为() A2 In2 In3 B.2e3 【答案】A 【解析】 第4页/共24页 命学科网组卷网 【分析】根据已知分离参数k，求出导函数，进而根据正负得出函数单调性，最后结合根的唯一性得出参 数范围。 【详解】由题可得x>0,令f()>0,分离参数k可得<x,若存在唯一整数1，使得f()>0,即存 k<nrM0）-nM'0=1-n 在唯一整数t使得t,设 t,则 ,当0<t<e时，M'()>0,当t>e时， M'()<0,所以函数在(0，c)上单调递增，在6O)上单调递减，所以函数的极大值也是最大值为 ）三。日x)0时，y→-00，x→+0时，y0, u0-=0M2)-2.M)=g>M2).M)=M④F☒ y=f(t) In2sk In3 由图可知只有2 3满足条件。 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项中正确的有() A若随机变量5~V(5,a),P(传<1)=0.1，则P(5>9)=0.1 第5页/共24页 学科网命组卷网 B.若随机变量5的数学期望E(5)=4,则E(25-1)=8 C.研究两个变量的相关性时，相关系数”的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强 D.进行独立性检验时，统计量X的值越大，判断“两个分类变量相关"”犯错误的概率越小 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A:正态分布5~N(5,o)的对称轴为r=“=5,由于1和9关于x=5对称， 根据正态曲线的对称性可得P50=P(59)=0.1,A正确， E(25-1)=2E(5)-1=2×4-1=7≠8 选项B:根据期望的性质得 ,B错误； 选项C:根据线性相关系数的性质：相关系数'的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，越接近0 相关性越弱，C正确： 选项D:独立性检验中，X统计量越大，说明原假设“两个分类变量无关”成立的概率越小， 因此判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小，D正确 10.某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有(） A.从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B.从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种 不同的安排方案 C.8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D.8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:相当于求从8个人中取2个人的排列数；对于B:先从8人中选2人参加语文知识竞赛， 再选两人参加余下两科竞赛：结合分步乘法计数原理求解，对于C:先排甲乙，再排其余学生；对于D:先 排男生，再排女生甲，最后排其余女生即可 第6页/共24页 学科网命组卷网 【详解】对于途项：从8个人中选2人，1人微正组长，1人敬副组长选法共有A=56种，放A错误， 对于选项B:从8个人中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1 人 的选法共有CA号=28×(6x5)=840种，故B正确： 对于选项C:满足条件的安排方法可分两步完成， 第一步先排甲乙，因为甲乙间隔2人，故甲乙的位置可能为 ,4,(2,5.3,6.(4,7),(5,8).且甲乙可交换， 故甲和乙的排列方法有5×2=10种； 第二步，将剩余6人排入余下的位置，满足条件的排法 A8=720种： 由分步乘法计数原理可得8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人的总方案数为10×720=7200，C正 确， 对于选项D:满足条件的安排方法可分三步完成， 第一步，先排5名男生，有A=120种排法，5个男生产生6个空（含两端）， 第二步，将女生甲排入两端空位中的一个，共C?=2种排法： 第三步，将剩余两名女生从剩下5个空位选2个排列，共有A=5x4=20 种排法： 由分步乘法计数原理可得总方案数为120×2×20=4800，D正确。 1.如图，已知正方体4BCD-4B,CD的楼长为4，点P,,R分别是 DD,AD,CD的中点， 点M在四边形 BCC B 及其内部运动，则下列选项中正确的有() 第7页/共24页 6学科网命组卷网 D C A D B A.存在点M,使得AR⊥MR B.存在点M,使得AM+MR=8 c若4M1/平面CP,则直线4M与AB所成的角可能为15 9 D.三棱锥M-DPQ的外接球半径的最小值为4 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A,建系后利用向量数量积的坐标运算即可判断；对于B,通过对称作图，利用三点共线时 线段和最短求出待求式的最小值即可判断：对于C,利用条件运算推得点M的轨迹，结合图形找到异面直 O1,y,1) 线所成角，借助于三角函数的值域求出角的范围判断；对于D,依题意设外接球球心为 ，利用球 的半径相等推得 8y=14+(a-)+伍-)，利用该式的几何意义求出'的范围即得半径的范围判断即可. A z D A 【详解】 D 4 R 如图，以点D为坐标原点， DA,DC,DD 分别为，少2轴建立空间直角坐标系。 第8页/共24页 命学科网命组卷网 A(4,0,0),P(0,0,2),Q(2,0,0),R(0,2,4) M(a,4,b),0≤a,b≤4 依题意，设点 对于A,因4R=(4,2,4),M项=（←a,-2,4-b) 则由4R.M派=4-4+4(4-b)=4(a-b)+12=0,可得a-b=-3, 当取a=L6=4时，丽派=0，即存在点M4,),使得4RLMR,枚A正： 2 对于B,如图，作出点A关于平面BCCB的对称点A,连接4R,交平面BCCB于点M, 则4(48,0)，且4M,=4M,于是MM+MR=AM+MR=4R 即AM+MR的最小值为4R=V4+6+(4=V68>8,故B错误； B 对于C,因 P(0,0,2),Q(2,0,0),C(0,4,0) 则CP=(0,-4,2),C@=(2,-4,0).4M=(a-4,4,b-4 设平面CP的法向量为”=(：，y,2), 第9页/共24页 命学科网命组卷网 Cp.i=-4y+2z=0 则c0元=2x-4y=0,故可取n=(2,12 因AM1/平面CP0,则4Mn=2(a-4)+4+26-4)=2(a+b)-12=0,即a+b=6, 分别取BG,BB的中点E,F,连接4，AF,B,则点M的轨迹即线段EF. 因48/1B,则直线4M与AB所成的角等于∠BAM,又因48上平面 BCCB 在R△4BM中，m∠B4M-8g-AM AB 4 ,易得V2≤B,M≤2，则4 ≤an∠BAM 2 国m15=m(60w-4s-g2-5,而2-5< 1+3 4 因y=anx在第一象限单调递增，侧有∠B,4M>1S,故C错误： C A B P S C-M C ® 对于D,如图，取P巴的中点为点S,则点S为Rt△DP0的外心， 设三棱 M-DP 的外接球球心为点O,半径为R,则O5上平面DP, P0,02,02,00).则S0,1D.故可设LD,0≤y≤4 ,则 又因Ma,4b),则由OP=0M可得广+2=(a-+0-4+b- 化简得8y=l4+(a-2+亿-)2，而R=V少2+2，设d=va-12+b-12,0≤a,b≤4， 第10页/供24页 6学科网6组卷网 则 GHKN T1,1) 可理解为如图正方形 内（包括边界）的点到点 的距离。 y N 0≤d≤TK,即0≤d≤32，由8y=14+d2∈[14,32]may R=+2[3 9 即三棱锥M-DPQ的外接球半径的最小值为4，故D正确， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=,若 OP-104 BO-1BC 3 ,则P0= (用向量0,6，表示). 【答案】30+)b+ 1 1÷1 2 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得， 【详解】由 0-c.g00-0丽-0c-0丽).o0-o+0c 则币-0-0r-丽+0c号0oi=+5+ 3 22 第11页/共24页 6学科网命组卷网 1县已香黄0写一r+2x+在3L中莲数.则疾克和的人有 【答案】2V2 【解析】 【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于0在区间，3)上 恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围 【详解】由题意得∫'(x)=x2-ar+2 因为函数f心在L,3)上单调递增，所以'(=r-r+2≥0在（L,3)上恒成立. 当x∈(1,3)时，x2-ax+2≥0，变形得0≤x+ x, )=x+是，8（创-1是 当1<x<V2时，g()<0,g()在，V2)上单调递减， 当2<x<3时，g(w>0,g在(V2,3)上单调递增， 在x=V5处g()取得最小值，g(V2)=22 当asx+ x在(1,3)上恒成立，可得a≤2W2, 所以实数a的最大值为2V5 14.从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为C,个 位数字为d,则： 第12页/供24页 命学科网命组卷网 P(a<b<c<d)= (1) P(a<b<c<d|a≤b≤c≤d)= (2) (结果用最简分数表示) 7 14 【答案】 ①.500 ②.55 【解析】 【分析】应用组合数及古典概型计算求解 【详解】四位正整数有90O0个，P(a<b<c<d)= C=126=7 90009000500: C-12x1lx10x9-495 满足1≤a≤b≤c≤d≤9可以重复不降序的排法 1×2×3×4 126 P(a<b<e(dlasbsesd)=P(a<b<c<d)_9000126 14 P(a≤b≤c≤d) 49555 9000 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. s-后 (4)求f()展开式中含x项的系数； (2)求证：f(4)+1能被10整除 【答案】(1)140 f(4)+1=97+1=(10-1)'+1=C9107-C106++C10-C7+1 =C910'-C)106+…+C910 第13页/供24页 命学科网组卷网 因为上式的每一项都能被10整除，所以∫(4)+1能够被10整除。 【解析】 【分析】(1)利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于5，解出”，再代入即可： (2)将4代入后化为10-)+1，用二项式定理展开，可证得被10整除。 【小问1详解】 x2 4 由二项式定理可知，在 2 的展开式中， 第，+1项为7 2 =C523r-7x4-3r 令14-3r=5,解得r=3, 因此二项展开式中含x 的项系数为 322=140 【小问2详解】 略， 16.为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200 株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析. (1)将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，判断能否有99.96的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明 理由 (2)对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降.从施肥的该品种农作 物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量x(g)与产量y(g),数据如下表： 第14页/共24页 6学科网命组卷网 农作物编号 1 3 6 > 10 过量施肥量x(g) 0 0.5 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量y(g) 100 85 85 85 80 75 75 70 70 分 经计算， -158-m,-9-时 求y关于x的线性回归方程. n(ad -be)2 附：Y-a+b)c+a)(a+cb+d, P(x' 0.050 0.010 0.001 Xo 3.841 6.635 10.828 对于一组数据(X,y）,(仪2，y2）,,(化，少），其回归直线户=à+x的斜率和截距的最小二乘估计 分别为： 立y-西 a=y-bx 【答案】(1) 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 能有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关. (2)户=95-10x 第15页/供24页 6学科网组卷网 【解析】 【分折】（山）补全列表，再计算父与临界值比较判断即可： (2)先根据公式计算， 再应用样本中心点计算心，最后得出回归直线， 【小问1详解】 补全2*2列联表如下： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 所以X、 200×(70×60-30×40)2 200 ≈18.182>10.828 110×90×100×100 11 所以有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关。 【小问2详解】 10 己知， X= 10y80 >=1.5= 10 xy-10 所以， 6=包 ∑x-10x2 0-0 则i=-=80-(-10)x1.5=95 所以关于的线性回归方程是广=95-10x 17.如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD⊥侧面MCD, △MC 是正三角形，E是MC的中点 第16页/供24页 6学科网6组卷网 (1)求证：DE⊥平面MBC: √2 (2)若BF=BM(0<元<1)，且直线AF与平面MCD所成角的正弦值为4， (i)求元的值： (ii)求平面ADF与平面MBC所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(I)ABCD为正方形，∴.BC⊥CD 又：平面MCD⊥平面ABCD,平面MCD∩平面ABCD=CD,BCC平面ABCD, BCL子EMD.又DEC平百MD,.BC L DE. 又在正△MCD中，E为MC的中点，故DE⊥MC, 又：BC,MCC平面MC,BCOMC=C,DEL平面MBC 平面 1 (2)(i)元= -3；(i)14 【解析】 【分析】(I)借助面面垂直的性质定理可得BC⊥平面MCD,再利用线面垂直性质定理及线面垂直判定 定理即可得证； (2)()建立适当空间直角坐标系，再表示出直线AF的方向向量与平面MCD的法向量，利用空间向 第17页/共24页 6学科网命组卷网 量夹角公式计算即可得九；(i)利用2的值可求出平面ADF与平面MBC的法向量，再利用空间向量夹 角公式计算即可得解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (i)取CD的中点O,AB的中点N,连接OM,ON, 由平面MCD⊥平面ABCD,平面MCD∩平面ABCD=CD, 01CD,M0C平面MCD,可得M0L平面4BCD ，可得 平面 又由ABCD为正方形，O,N分别为CD,AB的中点，可得ON⊥CD, 分别以OD,ON,OM所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系， 则A(1,2,0),B(-1,2,0),D(10,0),M(0,0V3) 由BF=BM0<1<),得BF=21,-2,3)=(亿，-2元，V3)】 .AF=AB+BF=(-2,0,0)+(2,-22,3)=(2-2,-2元，N32) 又平面MCD的一个法向量为元=(0,10)】 AF.m 2 AFm V822-4元+4， =- 2、1 解得3或2（舍去），即有3； DA=(0,2,0) 第18页/供24页 学科网命组卷网 设面ADF的法向量为厅=(c,水2) DA·i=2y=0 则 af.=-5x-2+5 3 =0 可取x=5,y=0,2=5,则i=(V5,05). 由少年.平面M8c的个法为匠-） 设平面ADF与平面MBC所成锐二面角的大小为B, 33,55 n.DE 则cos6=cosi,DE 万 DE V3+25 93 14， V44 万 所以平面ADF与平面MBC所成锐二面角大小的余弦值为14. Z N 18.袋中共装有大小相同的20个红球和10个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取1个. (1)若每次取出小球后放回，连取3次，记取出黑球的次数为X,求X的概率分布和方差： (2)若每次取出的小球不放回， (①)记前”次取球中(2≤n≤2），取出黑球次数为2的概率是f网），求f(@取最大值时”的值： ()当取出所有照球时，记取出的小球总个数是5，求5的数学期单 第19页/共24页 6学科网命组卷网 1P=叭=，Px-0-.PX=2-号.Px=-.) 2 (2)(i)n=6:(ii) ()=9 【解析】 【分析】(1)由题意可得 -33, 1 根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可： ②根程超产结合超儿有分布可有了)-C C。,利用作商法计算可得最大值；()由题意可 得P(5=)= i-1 根据期望计算公式计算可解。 【小问1详解】 X- 由题意得 X的取值集合是0，L,2,3}. P(x-0)-C P()-C Px-2)-c月-号.Px=)-c=7. 0-3x号号 【小问2详解】 (①由题意得f(w) C2C02 C0 f(n+1）_C2C20.C3o=C20.C30= 22-nn+1 所以f(n)( n-130-n, 第20页/供24页 6学科网6组卷网 f+D,1 令f(n) 解得n<5.2' 将n=2,3,4,5代入可得f(2)<f3)<<f(6). 将m=6,7,…代入可得(6)>f(7)>… 综上，f(m取最大值时，n=6. (i)5的取值集合是10,11,12，，30 则P(5=)=9 i(i-1)！10测 ，MgC-91-101o-10 =10c P(5=)=C-10C0 E6)-2(c+4c)-16e-30 C811 19已知函数f(冈=r+4r-al血(x+),aeR, （4)若a=4,求f()在点(0，f(0》处的切线方程： （2)若f()在（0，+0）上存在唯一零点b, (i)求a的取值范围： (i面求证：e4-1>b 【答案】(1)少=0 (2) (i)a>4 (i)法一：b为f()唯一零点，所以f(b)=b2+4b-a血(b+1)=0. 第21页/共24页 6学科网列组卷网 血(b+1)=+46 a, 要证e-1>b,即证e4>h+1,即证0-4>hn(6+1)=+4h a, 即证a-4a>办+46，即证b<a-4, 因为f(a-4)=a(a-4)-a血(a-3)=a(a-4-ln(a-3》,a>4, 令8o--4ina-3.则3oj=18音0 所以8(a在(4，+w）上单调递道，则3(a)>8(4)=0, 即a-4-n(a-3)>0,又a>4,所f(a-4)>0=fb), 由①)可知f(?在(，t切)单调递增，所以b<a-4,得证。 (i西)法二：b为f(x)唯一零点，所以f(6)=+46-a血(b+=0, b2+4b ∴.a ln(b+1): 要证e4-1>b,即证e4>b+1,即证a-4>h(b+l), 分+46-4>a6+0,即证+4物-4nb+)>n(b+). 即证n(b+1) 即证-血(6+)>4n(6+1）-46 即证(b+血(6+16-n(b+)+4(b-h(6+)>0. 即证(b-l血(b+16+h(b+1)+4)>0 第22页/供24页 6学科网列组卷网 即证b>血(b+) 定40=-bc+.则=1中本，令0，则>0. 所以h(在1,0)上单调递减， (0,+0)上单调递增， 所以hx)≥h(0)=0 所以原命题得证。 【解析】 【分析】(1)由导数的几何意义可得切线方程： (2)①分a≤4和a>4进行讨论，a≤4时八()≥0在（0，+)上恒成立，结合f(0)=0易得f() 在(0，）上不存在零点，Q>4时，令m()=2r+6x+4-a,可得m(四在(0，+)上单调递增，由 m0)<0可得∈(0，∞），使得m()=0,即f()=0,所以f)在(0，)上单调递减. (,+o）单调递增，由m(a)=2a+5a+4>0可得a>,从而f(a)>0,由零点存在性定理可得结 果； （0)方法-：白b为唯一零点，可得了6)-0，整程得6+=牛始 a,将要证的不等式 e-1>b转化为证a2-4a>2+4b,即证b<a-4,由f(a-4)>0=f()及（四的单调性可证， b2+4b 方法二：由6为f(x)唯一零点，可得fb)=0,整理得Q=n(b+,将要证的。4-1>b转化为i证 b>1n(b+),记h(x)=x-血(x+),求导分析单调性可证结果. 【小问1详解】 f()=r+4x-al血(+1)，定义域为L,+o) 第23页/供24页 6学科网 命组卷网 f"(x)=2x+4-a= 2x2+6x+4-a x+1 x+1 a=4时.f(0)=0,f(0)=0 故切线方程为y=0, 【小问2详解】 f(x)=2x+4-a=2x2+6x+4-a x+1 x+1 ，x>-1, ①当a≤4时，f'()20,函数f(冈在(0，+∞)上单调递增，f()>f(0)=0, 所以f(四在(0，+o)上不存在零点。 当a>4时，令m()=2+6r+4-0,m(y在0，m)上单调递消。 m(0)=4-a<0,3∈(0，+o),使得m()=0,即f(x,)=0, 所以x∈(0，)时，f()0,xe(G,to）时，f()>0, 所以f(四在(0，）上单调递藏，（氏，+0）上单调递增， f(0)=0.f(x)<f(0)=0.f(a)=a2+4a-aln(a+1)=a(a+4-ln(a+1)月>0 (其中m(a)-=2a+5a+4>0,所以a>), 所以当a>4时，函数f(在（0，+切）上存在唯一零点b,其中b∈(，a). (i)略. 第24页/供24页