精品解析：四川省成都市成华区某校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

数学 一、单选题（共40分，每小题5分.每小题的四个选项中有且仅有一个正确选项，请把你认为的正确选项填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知两条直线：和：，若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】若，则，解得或， 当时，、的方程均为，故重合，不符题意； 当时，：，：，两者平行，符合题意，故B正确. 故选：B. 2. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 【解析】 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 3. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，，则可能，故A错误； 选项B：因，如图过作平面，交平面于b， 根据线面平行的性质定理，可得，因为，所以， 又因，所以，故B正确； 选项C：若，，则可能或或与相交，故C错误； 选项D：若，，，则与可能相交，故D错误. 故选：B 4. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题可得，，，然后由，及，可得，据此可得答案. 【详解】设，因为，且，平面， 可得，，且， 可得，，， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 即，解得（舍）或，故. 故选：A 5. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【解析】 【分析】A由图结合极差概念可判断选项正误；B由图结合百分位数概念可判断选项正误；C由图可判断甲乙平均数的大小关系；D由图结合方差概念可判断选项正误. 【详解】A，由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确； B，对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90； 对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90， 则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误； C，由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确； D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确. 故选：B 6. 若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于圆的半径可得出关于、的不等式，即可判断出点与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆无公共点，则，所以，， 因此，点在圆内. 故选：C. 7. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1， 则圆心为到直线的距离等于1， ∴，解得. 故选：B. 8. 如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得平面，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即可得到方程，求出，即可求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得； 【详解】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积； 故选：B 二、多选题（满分18分，每小题6分.每小题的四个选项中都不止一个满足条件，请将正确选项填涂在答题卡相应位置上.全部选对得满分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 已知，，则点到直线的距离为 C. 若对空间中任意一点有，则，，，四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，应用求解即可；对于B，应用求解即可； 对于C，转化为即可判断；对于D，可证得，但线面关系可有两种情况. 【详解】解：对于A项：在上的投影向量为，故A正确； 对于B项：，故B错误； 对于C项：因为，所以， 所以，即， 所以，，，四点共面，故C正确； 对于D项：因为， 所以，则或，故D错误； 故选：AC 10. 关于直线和圆，下列说法正确的是（ ） A. 过点且与圆：相切的直线方程为 B. 圆：关于直线对称 C. 点到直线距离的最大值为 D. 直线：被圆：截得的最短弦的弦长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据过一点作圆的切线，分类讨论切线斜率存在与否，并结合点到直线的距离等于半径求解即可确定切线方程，从而判断A项；通过圆心在直线上，可判断B项；通过含参直线方程，可确定直线所过定点，当时，点到直线的距离最大，可判断项；通过含参直线方程求出所过定点，当时，所截弦长最短，从而判断项. 【详解】对于A项，设过点的直线为，当轴时，直线：满足条件. 当不垂直于轴时，设的方程为，即：，则 ，解得，∴直线：，故错误； 对于B项，∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，故B正确； 对于C项，直线方程整理得，令，得， ∴直线恒过定点，则点到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D项，直线：整理得，令，得， 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，则圆心到直线距离的最大值为，所以最短弦的弦长为，故错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是、，则题被解出的概率是 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为16. 【答案】AB 【解析】 【分析】A，由独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式即可判断，B，由互斥事件概率加法公式可判断；C，由对立事件概念可判断，D由方差运算性质可判断. 【详解】对于A，由独立事件概率乘法公式可得此题没被解出的概率为， 再由对立事件概率公式可知：题被解出的概率是，正确； 对于B，由互斥事件概率加法公式可知正确； 对于C，从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球，一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 显然“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件； 对于D,由方差的运算性质可知：数据，，…，的方差为，错误； 故选：AB 三、填空题（共15分，每小题5分.请把你认为正确的答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 13. 已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线过定点，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可. 【详解】直线，即，所以直线过定点， 如图，． 因直线l与线段相交，则由图可知或， 即k的取值范围是． 故答案为： 14. 动直线：与动直线：相交于点，则的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题知直线，始终垂直，且分别过定点，，进而得到点的轨迹方程，最后转化为斜率问题求解即可. 【详解】由题意可知，动直线：经过定点， 动直线：经过定点， 因为两直线，始终垂直，点是两条直线的交点， 所以有， 所以点的轨迹方程是， 所以点的轨迹为：以为圆心，半径为的圆去掉点. 如图， 因为，故只需求的最小值， 所以，所求可以看成点与点连线的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据相切的条件构造方程，即，解得. 所以的最小值为， 所以最小值为. 故答案为：1 四、解答题（满分77分，解答须写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 15. 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． （1）求乙、丙各自解出该题的概率； （2）求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出未知数，根据已知条件列出等式，求出结果即可. （2）先求出对立事件的概率，进而得到甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【小问1详解】 设乙能解出该题的概率为，丙能解出该题的概率为， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以，解得. 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以，解得. 所以乙、丙各自解出该题的概率是. 【小问2详解】 甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 ， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是. 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的下四分位数和平均数； （2）在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率． （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1）63， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）由列举法求解古典概型概率即可； （3）由分层抽样方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 因为， 设下四分位数即第25百分位数为，则， 则，解得，故下四分位数为63． 平均数为， （2）因为第四组和第五组频率为0.2和0.05，所以10人中，第四组为8人.第五组为2人， 记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10， 则样本空间 共45个样本点， 记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故； （3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 所以估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 17. 已知直线：，：的交点 （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且横截距与纵截距相等的直线的方程； （3）求直线关于直线对称的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求解可得其焦点坐标，再求出直线的斜率，结合垂直性质即可得； （2）结合截距定义，分该直线过原点与该直线不过原点进行讨论即可得； （3）找出直线上任意一点关于对称的点后，结合点计算即可得解. 【小问1详解】 联立，解得，故， 因为直线斜率，则所求直线斜率为， 所以所求直线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）得，当所求直线过原点时，方程为，即； 当所求直线不过原点时，可设为，则有，解得， 即所求直线方程为，即； 综上可得所求直线方程为或； 【小问3详解】 对：，令，得，故是上的点， 设关于对称的点为， 则有，解得，故在所求直线上， 则所求直线方程为，即. 18. 已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 19. 在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1. （1）求证：； （2）若直线与距离为2， ①求棱的长； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 过点作于点. ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面， 又∵平面，∴平面平面， ∵平面平面，平面，， ∴平面， 则由已知，在平行四边形中， ，，，，， 设，则，， ∵， ∴，解得，∴. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先由题设求证平面得到，进而在平行四边形中，设，由计算求出x即可得证； （2）①取的中点，连结，求证得到，进而得到中的，从而在中由即可计算得解；建立适当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求，再由即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接. ∵，∴， ∴，∴，∴，， 在中，； 在中，； ②以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则点，，，，各点坐标如图. 由(1)知，点为中点，∴ ∴，由（1）知平面，所以是平面的一个法向量， 又， 又，，， ∴， 所以与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $