5.1.4 用样本估计总体-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

5.1.4　用样本估计总体 [课标解读]1.掌握结合实例估计总体的数字特征.2.掌握结合实例估计总体的分布． 知识点　用样本估计总体 1．用样本估计总体 (1)前提 样本的容量恰当，抽样方法合理． (2)必要性 ①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等． ②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体． (3)误差 估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大. 学生用书第47页 2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征 (1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可． (2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例． 条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2. 结论 如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝，b2＝× 3.用样本的分布来估计总体的分布 如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，(πi－pi)2不等于零．当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大． 1．李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为(　　) A．200千克，3 000元 B．1 900千克，28 500元 C．2 000千克，30 000元 D．1 850千克，27 750元 C　[样本平均数为(14＋21＋27＋17＋18＋20＋19＋23＋19＋22)÷10＝20(千克)． 由此可估计每棵樱桃树所产樱桃质量平均约为20千克，所以这100棵樱桃树所产樱桃的质量约为20×100＝2 000(千克)．根据樱桃批发价格为每千克15元，可得总收入约为15×2 000＝30 000(元)．] 2．(多选)对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法不正确的是(　　) A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 ABD　[样本为所研究的具体对象，样本容量越大，越能反映总体情况，估计越精确．总体容量不影响样本估计结果．] 3．在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下： 分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 1 2 6 7 3 1 分数在130分(包括130分)以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% B　[由表可知，优秀的人数为3＋1＝4，则优秀率为＝20%，故据此估计该班的优秀率约为20%，故选B.] 4．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　 ) A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 A　[甲组数据的中位数为65，由甲，乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等， ∴×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.] 5．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的柱形图表示．根据柱形图估计该校学生这一天平均的课外阅读时间为________h. 解析：　由题意得， ＝0.9，故答案为0.9.　 答案：　0.9 学生用书第48页 题型一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 (新课标全国卷Ⅱ节选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图(如图1)和B地区用户满意度评分的频数分布表． A地区用户满意度评分的频率分布直方图 图1 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90，100] 频数 2 8 14 10