专题07 数列5大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题07 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列及其性质 考点02 等比数列及其性质 考点03 周期数列 考点04 数列求通项公式 考点05 数列求和 地 城 考点01 等差数列及其性质 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川一中·期末)等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ） A． B． C．17 D． 5．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．中绝对值最小的项为 D．数列的前项和最大项为 7．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 8．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)以下命题正确的有（   ） A．若等差数列满足，，则 B．已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C．若数列满足，，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 三、填空题 9．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 . 10．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知数列的前n项和，则 ． 11．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则 . 四、解答题 12．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 13．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)（1）已知等差数列中，，，求． （2）已知数列的前项和为，且，求和． 地 城 考点02 等比数列及其性质 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知在递增的正项等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 . 6．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知数列，a，b，成等差数列，，c，成等比数列，则的值为 . 三、解答题 7．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 8．(24-25高二上·宁夏银川一中·期末)已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和. 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知在正项数列中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列的通项公式并求出其前项和； (2)求证：数列是等比数列. 地 城 考点03 周期数列 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列，满足，若，则（   ） A．2 B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知数列满足，，则数列的前9项和为（   ） A．6 B． C．3 D． 3．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知数列满足，，则数列前2025项的积为（    ） A．2 B．3 C． D．6 地 城 考点04 数列求通项公式 一、单选题 1．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列，则该数列的第211项为（    ） A． B．421 C． D．423 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（    ） A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项 3．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 二、填空题 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，则 . 三、解答题 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 地 城 考点05 数列求和 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)若，则数列的前项和 ． 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知，把数列的各项排成如右图所示的三角数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是 . 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ . 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 6．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 7．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 8．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 9．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式; (2)设数列满足 ，求的前项和. 10．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． (1)求数列，的通项公式． (2)设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列及其性质 考点02 等比数列及其性质 考点03 周期数列 考点04 数列求通项公式 考点05 数列求和 地 城 考点01 等差数列及其性质 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川一中·期末)等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．28 B．30 C．32 D．36 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算得解. 【详解】等差数列中，由，得. 故选：A 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为，， 所以数列是以1为首项，公差为的等差数列， 则. 故选：C. 3．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，结合等差中项运算求解. 【详解】因为，点在直线上， 则，即， 可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 故选：C. 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（    ） A． B． C．17 D． 【答案】A 【分析】利用等差中项公式、等比数列通项公式和等比数列求和公式即可解决. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 又因为等比数列的公比为， 所以上式化为，解得. 所以的前10项和为. 故选：A 5．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】因为， 所以，又，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．中绝对值最小的项为 D．数列的前项和最大项为 【答案】BCD 【分析】由题设可得，结合等差数列性质判断A、B、C；再由的正负分界点，判断最大项判断D. 【详解】由题意，可得， 所以，，，B正确，A错误； 设数列的公差为， 则，， 所以为递减数列，且，，即， 且当时，单调递减，当时，单调递增， 所以中绝对值最小的项为，故C对； 因为当时，，当时，，， 所以的前项为正，第项开始均为负， 故最大项为，D对. 故选：BCD 7．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，当时，，，当时，，故B错误；C选项，利用等差数列求和公式得到C正确；D选项，先求出，结合C得到答案. 【详解】A选项，中，当时，， 当时，， 显然满足，故，A正确； B选项，因为当时，，，当时，， 故为的最大值，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，， ， 由C知，，故，D错误. 故选：AC 8．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)以下命题正确的有（   ） A．若等差数列满足，，则 B．已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的正整数n的值为8 C．若数列满足，，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，能解决等差数列问题，利用周期数列，解决递推数列问题. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数n的值为8，故B正确. 对于C，，，且，，， 则此数列有周期性，故是周期为的数列，即， 则， 故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知等差数列中，，则数列的前8项和等于 . 【答案】72 【分析】利用等差数列的求和公式可得答案. 【详解】因为， 故答案为：72 10．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知数列的前n项和，则 ． 【答案】15 【分析】用之间的关系式计算即可. 【详解】由题知． 故答案为：15. 11．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则 . 【答案】 【分析】先通过韦达定理求得，然后利用求和公式计算即可. 【详解】因为与是方程的两个实根， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求结论； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为， ． （2）∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为， 解得. 13．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)（1）已知等差数列中，，，求． （2）已知数列的前项和为，且，求和． 【答案】（1）（2），. 【分析】（1）利用等差中项的性质可求得的值，可求得等差数列的公差，进而可求得的值； （2）利用求出数列的通项公式，进而可求得的值. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 由等差中项的性质可得，可得，故， 所以，； （2）因为数列的前项和， 当时，， 当时，，适合上式， 故，． 地 城 考点02 等比数列及其性质 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项求出及. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此， 所以. 故选：B 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知在递增的正项等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到是的两个实根，从而求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而利用等比数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是递增的正项等比数列，所以， 又，，所以是的两个实根， 解，得或，所以， 所以由，得，得， 所以. 故选：B. 3．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，，则，即， 所以， 因为数列是等比数列，，则，即， 所以， 则. 故选：A. 二、填空题 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)若5是与的等差中项，3是与的等比中项，则 . 【答案】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 【详解】由已知，， 所以. 故答案为：. 6．(23-24高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知数列，a，b，成等差数列，，c，成等比数列，则的值为 . 【答案】或 【分析】利用等差数列和等比数列的性质，求出和的值，可得的值 【详解】数列，a，b，成等差数列，则有； ，c，成等比数列，则有，解得. 所以的值为或. 故答案为：或 三、解答题 7．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)在公比大于0的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去），   所以． （2）由于，则． 8．(24-25高二上·宁夏银川一中·期末)已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减法求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设数列的公比为q，则， 解得或（舍去）， ∴（）； （2）由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②得 所以， 所以对于任意的，不等式恒成立，即不等式对于任意的恒成立， 又， ∴，当且仅当或时等号成立， ∴实数的取值范围是. 9．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）中，令，求出，再令，结合，求出； （2）利用得到为公比为2的等比数列，利用等比数列求通项公式求出答案； （3）求出，错位相减法求和即可. 【详解】（1）中，令得，解得， 令得，即，解得； （2）①， 当时，②， 式子①-②得， 故， 所以为公比为2的等比数列，首项为， 故； （3）， 则③， ④， 式子③－④得 ， 故. 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知在正项数列中，，点在双曲线上.在数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列的通项公式并求出其前项和； (2)求证：数列是等比数列. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知有，根据等差数列定义写出通项公式和前n项和公式； （2）由题设，，作差整理得，即可证结论. 【详解】（1）由点在上，则. 数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 所以，. （2）证明：点在直线上，①，②， 两式相减，得，则. 由①式，令得，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 地 城 考点03 周期数列 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)已知数列，满足，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出的前4项，得到的周期，从而得到答案. 【详解】，，，，……， 故为周期数列，一个周期为3， 故. 故选：C 2．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知数列满足，，则数列的前9项和为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由数列递推式依次求出前几项得出数列具有周期性，再由周期性计算求解即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以. 所以数列是周期为3的数列，故数列的前9项和为. 故选：B 3．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 4．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知数列满足，，则数列前2025项的积为（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】求出数列的一个周期为4，且，从而得到数列前2025项的积. 【详解】因为，所以，， ，，……， 故为一个周期为4的数列， 其中， 因为，所以数列前2025项的积为. 故选：A 地 城 考点04 数列求通项公式 一、单选题 1．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列，则该数列的第211项为（    ） A． B．421 C． D．423 【答案】B 【分析】根据已知数列写出一个通项公式，再求出第211项. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：B 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（    ） A．第42项 B．第41项 C．第9项 D．第8项 【答案】B 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 3．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 【答案】B 【分析】根据已知有，应用累加法求通项公式，进而求. 【详解】因为， 所以，则. 故选：B. 二、填空题 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)在数列中，，则 . 【答案】 【分析】整理可得，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】因为， 当时，则， 相加可得，则， 且符合上式，所以. 故答案为：. 三、解答题 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上. (1)求，，，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)；；； (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合，逐项即可求解； （2）由，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由点均在函数的图象上，可得， 则，；； . （2）解：由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 所以数列的通项公式为. 地 城 考点05 数列求和 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式求得，进而得到，再利用裂项相消法求，解对应的不等式即可得解. 【详解】由为等差数列，，得公差， ， 于是， 因此， 又，解得，所以n的最小值为. 故选：C 二、填空题 2．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)若，则数列的前项和 ． 【答案】 【分析】根据数列的项，相邻两项合并先求和后再求得结论． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知，把数列的各项排成如右图所示的三角数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是 . 【答案】 【分析】根据数阵的排列规律，结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可得：每个数均为正奇数，且第行有个数， 则到第行最后一个数共有个， 则是第个奇数，所以. 故答案为：. 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ . 【答案】192 【分析】利用的关系求出，进而可得，然后结合等差数列的求和公式求即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验不满足上式，所以， 设，则， 所以. 故答案为：192. 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合等比中项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合分组求和法与等差等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，且，，成等比数列， 所以，则，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以数列的前项和为 . 6．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知数列的前n项和. (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系求出，再根据等差数列的定义证明即可； （2）由（1）已得，化简并裂项，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 则当时，， 因满足， 故数列的通项公式为. 又因， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）得，则， 故 . 7．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理并求出通项公式. （3）由（1）（2）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）数列中，，，显然，则， 所以是首项，公差为2的等差数列， 故，. （3）由（1）（2）得， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 8．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 9．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式; (2)设数列满足 ，求的前项和. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由基本量法列方程组解得，得通项公式； （2）求出通项公式，用错位相减法求和． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 由，得， 解得， 所以； （2）由可得 当时，， 当时， 所以，， 又， 两式相减得 所以 10．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． (1)求数列，的通项公式． (2)设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）； （ⅱ）λ的最大值为7 【分析】（1）由等差数列的通项公式求得，从而求得数列的通项公式，由递推公式可得数列是等比数列，从而求出数的通项公式； （2）（ⅰ）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求出；（ⅱ）由，可得，构造数列，利用作差法判断数列的单调性，从而求得的最大值. 【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且，所以， 所以，解得，所以， 因为，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）（ⅰ）因为， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以； （ⅱ）由，可得，令， 则， 所认单调递增，所以，所以λ的最大值为7． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $