高二数学期末模拟卷02（新高考八省专用，测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期末模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若直线与垂直，则其斜率为， 又该直线过，根据点斜式有，整理得. 故选：C 2．如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，    连接，所以， 因为，所以， 所以， 故选：B. 3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】直线是双曲线的一条渐近线， 则有，得， 故的离心率为. 故选：B. 4．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．2 【答案】A 【详解】因为数列是等差数列，且，所以，解得， 由等差数列的性质可得， 因为2，，，，8成等比数列，所以，解得， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 5．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 【答案】B 【详解】，所以点到直线的距离为 ， 所以当时，距离有最小值为. 故选：B 6．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】∵方程表示圆， ∴，即． 圆，圆， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程：． 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在直线上， ∵圆的圆心为， ∴，即， ∴， ∴当时，取最小值9． 故选：D． 7．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】C 【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为， 所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 8．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 【答案】C 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】由， 令，所以直线过定点，故A对； 若，所以，故B对； 若，则，即， 此时，即，， 因为直线与间的距离为， 所以或15，故C错； 由C知，直线过定点，要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D对； 故选：ABD 10．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得平面 D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为 【答案】AC 【详解】对于选项A，当时，， 如图所示，    根据平面向量基本定理，此时P在线段上， 由于在正方体中，平面，平面， 所以，选项A正确； 对于选项B，当时，， 如图所示，    由平面向量基本定理，此时P在线段上， 由图可知，三棱锥当以平面为底面时为定值， 但因为顶点P在线段上运动，所以P到底面的高不确定， 故三棱锥的体积不是定值，选项B错误； 对于选项C，当时，如图所示，    此时， 由平面向量基本定理，取AB与中点M，N，则P在线段MN上运动， 由图可知，过B点且与平面平行的平面为平面， 平面，所以此时平面， 又P是MN与交点，即当且仅当P是MN中点时，有平面， 故选项C正确； 对于选项D，如图所示，    以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，则有， 又， 所以， 所以. 于是，， 所以的夹角为时有， ， 解得或， 即或都可以使得的夹角为， 选项D错误. 故选：AC. 11．已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 【答案】ACD 【详解】A选项，①， 当时，， 当时，②， 式子①-②得 ， 故， 其中满足，综上，，， 所以，，故， 数列为等差数列，A正确； B选项，， 故，B错误； C选项，当时，， ，C正确； D选项，， 数列的前2n项和 ，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量且与互相平行，则实数的值 ． 【答案】2 【详解】由条件可知， 因为与互相平行，所以， 解之得. 故答案为：2 13．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由在椭圆上，得，解得，， 则椭圆的焦点，， 因此， 当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点， 所以的最大值为. 故答案为： 14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 ．    【答案】 【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为， 则①， ②， 由①-②得： ， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，，.................................................................（2分） 解得：..................................................................................................................（4分） 故.............................................................................（6分） （2）由（1）得，，，........................................（8分） 则 .........................................（13分） 16．（15分）已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【详解】（1）圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条，.......................................................（2分） ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切........................................................（4分） (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即.........................（5分） 圆心C到直线的距离, 由题意,解得,.........................（7分） 此时,即, 终上所述,直线的方程为或.......................................................（8分） （2）设因为为的中点, 所以,.............................................................................................（10分） 点E在圆C上 , 即， 即，..................................................................................................（13分） 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,...........................................................（14分） 的轨迹的长度为............................................................................（15分） 17．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以................................（1分） 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以..................（2分） 因为，且，平面， 所以平面...........................................................（3分） （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直，..................................（4分） 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，..................................（6分） 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故..................................................................................................................（7分） 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为...........................................................（9分） （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则，.....................................................（10分） 设平面的法向量为， 则， 令，则，故.....................................................（12分） 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去，...................（14分） 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为...................（15分） 18．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.    (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【详解】（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得，..............................................（2分） 解得，则，.............................................................（4分） 故椭圆的方程为............................................................................（5分） （2）解：设直线的方程为，，. 由消去，整理得...............................................（7分） 由，得，..............................................（8分） 则，...............................................（9分） ，..............................................（10分） 解得或..............................................（11分） 当时，直线的方程为，此时直线过点；.............................（12分） 当时，直线的方程为，满足题目条件 所以直线的方程为...........................................................................................（13分） （3）证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且，.......................（14分） 由（2）可知，， ， 为定值........................................（17分） 19．（17分）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”; (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 【详解】（1）因为，设公差为d，所以， 令，则，这时，........................................（2分） 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，. 所以，数列是“H数列”.........................................（4分） （2）因为数列的前n项和， 当n时，，所以，........................................（5分） 当n2时，，所以，........................................（6分） 所以是以1为首项，2为公比的等比数列.........................................（7分） 所以，........................................（8分） 假设数列是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 当m时，有，则n；........................................（9分） 当m2时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解......................（11分） 所以对任意正整数n，不存在正整数m，使得， 所以数列不是“H数列”........................................（12分） （3）依题意，，，........................................（13分） 若是“H数列”，则对任意的，都存在使得， 即， 所以，........................................（15分） 又因为，， 所以对任意的，，且，则........................................（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$精创试卷 学易金卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02 参考答案 第一部分(选择题共58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 5 3 6 2 7 8 D C B A B C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 2 11 ABD AC ACD 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.213.42+2 142{--2 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.(13分) 【详解】(1)设数列a的公差为d,数列[bn]的公比为9, [#+S=10 可得。 [2q+2+d-7 则由{ la+b-10 l1+d+2q2-10' ............... d=1. 解得: -2 4分) 故a.=1+(n-1)=n.b.=2.. (6分) (2)由(1)得,C- [n.:为奇数) neN). 2”,(n为偶数)' ................. 则T。=(C+C+.+C)+(C.+C.+.+C) )_ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 精创试卷 学易金卷 精品频道·倾力推荐 =(+3++19)+(2+2+.+2*) 101+19) 40-410044296. 4 1-4 33= ......分分). 3 16.(15分) 【详解】(1)圆C的标准方程为:(x-2){+(v-3)^2}=9 ·(-1-2)+(-3-3)=45 9$$ 点A-1.-3)在圆外。 故过点A且与圆C相切的直线有2条, ①当直线/的斜率不存在时./:x=-1 圆心C(2.3)到直线/的距离d=2-(-1)-3=r :直线/与圆C相切 (4分) (2)当直线/的斜率存在时,可设直线l:y+3xk(x+1),即x-y+k-3-0(5分) $-3+k-33k-6{ :圆心C到直线/的距离d= 21 #2}+1 由题意d=r 2+1 0 此时/: 终上所述,直线/的方程为=-1或3x-4y-9-0 (2)设E(xo,y。),M(x.y),因为M为DE的中点. fx。+3 2-r [x。=2x-3 所以 (10分) 1。+2 _V 2 “点E在圆C上 :.(¥。-2)+(y。-3){-9 即(2x-5)+(2y-5)2-9, ##-)}#(##-# (13分) 2 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 精创试 卷 学易金卷 精品频道·倾力推荐 (14分) (15分) 17.(15分) 【详解】(1)因为底面ABCD是正方形,所以AC1BD .............. 又因为AA.1平面ABCD,BDc平面ABCD,所以AA.1BD.(2分) 因为AAOAC=A,且AA,AC-平面ACCA 所以BD..平...C.................. (3分) (2)因为AA1平面ABCD,AB,ADc平面ABCD. 所以AA.1AB,AA.1AD. 又底面ABCD是正方形,AB1AD,故AB,AD,AA.两两垂直, 以AB,AD,A4.所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系 1 B 则A(0.0.0).B(6,0,0),B.(3.0,2),C(6,6.0],D(0,6,0).D. (0,3,2) 所以BC=(0.6.0),BB=(-3.0.2),DD=(0.-3.2). .............. 设平面BCCB的法向量为画=x,y,2) [.BC-6y-0. 则 ,解得y=0,令x=2,则2=3. ·BB=-3x+2z=0. 故=(2.0.3). (7分) 设直线DD与平面BCCB所成的角为0. _ 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 R 精品频道·倾力推荐 DD 6 则sine=cosDD.,= 6 DD |+4×4+9 13' 6 故直线DD与平面BCCB所成角的正弦值为 13 (9分) (3)若存在点P满足题意,则可设点P(6.A,0),其中Ae 0.6 则AP=(6.2.0),AD=(0.3,2). (10分) 设平面ADP的法向量为i=x,V) [n.AP-6x.+2y=0. 则 l·AD=3y+2z.=0.' 令y=-6,则2=9,x=,故ì=(.-6,9).. 易得平面ADD.的一个法向量为v=(1.0,0), i 所以cosi= 一 +36+81-,解得入=2或-2(舍去), (14分) (15分) 18.(17分) 【详解】(1)解:由圆C: 2(-2) a+c-2(3+2) 结合圆的几何性质,得 a-c-2(3-2)' [a=-23 解得{ 过#RE,则#-#-2## 124 (5分) 二一 {。 由 消去y,整理得4x-6+9-36-0...(7分) _=1 ,。* 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学易金卷 精创试 卷 精品频道·倾力推荐 由A(-6m)*-144(n→-4→0, 得4 3<m43 -__ (8分) ) 3 3m 9m-36 (9分) 4 10 16-3-10. (10分) 2 解得n=2或m=-2 ....(11分) 当n=2时,直线/的方程为y=- 当m=-2时,直线/的方程为y=--x-2,满足题目条件 1 3 ..(1.分) (3)证明:因为直线PM,PN均不与x轴垂直. 所以直线/:y=- x+m不经过点(3.-1)和(3.1),则m+0且m;2,(14分) ) --+~1)0+-1. 由(2)可知. -3-3 (×-3)(x-3) ×x-3(×+x)+9 1.9m}-36-(m1).3t(m1)} 49m-363.309 (17分) 4 2 19.(17分) 【详解】(1)因为a.=0,设公差为a,所以s.=” nn-1)d 2 nn-1) +1,则meN',这时S.=a. 令n- (2分) 即对任意正自然数n,存在正自然数m,使得S。三a, 所以,数列a.是“H数列” o. (4分) (2)因为数列a.的前n项和S.=2a.-1 当n=1时,a.=2a-1,所以a.=1, (5分) 当n>2时,a.=S-S=2a.-1-2a+1,所以a.=2a. (6分) , 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 所以a.是以1为首项,2为公比的等比数列 (7分) 所以a。-2-,8.-2“-1. (8分) 假设数列a.是“H数列”,则对任意正整数n,总存在正整数m,使得S.=a。, 当m-1时,有2 -1-1,则n-1; 当m>2时,有2-12”,左边为奇数,右边为偶数,该方程无解...... (11分) 所以对任意正整数n,不存在正整数m,使得S.三a 所以数.,......”........... (12分) (3)依题意,a.=1+(n-1)d,S.=n+ nn-1)d (13分) 若a. 是“H数列”,则对任意的neN,都存在keN使得a.=S.. 即1+(k-1)d-n+” nn-1)d 2 ) nn-1) 又因为zeN, 1eN. 所以对任意的neN, d (17分) 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期末模拟卷 02 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 4．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．2 5．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 6．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 8．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 10．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得平面 D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为 11．已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量且与互相平行，则实数的值 ． 13．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 16．（15分）已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 18．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 19．（17分）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”; (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 4．等差数列的前项和为，其中，又2，，，，8成等比数列，则的值是（   ） A．4 B． C．4或 D．2 5．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．6 6．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 8．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 10．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得平面 D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为 11．已知数列满足，则（   ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列的前2n项和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量且与互相平行，则实数的值 ． 13．已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 14．将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 16．（15分）已知圆． (1)若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； (2)设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17．（15分）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 18．（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 19．（17分）设数列的前n项和为若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. (1)已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”; (2)若数列的前n项和，证明：数列不是“H数列”; (3)设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷02 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D ] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______ ______________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$