第七单元　空间点、直线、平面之间的位置关系【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七单元　空间点、直线、平面之间的位置关系 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025太原五中高一月考]若点A在直线m上,直线m在平面α内,则下列关系表示正确的是(　　) A.A⊂m B.m∈α C.A∈α D.A⊂α 2.[2025深圳中学高一期中]下列说法中正确的是(　　) A.过三个点有且只有一个平面 B.四边形可以确定一个平面 C.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面平行 D.若一条直线与一个平面平行,则这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点 3.[2025长沙市明德中学高一阶段检测]已知a,b是空间中的两条直线,则“a∥b”是“a,b无公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2025广州六中高一期中]设a,b,c是三条直线,α,β,γ是三个平面,若α∩β=a,则下列命题中为真命题的是(　　) A.若b⊄α,b⊄β,则a∥b B.若b⊂α,c⊂β,则b,c异面 C.若b⊂α,c⊂β,b∩c=P,则P∈a D.若β∩γ=b,a∥b,则α∥γ 5.[2024南师附中、金陵中学等校联考]如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别在棱AB,AD上,点F,G分别在棱BC,CD上,若EF与GH的交点为M,则一定经过点M的直线为(　　) A.AB B.AD C.AC D.BC 6.[2025南通中学阶段检测改编]空间有6个点,其中有5个点共面,则这6个点最多可以确定的平面个数为(　　) A.11 B.10 C.7 D.6 7.[2025慈溪中学高一期中改编]如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下列说法不正确的是(　　) A.A1D和BC1异面 B.BB1和DD1共面 C.平面A1BD∥平面CC1D1 D.平面A1BD与平面CB1D1相交 8.【模块综合】[2025复旦附中高一期末]正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线a⊂平面ABCD,直线b⊂平面DAB1C1,记该正方体的12条棱所在的直线构成的集合为Ω.给出下列四个命题: ①Ω中可能恰有2条直线与a异面; ②Ω中可能恰有4条直线与a异面; ③Ω中可能恰有8条直线与b异面; ④Ω中可能恰有10条直线与b异面. 其中正确命题的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 多项选择题 9.[2024兰州一中高一期中]已知A∈平面α,B∉平面α,则下列说法错误的是(　　) A.平面α内所有的直线与直线AB异面 B.平面α内存在无数条直线与直线AB相交 C.平面α内存在一条直线与直线AB平行 D.有且只有一个过直线AB的平面与平面α平行 10.[2025青岛三十九中高一阶段检测]如图,四棱锥P-ABCD中,AC∩BD=O,M 是PC 的中点,直线AM交平面PBD 于点N,则下列结论正确的是(　　) A.O,N,P,M 四点共面 B.O,N,M,D四点共面 C.O,N,M三点共线 D.P,N,O三点共线 11.[安徽省池州市高二期末]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8,点E,F分别是线段CD,BC的中点,平面α过点A1,E,F且与正方体ABCD-A1B1C1D1成一个截面图形,现有如下说法,其中正确的是(　　) A.直线A1E与CC1是异面直线 B.截面图形是一个六边形 C.若点I在正方形CDD1C1内(含边界位置),且I∈平面α,则点I的轨迹长度为 D.截面图形的周长为2+ 填空题 12.【教材变式】[2024安徽师大附中高一月考]如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　　　.  13.[2024上海中学高一期末]已知平面α与平面β将空间分成3部分,若空间中还有一个平面γ,那么α,β,γ这三个平面可以将空间分成　　　　部分.  14.[2025东莞中学松山湖学校、深圳市红岭中学高一阶段考试]甲烷分子是正四面体空间构型,如图,四个氢原子分别位于正四面体的顶点A,B,C,D处,碳原子位于正四面体的中心O(到各个顶点距离相等的点称为正四面体的中心)处.若正四面体D-ABC的棱长为1,则平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线长度为　　　　.  解答题 15.(13分)[2024合肥一中高一专题训练]已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)AA1与CC1是否在同一平面内? (2)在如图所示的正方体中作出平面ACC1A1与平面BC1D的交线. 16.(15分)[2024大理一中高一期中]已知直线l1,l2,l3,l4两两相交,且不共点. (1)如图1,若没有三条直线交于一点,求证:直线l1,l2,l3,l4在同一平面内; (2)如图2,若其中三条直线交于一点,求证:直线l1,l2,l3,l4在同一平面内. 17.(15分)[2024佛山一中月考]如图,若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在的平面相交,并且直线AA1,BB1,CC1相交于一点O,求证: (1)AB和A1B1在同一平面内; (2)如果AB和A1B1相交于点P,AC和A1C1相交于点R,BC和B1C1相交于点Q,那么P,R,Q在同一直线上. 18.(17分)[2024上海中学单元测试]如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; (2)DE,BF,CC1三线交于一点. 19.(17分)[2025汕头一中高一期中]如图1,已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,且EF与HG相交于点Q. (1)求证:点Q在直线DC上; (2)在图2中作出过A,G,D1三点的截面;(写出作图过程并保留作图痕迹) (3)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求(2)中截面的面积. 参考答案 1.C　点在直线或平面上用符号“∈”,直线在平面内用符号“⊂”,故A,B,D错误,C正确. 2.D　A(✕)当三点共线时,有无数个平面. B(✕)空间四边形可确定四个平面. C(✕)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. D(√)若一条直线与一个平面平行,则这条直线与平面没有公共点,故这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点. 3.A　a∥b,则a,b无公共点,故充分性成立;a,b无公共点可推得a∥b或a,b是异面直线,故必要性不成立.所以“a∥b”是“a,b无公共点”的充分不必要条件. 4.C　A(✕)若b⊄α,b⊄β,α∩β=a,则a与b可能平行、相交或异面. B(✕)若b⊂α,c⊂β,α∩β=a,则b与c可能相交、平行或异面. C(√)因为b⊂α,c⊂β,b∩c=P,α∩β=a,所以P∈α且P∈β,所以P∈a. D(✕)若β∩γ=b,a∥b,α∩β=a,则α与γ可能相交,如三棱柱的三个侧面. 5.C　因为点M在EF上,所以点M在平面ACB上,同理,点M在平面ADC上,所以点M是平面ABC与平面ADC的交点,又AC是平面ABC与平面ADC的交线,所以EF与GH的交点M一定在直线AC上. 6.A　记5个共面的点分别为A,B,C,D,E,不共面的第6个点为O,要使得确定的平面最多,则A,B,C,D,E五个点中没有任何三点共线,则从A,B,C,D,E中随机选取两个点,连同第6个点O,即可构成一个平面,此时有ABO,ACO,ADO,AEO,BCO,BDO,BEO,CDO,CEO,DEO,共10个平面,又A,B,C,D,E这5个点确定一个平面,故最多可以确定10+1=11个平面. 7.C　A(说法正确)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB∥C1D1,所以AB与C1D1确定平面ABC1D1,因为A1D与AD1相交,AD1⊂平面ABC1D1,所以A1D与平面ABC1D1相交,又BC1不过该交点,所以A1D和BC1异面. B(说法正确)因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的四条侧棱相交于一点,所以BB1和DD1共面. C(说法不正确)因为D∈平面CC1D1,A1∉平面CC1D1,B∉平面CC1D1,所以由基本事实3可知,平面A1BD与平面CC1D1相交. D(说法正确)因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,BC∥B1C1∥A1D1,所以BC与A1D1可以确定一个平面,又因为BC≠A1D1,所以A1B与CD1交于一点,设为P,所以P∈A1B,又A1B⊂平面A1BD,所以P∈平面A1BD,又P∈CD1,CD1⊂平面CB1D1,所以P∈平面CB1D1,由基本事实3可知,平面A1BD与平面CB1D1相交. 8.B　②(√)因为直线a⊂平面ABCD,所以AB,BC,CD,AD不可能与直线a异面,当直线a与底面ABCD的一条边所在直线重合时,假设直线a与AB重合,Ω中只有4条直线(即CC1,DD1,A1D1,B1C1)与直线a异面. ①(✕)若直线a与底面ABCD的对角线所在直线重合时,假设直线a与AC重合,此时Ω中有6条直线(即A1D1,A1B1,B1C1,C1D1,BB1,DD1)与直线a异面;若直线a只过底面ABCD的一个顶点时,假设直线a过点A,此时Ω中有7条直线(即A1D1,A1B1,B1C1,C1D1,BB1,CC1,DD1)与直线a异面;若直线a不过底面ABCD的任何一个顶点时,此时Ω中有8条直线(即A1D1,A1B1,B1C1,C1D1,AA1,BB1,CC1,DD1)与直线a异面.综上及②知,Ω中不可能有2条直线与a异面. ③(√)当直线b过A点与线段B1C1的中点时,Ω中除了AD,B1C1,AB,AA1之外的8条棱所在直线均与直线b异面. ④(√)当直线b过线段AD中点与线段B1C1的中点时,Ω中除了AD,B1C1之外的10条棱所在直线均与直线b异面. 9.ACD 10.AD　A(√)由题意可知O,N,P,M四点均在平面PAC上,故O,N,P,M四点共面. B(✕)若点D与O,M,N共面,则点D在平面PAC内,与题目矛盾. C(✕)O,N∈平面PBD,M∉平面PBD,故O,M,N三点不共线. D(√)P,N,O∈平面PBD,P,N,O∈平面PAC,根据基本事实3可知,P,N,O在平面PBD与平面PAC的交线上,故P,N,O三点共线. 11.ACD　A(√)直线A1E与CC1是异面直线. B(✕)如图,延长FE,AD交于点P,连接A1P交DD1于点G,延长EF,与AB的延长线交于点Q,连接A1Q交BB1于点H,再连接GE,HF,则五边形EFHA1G为所求截面. C(√)由题意,线段EG为点I的轨迹,因为==,所以G为DD1的三等分点,同理易知H为BB1的三等分点,则EG=FH==,即点I的轨迹长度为. D(√)而A1G=A1H==,EF=,则五边形EFHA1G的周长为2×+2×+=2+. 12.异面直线　将平面展开图还原,可得正方体的直观图如图所示,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为异面直线. 13.6或4　由题意可得α∥β,再分α,β分别与γ相交时,α∥γ,β∥γ时两种情况讨论即可.因为平面α与平面β将空间分成3部分,所以α∥β.如图1,当α,β分别与γ相交时,α,β,γ这三个平面可以将空间分成6部分;如图2,当α∥γ,β∥γ时,α,β,γ这三个平面可以将空间分成4部分.综上所述,α,β,γ这三个平面可以将空间分成6或4部分. 14.　分别取AB,CD的中点E,F,连接EF,根据正四面体的性质可得EF即为平面OAB和平面OCD的交线,再由几何关系求出线段EF的长度即可. 15.【解析】 (1)∵AA1∥CC1, ∴AA1与CC1可确定平面ACC1A1(推论3), ∴AA1与CC1在同一平面内.(6分) (2)如图所示, 设AC∩BD=O,连接OC1,则O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D. 又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D, ∴平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1,OC1即为要作的交线.(13分) 16.【解析】 (1)题图1中,没有三条直线交于一点, 因为l1∩l2=P,所以l1,l2确定平面α. 又因为l1∩l3=A,l2∩l3=C,所以A,C∈α, 所以l3⊂α. 同理可得l4⊂α. 所以直线l1,l2,l3,l4在同一平面内.(7分) (2)题图2中,l1,l2,l3三条直线交于一点,所以l1,l2确定平面α, 因为l1∩l4=A,l2∩l4=B,所以A,B∈α, 所以l4⊂α. 同理l3⊂α. 所以直线l1,l2,l3,l4在同一平面内.(15分) 17.【解析】 (1)∵AA1∩BB1=O, ∴AA1,BB1确定平面ABO, ∵A,A1,B,B1都在平面ABO内, ∴AB⊂平面ABO,A1B1⊂平面ABO,即AB和A1B1在同一平面内.(5分) (2)∵A1B1∩AB=P,∴P∈A1B1,P∈AB, ∵AB⊂平面ABC,A1B1⊂平面A1B1C1, ∴点P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上.(8分) ∵A1C1∩AC=R,∴R∈A1C1,R∈AC, ∵AC⊂平面ABC,A1C1⊂平面A1B1C1, ∴点R在平面ABC与平面A1B1C1的交线上.(11分) ∵B1C1∩BC=Q,∴Q∈B1C1,Q∈BC, ∵BC⊂平面ABC,B1C1⊂平面A1B1C1, ∴点Q在平面ABC与平面A1B1C1的交线上.(14分) ∴P,R,Q三点都在平面ABC与平面A1B1C1的交线上,即P,R,Q在同一直线上.(15分) 18.【解析】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面AA1C1C为α,平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点. 同理,P也是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.(5分) 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ, 故P,Q,R三点共线.(8分)   (2)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交, 设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1.(10分) 同理,点M∈平面B1BCC1.(12分) 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1, 所以M∈CC1. 所以DE,BF,CC1三线交于一点.(17分) 19.【解析】 (1)平面ABCD∩平面CDD1C1=DC, 由于Q∈EF,EF⊂平面ABCD, 所以Q∈平面ABCD,(2分) 又Q∈HG,HG⊂平面CDD1C1, 所以Q∈平面CDD1C1,(4分) 所以Q∈DC,即点Q在直线DC上.(5分) (2)如图①,连接D1G并延长与DC的延长线交于点M,连接AM交BC于点P,连接PG,AD1. 抹去PM,CM,GM,得四边形APGD1,即为所求截面,如图②.(9分) 　 　(11分) (3)易知四边形APGD1为等腰梯形,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PG=,AD1=2,GD1=AP=, 所以等腰梯形APGD1的高为==,(15分) 所以梯形APGD1的面积为(+2)×=, 即所求截面的面积为.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $