第三单元　平面向量的应用【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第三单元　平面向量的应用 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025芜湖一中高一期末]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,B=,a=2,则b=(　　) A.4 B.2 C.2 D.2 2.【教材变式】[2024南京外国语学校高一期中]已知一个物体在三个力F1=(0,1),F2=(-1,-3),F3的作用下,处于静止状态,则F3=(　　) A.(-1,-2) B.(-2,1) C.(2,1) D.(1,2) 3.[2025全国二卷]在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 4.[2025双十中学高一月考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若=-1,则cos A=(　　) A.- B.- C.- D. 5.[2025天一中学高一期中]某地为响应政府关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工程,造福于民,拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得C=120°,BC=3 km,AC=5 km,则A,B间的直线距离约为(　　) A.6 km B.7 km C.8 km D.5 km 6.[2025成都七中高一期末]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,b=7,如果△ABC有两解,则a的值可能为(　　) A.9 B.7 C.11 D.12 7.[2023全国乙卷文]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. 8.[2024常德一中高一期中]在△ABC中,·+=0,·=,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形 D.等腰(非直角)三角形 多项选择题 9.[2024杭州二中期末改编]△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=5,b=6,c=7,下面说法正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=5∶6∶7 B.cos A∶cos B∶cos C=25∶19∶7 C.△ABC是钝角三角形 D.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 10.[2025青岛十五中高一期中]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD,·=-4,AC交BM于O,则(　　) A.AO=AC B.=+ C.cos∠BAD= D.BC= 11.[2024石家庄二中高一期末改编]如图,锐角△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆O的半径R=,点D在边BC上,且BD=2DC=2,则下列判断正确的是(　　) A.∠BAC= B.OD=1 C.△BOD为直角三角形 D.△ABC周长的取值范围是(3,9] 填空题 12.【模块综合】[2025广州二中高一期中]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且a,b是方程x2-5x+6=0的两个根,B<A=60°,则c=　　　　.  13.[2025济南一中高一期末]解放阁是山东省的“国防教育基地”.如图,为测量解放阁的高度CD,某人取了一条水平基线AB,使A,B,D在同一条直线上.在A,B两点用测角仪器测得C的仰角分别是∠CAD=30°,∠CBD=53°,并测得AB=35 m,则CD约为　　　　 m.(参考数据:sin 53°≈0.8,sin 23°≈0.4)  14.[2025宜春中学高一月考]在△ABC中,D是边AB上的一点,且满足∠ACD=∠BCD=,BD=,AD=,则△ABC的面积为　　　　;若E是边AB的中点,则=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)[2025华南师大附中高一期中]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,c=3,(b+c)(sin B-sin C)=(a-c)sin A. (1)求角B; (2)若D为线段AB上一点,且cos∠ADC=-,求CD的长. 16.(15分)[2024新课标Ⅰ卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 17.(15分)[2024福州一中高一阶段检测]一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流方向自西向东,且水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向. (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值; (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少? 18.(17分)[2025枣庄八中高一阶段检测]如图,平面内四点A,B,C,P满∠BAC=,BC=1,BP⊥BC. (1)若AC=,BP=, (i)求△ABP的面积; (ii)求PA的长; (2)若∠APB=,BP=,求∠PAB. 19.(17分)【模块综合】[2024烟台一中高一期中]设函数f(x)=sin(ωx+)+2cos(ωx-)(0<ω<4). (1)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,g(x)的图象关于原点对称,求f(x)的单调递增区间; (2)在(1)的条件下,△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=, ①若a2=bc,求的值; ②若b=4,·>0,求c的取值范围. 参考答案 1.A　根据正弦定理可得b===4(已知两角和其中任意一角的对边,求另一角的对边,采用正弦定理). 2.D　因为该物体静止,所以F1+F2+F3=(关键步骤:三个力的合力为零向量),所以F3=-(F1+F2),又因为F1+F2=(0,1)+(-1,-3)=(-1,-2),所以F3=-(F1+F2)=(1,2). 3.A　cos A===,因为0°<A<180°,所以A=45°. 4.C　因为=-1,所以a2-(b+c)2=-bc,即a2-b2-c2-2bc=-bc,所以a2=b2+c2+bc,由余弦定理得cos A==-. 5.B　由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=25+9-2×5×3cos 120°=49,解得AB=7. 6.A　由正弦定理得===7,且△ABC有两解,所以a=7sin A<7,且a>b=7,所以7<a<7,故符合题意的只有A. 7.C　因为acos B-bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(B+A),则2sin Bcos A=0.在△ABC中,sin B≠0,则cos A=0,A=.所以B=π-A-C=π--=. 8.A　向量在平面几何中的应用 思路导引　由数量积的运算律得到·=0,即可得到∠ACB=,再由单位向量及数量积的定义求出∠CAB=,即可判断. 因为·+=0,即(+)·=0,即·=0,所以⊥,即AC⊥BC,则∠ACB=,又表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,所以·=1×1×cos∠CAB=,又∠CAB∈(0,),所以∠CAB=,所以∠CBA=,所以△ABC是等腰直角三角形. 9.AB　A(√)由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=5∶6∶7. B(√)由余弦定理可得cos A===,cos B===,cos C===,所以cos A∶cos B∶cos C=∶∶=25∶19∶7. C(✕)因为a<b<c,所以C为最大角,又因为cos C=>0,所以C为锐角,故△ABC为锐角三角形. D(✕)由题意知,A为最小角,则cos 2A=2cos2A-1=2×()2-1=≠cos C,因为A∈(0,),所以2A∈(0,π),则C≠2A. 10.ACD　A(√)B(✕)=+=+,设=t,则=t+,又B,O,M三点共线,所以可设=s+(1-s)=+(1-s),由平面向量基本定理得解得所以=,即AO=AC,=+. C(√)因为=+,=-+=-+,所以·=(+)·(-+)=-·-+=-·-8+6=-4,所以·=3,又AB=4,AD=3,故cos∠BAD==. D(√)因为=-=-,所以BC=||====. 11.ABC　A(√)由题意知,BC=BD+DC=2+1=3,由正弦定理可得sin∠BAC===,又△ABC为锐角三角形,所以∠BAC=.  B(√)如图,连接OC,在△OBC中,由余弦定理可得cos∠OBC==,又∠OBC∈(0,),所以∠OBC=,在△OBD中,由余弦定理得OD2=3+4-2×2cos=1. C(√)因为OB2+OD2=BD2=4,所以OB⊥OD,所以△BOD为直角三角形. D(✕)△ABC的周长L=3+2sin∠ABC+2sin∠ACB=3+2sin∠ABC+2sin(-∠ABC)=3+2(sin∠ABC+cos∠ABC)=3+6sin(∠ABC+),因为△ABC为锐角三角形,所以所以<∠ABC<,所以<∠ABC+<,所以<sin(∠ABC+)≤1,所以3+3<3+6sin(∠ABC+)≤9. 12.1+　方程x2-5x+6=0的两根为2,3,因为B<A=60°,所以b<a,则b=2,a=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得,9=4+c2-2c,解得c=1+或c=1-(舍去),所以c=1+. 13.35　由题意可得在△CBD中,CB=,从而可求解.由题意可得在△CBD中,CB=≈1.25CD,在△ABC中,∠ACB=∠CBD-∠CAD=23°,则由正弦定理可得=,即≈,解得CD≈35. 14.15　根据条件,利用正弦定理得,即可求解. 第一空:在△ACD中,由正弦定理得=,在△BCD中,由正弦定理得=,又∠ACD=∠BCD=,∠ADC+∠BDC=π,所以sin∠ACD=sin∠BCD,sin∠ADC=sin∠BDC,又BD=,AD=,所以==.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos,即142=AC2+BC2+AC·BC,解得BC=10,AC=6,所以△ABC的 面积为S=AC·BC·sin∠BCA=15. 第二空:又S=AC·CDsin+BC·CDsin,所以CD=.因为=(+),所以=(+2·+)=[62+2×6×10×(-)+102]=19,所以||=,所以=. 15.【解析】 (1)在△ABC中,由(b+c)(sin B-sin C)=(a-c)sin A及正弦定理,得(b+c)(b-c)=(a-c)a, 即b2=a2+c2-ac,由余弦定理得cos B==, 而0<B<π, 所以B=.(6分) (2)cos∠ADC=-,所以∠ADC=,∠BDC=,(9分) 在△BDC中,BC=a=1,B=,∠BDC=, 由正弦定理=, 得CD====.(13分) 16.【解析】 (1)第一步:利用余弦定理求C 由余弦定理得cos C==,(2分) 又0<C<π,∴C=.(3分) 第二步:将C代入已知等式求B ∴cos B=sin C=,∴cos B=,(5分) 又0<B<π,∴B=.(7分) (2)第一步:求A 由(1)得A=π-B-C=.(9分) 第二步:利用正弦定理得出a,c的关系 由正弦定理=,得=,∴a=c.(12分) 第三步:利用三角形面积公式求c ∴△ABC的面积S=acsin B=c2×=3+, 得c=2.(15分) 17.向量在物理中的应用 思路导引　(1)设游船的实际速度为v,由速度合成得v=v1+v2,根据|v1|2=|v|2+求得结果. (2)设到达北岸B点所用时间为t h,根据AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2计算AB长度,得出结果. 【解析】 (1)设游船的实际速度为v, 由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h.(2分) 如图所示为速度合成示意图,由=|v|2+=102+42=116,得|v1|=2 km/h, cos θ=-=-. 所以v1的大小为2 km/h,cos θ的值为-. (6分)  (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设到达北岸B点所用时间为t h,作出向量加法示意图如图所示, AB2=|tv|2=t2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,则AB=2t km,(10分) 在Rt△AA'C中,t|v1|cos30°=1,从而t= h, 因此AB=×2= km, 故游船的实际航程为 km.(15分)  18.【解析】 (1)(i)∵AC=,BC=1,∠BAC=, ∴AB=,sin∠ABC=, ∴∠ABC=,又BP⊥BC,∴∠ABP=,又BP=, ∴S△ABP=AB·BPsin∠ABP=×××=.(5分) (ii)在△ABP中,由余弦定理得PA2=BA2+BP2-2BA·BPcos∠ABP=+3-2×××=, ∴PA=.(9分) (2)∵∠APB=,∴设∠ABC=θ(θ∈(0,)),则∠ABP=-θ,AB=cos θ, 在△ABP中,由正弦定理=,得=,(12分) ∴cos θsin(-θ)=,即cos θsin(-θ)=cos θ(cos θ+sin θ)=(cos 2θ+1)+sin 2θ=, ∴sin 2θ+cos 2θ=sin(2θ+)=-,即sin(2θ+)=-, ∵θ∈(0,),∴2θ+∈(,),∴2θ+=,θ=π,(16分) ∴∠PAB=π--(-)=.(17分) 19.【解析】 (1)第一步:利用三角恒等变换化简f(x) f(x)=sin(ωx+)+2cos(ωx-) =sin ωxcos+cos ωxsin+2cos ωxcos+2sin ωxsin =sin ωx+cos ωx+cos ωx+sin ωx =sin ωx+cos ωx =3sin(ωx+).(2分) 第二步:根据三角函数图象变换规律求出g(x) 因为将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象, 所以g(x)=3sin[ω(x-)+]=3sin(ωx-+).(3分) 第三步:由g(x)的图象关于原点对称结合ω的范围,可求出ω,从而可求出f(x)的解析式 因为g(x)的图象关于原点对称, 所以-+=kπ,k∈Z,得ω=2-6k,k∈Z, 因为0<ω<4,所以ω=2, 所以f(x)=3sin(2x+).(5分) 第四步:根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).(6分) (2)①由f(A)=,然后利用余弦定理结合已知条件可求得答案. 由f(A)=,得3sin(2A+)=,即sin(2A+)=, 因为<2A+<,所以2A+=,得A=.(7分) 由余弦定理得cos A==, 所以b2+c2-a2=bc, 因为a2=bc,所以b2+c2=2bc, 所以==2.(11分) ②在△ABC中,·=-·=-abcos C>0, 则cos C<0, 所以<C<, 因为C=-B,所以<-B<,得0<B<.(13分) 由正弦定理=,得c====2+.(15分) 因为0<B<,所以0<tan B<,所以>, 所以2+>2+=,即c>, 所以c的取值范围为(,+∞).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $