第八单元　空间直线、平面的平行【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八单元　空间直线、平面的平行 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2025长沙一中模拟]若平面α∥平面β,l⊂α,则l与β的位置关系是(　　) A.l与β相交 B.l与β平行 C.l在β内 D.无法判定 2.[2025华中师大一附中高一期中]下列命题中正确的是(　　) A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α B.若直线a∥平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都平行 C.若直线a∥直线b,直线b∥平面α,则直线a∥平面α D.若直线a∥平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点 3.【模块综合】[2025长春二中调研]设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则α∥β是l∥m的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2024无锡一中高一期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH交C1D1,A1B1,AB,CD分别于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 5.[2025绵阳中学高一月考]已知l,m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列结论正确的是(　　) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,α∥β,则m∥β C.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β D.若m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m∥β,n∥α,则m∥n 6.[2025郑州一中、郸城一高等校高一联考]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=7,点M,N,G,H分别是DD1,C1D1,CC1,DC的中点,则下列说法正确的是(　　) A.此长方体的表面积为112 B.A1M与B1H是相交直线 C.A1N与B1G是异面直线 D.直线A1N与平面B1GH相交 7.[2025泰安一中高一月考]已知平面α∥β,点P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=10,则BD=(　　) A.6 B.6或30 C. D.6或 8. [2025牡丹江市第一高级中学模拟]如图,O是圆台上底面的圆心,A,B是圆台下底面圆周上的两个动点,MN是圆台的一条母线,记圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R.若MN=R=2r,MN∥平面OAB,且AB的最小值为6,则该圆台的体积为(　　)  A.π B.15π C.21π D.18π 多项选择题 9.[2025双流中学月考]已知两平面α,β平行,且a⊂α,则下列判断正确的有(　　) A.a与β内所有直线都平行 B.a与β内无数条直线平行 C.a与β内无数条直线异面 D.a与β无公共点 10.[2024南昌二中模拟]在下列底面为平行四边形的四棱锥中,M,S,T,P,Q是四棱锥的顶点或棱的中点(如图),则PQ∥平面MST的有(　　) 填空题 11.[2025哈师大附中高一期中改编]如图,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,水是定量的(体积为V).固定容器底面一边BC于地面上,BC=1,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面结论,其中正确的是(　　) A.水面EFGH所在四边形的面积不是定值 B.没有水的部分始终呈棱柱形 C.棱A1D1一定与平面EFGH平行 D.当容器倾斜如图3所示时,BE·BF=V(定值) 填空题 12.[2025上海市延安中学期中]已知角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,则β=　　　　.  13.[2024绵阳中学模拟]如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,M为线段SA上一点,且AM=2MS,平面MCD与侧棱BS交于点N,则MN=　　　　. 14.[2024牡丹江一中高一期中]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=3,E是BC的中点,F是棱CC1上的点,且CF=CC1,过A1作平面α,使得平面α∥平面AEF,则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面图形的面积为　　　　.  解答题 15.(13分)[2025许昌市高级中学期末改编]如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA1=4. (1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积; (2)若D是A1C1的中点,证明:A1B∥平面B1CD. 16.(15分)[2025信阳高级中学期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,H是B1D1的中点,E,F,G分别是DC,BC,HC的中点.求证: (1)F,G,H,B四点共面; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 17.(15分)[2024莆田四中高一期中]如图,点B,C,D四等分半圆,点M,N分别是PC,PD上的点,将此半圆以PA为母线卷成一个圆锥(无重叠),使得AC∩BD=O,且平面MON∥平面PAB. (1)证明:AB∥MN; (2)若平面MON∩平面OCD=l,证明:MN∥l. 18.(17分)[2024深圳外国语学校高一期中]如图所示,正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=2,AB=,P为侧棱SD上的点,且SP=3PD. (1)若M为SA的中点,求证:SC∥平面BMD; (2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)[2025深圳市红岭中学、东莞中学松山湖学校高一阶段考试]已知一块正三棱台木料ABC-A1B1C1如图所示,点O为△ABC的重心,且AC=3,A1C1=2. (1)要经过点O将木料锯开,使截面平行于平面CAA1C1,在木料表面应该怎样画线,并说明理由; (2)写出一种切割方式,要求过点O,将(1)问中较大的几何体,切割出与较小木料体积相同的木料. 参考答案 1.B　∵α∥β,∴α与β无公共点.∵l⊂α,∴l与β无公共点,∴l∥β. 2.D　A(✕)当直线a与平面α相交于点P时,除了点P外,直线上的无数个点都不在平面α内. B(✕)当直线a∥平面α时,直线a与平面α内的直线平行或异面. C(✕)若直线a∥直线b,直线b∥平面α,则直线a∥平面α,或直线a在平面α内. D(√)当直线a∥平面α时,直线a与平面α无公共点,所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 3.A　由于α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,所以由面面平行的性质定理可得l∥m,所以α∥β是l∥m的充分条件;但由l∥m,α∩γ=l,β∩γ=m,并不能推出α∥β,也有可能α,β相交.综上可知α∥β是l∥m的充分不必要条件. 4.A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形. 5.D　A(✕)若m∥α,n∥α,则m∥n,或m与n相交,或m与n异面. B(✕)若m∥α,α∥β,则m∥β,或m⊂β. C(✕)若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β,或α与β相交. D(√)若m⊂α,n⊂β,α∩β=l,m∥β,n∥α,则m∥l,n∥l,所以m∥n. 6.C　A(✕)此长方体的表面积为4×7×4+4×4×2=144. B(✕)如图,连接MG,MN,则A1B1∥MG,A1B1=MG,所以四边形A1B1GM为平行四边形,所以A1M∥B1G,因为A1M⊂平面A1MN,B1G⊄平面A1MN,所以B1G∥平面A1MN,因为GH∥MN,MN⊂平面A1MN,GH⊄平面A1MN,所以GH∥平面A1MN,又B1G∩GH=G,GH,B1G⊂平面B1GH,所以平面A1MN∥平面B1GH,又A1M⊂平面A1MN,B1H⊂平面B1GH,所以A1M与B1H无公共点. D(✕)因为A1N⊂平面A1MN,所以A1N∥平面B1GH. C(√)因为A1N⊂平面A1B1C1D1,B1G∩平面A1B1C1D1=B1,B1∉A1N,所以A1N与B1G异面. 7.B　分点P在平面α,β的同侧和点P在平面α,β之间两种情况,利用相似三角形的性质求出BD的长.当点P位于平面α,β同侧时,如图1,则=,∴=,∴BD=6;当点P位于平面α,β之间时,如图2,则=,∴=,∴BD=30. 8.C　取圆台下底面圆心O',确定AB取最小值的情况,结合线面平行的性质求出圆台两底面圆半径及高,进而求出圆台体积.如图,取圆台下底面圆心O',连接MO',令MO'∩AB=C,连接ON,OO',OC,显然ON∥O'M,由平面OO'MN∩平面OAB=OC,MN∥平面OAB,MN⊂平面OO'MN,得MN∥OC,则四边形OCMN为平行四边形,OC=MN=2r,CM=ON=r=R=O'C.在△OO'C中,OO'⊥O'C,∠COO'=30°,在圆O'中,当且仅当AB⊥O'M时,AB取最小值6,由3=,解得R=2,因此r=,圆台的高h=OO'=Rcos 30°=3,所以该圆台的体积为V=π(r2+rR+R2)h=π(3+6+12)×3=21π. 9.BCD　可将已知条件结合如图所示的长方体进行分析,设平面A1B1C1D1为α,平面ABCD为β,A1D1=a,则本题的A,B,C选项即可转化为分析直线A1D1与平面ABCD内直线的位置关系. A(✕)直线A1D1与直线AB不平行,而直线AB在平面ABCD内. 10.AB 11.ABC　A(√)水面EFGH是矩形,线段FG的长一定,从图1到图2,再到图3的过程中,线段EF的长逐渐增大,则水面EFGH所在四边形的面积逐渐增大. B(√)依题意,BC∥水面EFGH,而平面BCC1B1∩平面EFGH=FG,BC⊂平面BCC1B1,则BC∥FG,同理BC∥EH,而BC∥AD,BC=FG=EH=AD,ABCD-A1B1C1D1是长方体,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,因此有水的部分的几何体是直棱柱,长方体去掉有水部分的棱柱,没有水的部分始终呈棱柱形( 由棱柱的特征:有两个平面相互平行且是全等的多边形,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,可知没有水的部分始终呈棱柱形). C(√)因为A1D1∥BC∥FG,FG⊂平面EFGH,A1D1⊄平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH,即棱A1D1一定与平面EFGH平行. D(✕)当容器倾斜如图3所示时,有水部分的几何体是直三棱柱,其高为BC=1,体积为V,又S△BEF=BE·BF,V=S△BEF·BC,所以BE·BF==2V. 12.60°或120°　角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,由等角定理可知,β=α或β+α=180°,则β=60°或120°. 13.　线面平行的性质 思路导引　先证明CD∥平面SAB,再根据线面平行的性质证得CD∥MN,则可得AB∥MN,即可得解. 如图,作出过M,D,C三点的截面四边形,因为AB∥CD,AB⊂平面SAB,CD⊄平面SAB,所以CD∥平面SAB,又因为平面CDMN∩平面SAB=MN,CD⊂平面CDMN,所以CD∥MN,所以AB∥MN,所以==,又AB=4,所以MN=. 14.　根据面面平行求截面图形的面积 思路导引　通过作图得到截面,再利用直四棱柱的结构特征,求出截面各条边的长度,最后求得截面面积. 如图,取B1C1的中点为N, 在BB1上取一点M,使得B1M=BB1,连接A1M,MN,A1N. ∵E是BC的中点,∴A1N∥AE,又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,∴A1N∥平面AEF,又∵B1M=BB1,CF=CC1,∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴MN∥平面AEF,又A1N∩MN=N,且A1N,MN⊂平面A1MN,∴平面A1MN∥平面AEF,又∵A1,M,N三点都在直四棱柱表面,∴平面A1MN就是所得截面(关键步骤:找到截面图形).B1M=BB1=1,由勾股定理得MN==,A1M=A1N==,∴△A1MN为等腰三角形.过点A1作底边MN的高,记为A1H,则A1H==,∴=××=. 15.【解析】 (1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA1=4,所以BC=5,(2分) 所以S△ABC=×3×4=6,=4×4=16,=3×4=12,=5×4=20, 所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为6×2+16+12+20=60.(6分) (2)如图,连接BC1交B1C于点F,连接DF, 则F为矩形BCC1B1对角线的交点,BF=C1F.(8分) 又点D为A1C1的中点,所以A1B∥DF.(10分) 因为DF⊂平面B1CD,A1B⊄平面B1CD,所以A1B∥平面B1CD.(13分) 16.【解析】 (1)如图,连接BH. ∵F,G分别是BC,HC的中点, ∴FG为△CBH的中位线, ∴FG∥BH, ∴F,G,H,B四点共面.(6分) (2)由(1)知FG∥BH, ∵FG⊄平面BDD1B1,BH⊂平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1.(9分) ∵E,F分别是DC,BC的中点, ∴EF∥DB, 又EF⊄平面BDD1B1,DB⊂平面BDD1B1, ∴EF∥平面BDD1B1.(13分) ∵EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG, ∴平面EFG∥平面BDD1B1.(15分) 17.【解析】 (1)如图所示,∵B,C,D是半圆的四等分点, ∴===, ∴卷成圆锥后AB=CD,且AB∥CD, 又∵AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB, ∴CD∥平面PAB.(4分) ∵平面MON∥平面PAB,CD⊄平面MON, ∴CD∥平面MON,又∵CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面MON=MN, ∴CD∥MN,又AB∥CD,∴AB∥MN.(8分) (2)由(1)知, MN∥CD,且MN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD, ∴MN∥平面OCD, ∵MN⊂平面MON,且平面MON∩平面OCD=l, ∴MN∥l.(15分) 18.【解析】 　(1)学审题:要证SC∥平面BMD,需在平面BMD内找到与SC平行的直线,利用直线与平面平行的判定定理证明. 如图1,连接BD交AC于点O,连接MO,BM,DM,则O为AC的中点, 当M为SA的中点时,OM∥SC, 又OM⊂平面BMD,SC⊄平面BMD,所以SC∥平面BMD.(7分) (2)在侧棱SC上存在点E,使得BE∥平面PAC,且=2.(8分) 理由如下:如图2,取SD的中点Q,由SP=3PD,得PQ=PD, 过Q作PC的平行线交SC于E,连接BQ,BE,BD,设BD交AC于点O,连接PO. 在△BDQ中,有BQ∥PO, 又PO⊂平面PAC,BQ⊄平面PAC,所以BQ∥平面PAC.(12分) 由=2,得==2. 又QE∥PC,PC⊂平面PAC,QE⊄平面PAC, 所以QE∥平面PAC,BQ∩QE=Q,BQ,QE⊂平面BEQ, 所以平面BEQ∥平面PAC,(15分) 而BE⊂平面BEQ, 所以BE∥平面PAC, 即在侧棱SC上存在点E,使得BE∥平面PAC,此时=2.(17分) 19.【解析】 (1)如图1,在平面ABC内过点O作直线DE,使DE∥AC,分别交棱BA,BC于点D,E, 取棱A1B1,B1C1的中点G,F,连接EF,FG,GD, 则DE,EF,FG,GD就是应画的线.(3分) 下面证明: 因为DE∥AC,DE⊄平面CAA1C1,AC⊂平面CAA1C1, 所以DE∥平面CAA1C1.(4分) 因为点O为△ABC的重心,DE∥AC,所以DA=AB=1=A1G, 又因为DA∥A1G,所以四边形DAA1G为平行四边形,所以DG∥AA1(这道题中容易得到平行四边形的结构特征,因此构造平行四边形是寻找线线平行的常用条件), 又DG⊄平面CAA1C1,AA1⊂平面CAA1C1,所以DG∥平面CAA1C1.(6分) 因为DE∥平面CAA1C1,DG∥平面CAA1C1,DE∩DG=D,DE,DG⊂平面DEFG, 所以平面DEFG∥平面CAA1C1,即所作截面平行于平面CAA1C1.(8分) (2)设棱台的高为h,易知△A1B1C1的面积=×2×2×sin 60°=,且△ABC的面积S△ABC=×3×3×sin 60°=.(10分) 则正三棱台ABC-A1B1C1的体积为=(++)h=h,(12分) 正三棱台B1GF-BDE的体积为=(++)h=h( ).(14分) 所以被截面截得的另一个几何体的体积为h-h=h.(15分)  因为h>h,所以正三棱台B1GF-BDE是切割出的较小木料.  如图2,过点O和A1C1作截面,即连接DA1,EC1, 因为DE=A1C1,所以几何体A1B1C1-DBE为棱柱, 所以=h,所以较大的几何体被截面A1C1ED截得的几何体ADA1-CEC1的体积为h-h=h,满足题意, 因此沿着面A1C1ED截开即可切割出与较小木料体积相同的木料(答案不唯一).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $