第二单元　平面向量基本定理及坐标表示【一周一测能力提升专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第二单元　平面向量基本定理及坐标表示 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),D为BC边的中点,则=(　　) A.(-3,2) B.(-1,3) C.(-3,5) D.(-2,4) 2.设a=(1,0),b=(0,1)为平面向量的一个基底,则不能作为基底的是(　　) A.a+b和a B.4a+2b和a C.2a-b和a-2b D.a-2b和4b-2a 3.已知在平面直角坐标系中,点A(0,0),B(4,0),C(3,2).若(+λ)⊥,则λ=(　　) A.-1 B.- C.- D. 4.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=2,b=(-1,),则a在b方向上的投影向量为(　　) A.(,) B.(-,) C.(,-) D.(-,) 5.在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E为CD上一点,若=,=,=λ+μ,则λ-μ=(　　) A. B. C. D. 6.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量夹角在(0,)变动时,m的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(,) C.(1,) D.(,1)∪(1,) 7.在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2,P是腰AD上的动点,则|2-|的最小值为(　　) A.2 B. C. D. 8.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=3,∠BAC=,点M是边AB的中点,且=3,直线CM与BN相交于点P,则·=(　　) A.-2 B.-3 C.- D.-4 多项选择题 9.已知向量m,n满足:m+n=(1,1),m-n=(3,3),则(　　) A.(m-n)⊥n B.(m-n)∥n C.|m|=2|n| D.<m,n>=180° 10.已知向量a=(,1),b=(cos θ,sin θ),则下列说法正确的是(　　) A.若a⊥b,则tan θ=- B.若θ=,则向量a+b与a-2b的夹角为 C.(,)是与a共线的唯一的单位向量 D.存在θ,使得|a+b|=|a|+|b| 11.【探索新定义】设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中相异的四点,若=λ(λ∈R), =μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下列说法正确的是(　　) A.A,B,C,D四点共线 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上 填空题 12.已知平面向量a=(-1,2),b=(x,-4)的夹角为钝角,则实数x的取值范围为　　　　.  13.【开放创新】在平面直角坐标系中,已知A(-1-a,0),B(-1+a,0),C(-1,2a-3),D(-1,3-2a),a∈R,若点A,B,C,D构成一个正方形,则a的值可以为　　　　.(写出符合条件的一个值即可)  14.【传统文化】《易经》是一部积累筮占之辞的辩证法哲学书,被誉为“诸经之首,大道之源”,如图所示是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是GF的中点,则·=　　　　;点Q是正八边形ABCDEFGH边上的一点,则(-)·的最大值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2. (1)求使点M在第二象限或第三象限的条件; (2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线. 16.(15分)【模块综合】已知向量a=(,sin θ),b=(-,cos θ). (1)若0<θ<π,则非零向量a+b与a-b可能垂直吗?请说明理由; (2)若2a+b与2a-b共线,求+3sin 2θ的值. 17.(15分)如图,在Rt△ABC中,角A为直角,点M是AC边的中点,点P满足=,点Q是BC边上的动点. (1)若点Q是BC边上靠近C的三等分点,设=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若AB=3,AC=2,求·的最小值. 18.(17分)【探索创新】如图,扇形BAC的半径为3,弧长为2π. (1)求扇形BAC的面积; (2)若(1-m)=m(0<m<1),且=+n,求m,n的值; (3)在弧上是否存在点P(不与B,C重合),使得=(1-λ)+2λ,若存在,求λ的值;若不存在,请说出理由. 19.(17分)我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1,e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把实数对(x,y)叫做向量的“广义坐标”,记=(x,y).已知向量a,b的“广义坐标”分别为(1,2),(-2,λ). (1)若a∥b,求实数λ的值; (2)若λ=4,在“广义坐标系”中求a与b的夹角的余弦值; (3)以O为原点,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy',若向量p在平面直角坐标系中的坐标为(-3,),求向量p的“广义坐标”. 参考答案 1.B　∵D为BC边的中点,A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),∴D(-2,4),=(-1,3). 2.D　选项A:因为a+b=(1,1),a=(1,0),所以a+b和a不共线,可作为基底,排除A; 选项B:因为4a+2b=(4,2),a=(1,0),所以4a+2b和a不共线,可作为基底,排除B; 选项C:因为2a-b=(2,-1),a-2b=(1,-2),≠,所以2a-b和a-2b不共线,可作为基底,排除C,故选D. 3.C　由题设知=(3,2),=(4,0),+λ=(3+4λ,2),因为(+λ)⊥,所以(+λ)·=0,得3(3+4λ)+2×2=0,解得λ=-. 4.D　因为b=(-1,),所以|b|==2,又向量a,b的夹角为,且|a|=2,所以a·b=|a|·|b|cos =2×2×=2,所以a在b方向上的投影向量为·b=·(-1,)=(-,). 5.C　如图,由题意知,=+=+,又=++=-++=-,则=+(-)=+=λ+μ⇒⇒λ-μ=. 6.D　因为<a,b>的范围为(0,),所以<cos<a,b><1( cos),又cos<a,b>==,所以<<1,解得<m<1或1<m<. 7.B　平面向量线性运算的坐标表示+向量模的坐标表示 思路导引　以A为原点,射线AB为x轴正半轴建立平面直角坐标系,利用坐标运算表示2-,进而得|2-|,再根据二次函数的性质可得结果.  如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,∵AB=2,BC=CD=1,∴AE=,∴cos∠EAD==,故∠EAD=60°.以A为原点,射线AB为x轴正半轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),C(,),设P(a,a),其中0≤a≤,则=(2-a,-a),=(-a,-a),∴2-=(-a,--a),∴|2-|==,∴当a=时,|2-|取最小值. 8.C　因为B,P,N三点共线,且=3,点M是边AB的中点,所以存在实数x满足=x+(1-x)=x+=2x+,又因为M,P,C三点共线,所以2x+=1⇒x=,所以=+.而=-,且·=||||cos=4×3×=6,所以·=(+)·(-)=·-+-·=·-+=×6-×16+×9=-. 9.BCD　因为m+n=(1,1),m-n=(3,3),所以m=(2,2),n=(-1,-1). A(✕)因为(m-n)·n=3×(-1)+3×(-1)=-6≠0,所以m-n与n不垂直. B(√)因为m-n=(3,3),n=(-1,-1),所以m-n=-3n,所以(m-n)∥n. C(√)因为m=(2,2),n=(-1,-1),所以|m|==2,|n|==,所以|m|=2|n|. D(√)因为m=(2,2),n=(-1,-1),所以m=-2n,所以<m,n>=180°. 10.AD　 11.AD　平面向量线性运算的坐标表示+向量新定义 思路导引　根据题设条件可判断出A1,A2,A3,A4四点共线,从而判断出选项A.由题意可设A(0,0),B(1,0),C(c,0),D(d,0),结合题设条件可得+=2,然后对各选项一一判断即可. A(√)∵=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),∴∥,∥,∴A1,A2,A3,A4四点共线.∵平面上的点C,D调和分割点A,B,∴A,B,C,D四点共线. B(✕)由题意可设A(0,0),B(1,0),C(c,0),D(d,0),则(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),∴λ=c,μ=d,又∵+=2,∴+=2.若D是线段AB的中点,则d=,代入到+=2,c不存在. C(✕)若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,由+=2,可得c=d=1,此时C,D重合,与题意不符. D(√)若C,D同时在线段AB的延长线上,则c>1,d>1,∴+<2,与+=2矛盾,故C,D不可能同时在线段AB的延长线上. 12.(-8,2)∪(2,+∞)　由题可得a·b<0且a,b不共线( 注意排除共线的情况),则∴x>-8且x≠2. 13.1(或3,答案不唯一)　由A(-1-a,0),B(-1+a,0),C(-1,2a-3),D(-1,3-2a),得=(2a,0),=(0,4a-6),=(a,3-2a),=(-a,2a-3),则①·=0,所以⊥,即AB⊥CD;②=-,所以∥,即AD∥BC.因为点A,B,C,D构成一个正方形,正方形的对角线只能是AB,CD,则||=||,即|2a|=|6-4a|,解得a=1或3.当a=1时,A(-2,0),B(0,0),C(-1,-1),D(-1,1),此时线段AB,CD互相垂直且平分,AB=CD,所以四边形ACBD是正方形;当a=3时,A(-4,0),B(2,0),C(-1,3),D(-1,-3),此时线段AB,CD互相垂直且平分,AB=CD,所以四边形ACBD是正方形.所以a=1或3. 第一空:AB=2,以点A为坐标原点,分别以AB,AF所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,如图1所示.正八边形的内角和为(8-2)×180°=1 080°,则∠HAB=×1 080°=135°,AH=2,所以H(-2,2)(由-2sin 45°=2可得),A(0,0),B(2,0),G(-2,2+2),F(0,4+2),P(-1,3+2),所以=(-1,3+2),=(2,0),所以·=-1×2+0×(3+2)=-2. 第二空:延长AB,与DC的延长线交于点M,如图2.根据正八边形的特征知,AM⊥DM,AM=2+2,设与的夹角为θ,则0°≤θ≤135°,所以(-)·=·=||||cos θ=2||·cos θ,由图可知||cos θ的最大值为AM=2+2,所以(-)·的最大值为2×(2+2)=8+4. 15.【解析】 (1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).(2分) 当点M在第二象限或第三象限时,有 ∴所求的条件为t2<0且t1+2t2≠0. (6分) (2)方法一　当t1=1时,由(1),知=(4t2,4t2+2).(8分) ∵=(4,4), =-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,(11分) ∴不论t2为何实数,与共线,即A,B,M三点共线.(13分) 方法二　当t1=1时,=+t2, ∴-=t2, ∴=t2,(11分) ∴不论t2为何实数,与共线,即A,B,M三点共线.(13分) 16.【解析】 (1)向量a+b与a-b可能垂直.(1分) 理由如下: 向量a=(,sin θ),b=(-,cos θ), 若向量a+b与a-b垂直,则(a+b)·(a-b)=0,(3分) 即a2=b2,(4分) 则sin2θ+=cos2θ+, 所以tan2θ=1,所以tan θ=±1.(5分) 又因为0<θ<π,且a+b为非零向量, 两向量是非零向量,注意到a+b=(0,sin θ+cos θ),所以θ≠ 所以θ=. 所以当θ=时,向量a+b与a-b垂直.(7分) (2)依题意,得2a+b=(,2sin θ+cos θ),2a-b=(,2sin θ-cos θ).(9分) 因为2a+b与2a-b共线, 所以(2sin θ-cos θ)=(2sin θ+cos θ),(11分)  向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以利用向量共线求参数.当两个向量的横、纵坐标均为非零值时,可以利用坐标对应成比例来求解,否则,化为整式进行求解,可避开分类讨论 整理得tan θ=-1.(12分) 所以+3sin 2θ=+=+=+=+=5-3=2.(15分) 17.【解析】 (1)因为=,所以=, 若点Q是BC边上靠近C的三等分点,则=,即=, 所以=-=-=(-)+=-,(5分) 又=λ+μ,,不共线,所以所以λ+μ=( 任一向量用同一基底表示的唯一性).(7分) (2)如图,以A点为坐标原点建立平面直角坐标系,则B(3,0),C(0,2),P(2,0),M(0,1),=(3,-2),=(0,1),=(-2,2),(9分) 因为Q在CB上,所以设=k=(3k,-2k)(k∈[0,1]), 所以=+=(0,1)+(3k,-2k)=(3k,-2k+1), =+=(-2,2)+(3k,-2k)=(3k-2,2-2k),(11分) 所以·=3k(3k-2)+(-2k+1)(2-2k)=13k2-12k+2=13(k-)2-( 将向量数量积的最值问题转化为二次函数的最值问题), 因为k∈[0,1],所以当k=时,=-.(15分) 18.扇形面积+平面向量基本定理 思路导引　(1)利用扇形的面积公式,即可得扇形BAC的面积. (2)若(1-m)=m(0<m<1),化简得=m,观察已知向量等式=+n,故需把向量等式=m转化为以点A为起点的向量等式,比较两向量等式,即可得m,n的方程组,解方程组,得m,n的值. (3)假设在弧上存在点P(不与B,C重合),使得=(1-λ)+2λ.通过建立平面直角坐标系,求出点与向量的坐标,即可得λ的方程,解方程得λ的值,注意λ的解是否符合题意,即可下结论. 【解析】 (1)由题意可得,扇形BAC的面积S=×3×2π=3π.(3分) (2)因为(1-m)=m(0<m<1),所以=m,(4分) 所以-=m(-),所以=m+(1-m),(6分) 因为=+n,所以(8分) 解得m=,n=.(9分) (3)因为扇形BAC的半径为3,弧长为2π,所以∠BAC=.(10分) 假设在弧上存在点P(不与B,C重合),使得=(1-λ)·+2λ. 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,和AB垂直,且垂足为A的直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则B(3,0),C(-,),(11分) 则=(1-λ)+2λ=(1-λ)(3,0)+2λ(-,)=(3-6λ,3λ),故P(3-6λ,3λ). 设P(3cos θ,3sin θ),θ∈(0,),所以(3cos θ,3sin θ)=(3-6λ,3λ), 所以即(12分) 所以cos2θ+sin2θ=(1-2λ)2+(λ)2=7λ2-4λ+1=1, 即7λ2-4λ=0,解得λ=0或λ=.(13分) 因为θ∈(0,),所以则λ∈(0,],(15分) 因为=<=,所以λ=符合题意, 故存在λ=,使得=(1-λ)+2λ.(17分) 19.向量共线+向量的坐标运算+向量的夹角 思路导引　(1)把向量a,b分别用e1,e2表示,再利用a∥b,即可得λ的值. (2)欲求cos<a,b>,利用向量的夹角公式,只需求出|a|,|b|,a·b,利用λ=4,得b=-2e1+4e2,再由a=e1+2e2,利用向量的平方法求出|a|,|b|,再利用向量的数量积公式求出a·b,即可得结果. (3)设p=xe1+ye2,欲求向量p的“广义坐标”,即求(x,y),即寻找关于x,y的方程组,把平面直角坐标系中p的坐标(-3,),以及e1,e2在平面直角坐标系中的坐标代入p=xe1+ye2,即可列出x,y的方程组,从而得结果. 【解析】 (1)由题意得a=e1+2e2,b=-2e1+λe2,(2分) ∵a∥b,∴λ=2×(-2)=-4.(4分) (2)由λ=4得b=(-2,4),∴b=-2e1+4e2, ∵|e1|=|e2|=1,∴e1·e2=|e1|·|e2|cos=,(6分) ∴|b|===2,(7分) ∵a=e1+2e2,∴|a|==,(8分) ∴a·b=(e1+2e2)·(-2e1+4e2)=-2+8=-2+8=6,(9分) ∴cos<a,b>===,(10分) ∴在“广义坐标系”中a与b的夹角的余弦值为.(11分) (3)在平面直角坐标系中,e1=(1,0),e2=(,), 设p=xe1+ye2,∵向量p在平面直角坐标系中的坐标为(-3,), ∴x(1,0)+y(,)=(-3,),(14分) ∴(16分) 解得 故向量p的“广义坐标”为(-4,2).(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $