第八单元　空间直线、平面的平行【一周一测能力提升专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八单元　空间直线、平面的平行 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则下列说法正确的是(　　) A.α内存在一条直线与l平行 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内所有直线与l异面 D.α内所有直线与l相交 2.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊂α,α∩β=n,则“m∥β”是“m∥n”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图,已知空间几何体A1B1C1-ABC是三棱台,在点A1,B1,C1,A,B,C中取3个点确定平面α,若平面α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是(　　)  A.A,B1,C B.A1,B,C1 C.A,B,C1 D.A,B1,C1 4.下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,D,E,F为正方体的三个顶点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是 (　　) 多项选择题 5.如图,在三棱锥D-ABC中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,以下与直线MN平行的是(　　) A.直线CD B.平面ABD C.平面ACD D.平面BCD 6.如图,在四棱锥P-ABCD中,E为PD的中点,F,N分别为CE,DE的中点,点G在线段PB上,且PG=λGB,若平面GFN∥平面ABCD,则实数λ的值为(　　) A.2 B. C.3 D.4 7.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且AB>CD,则(　　) A.不存在平行四边形截面 B.存在唯一的平行四边形截面 C.存在两个平行四边形截面 D.存在无穷多个平行四边形截面 8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的截面与线段AC交于点D,与线段BC交于点E(D,E都不与C重合),若该截面将三棱柱分成体积之比为2∶1的两部分,则=(　　) A. B. C. D. 多项选择题 9.已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列推理不正确的是(　　) A.若α∩β=a,b⊂α,则a∥b B.若α∩β=a,a∥b,则b∥α,且b∥β  C.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b D.若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β 10.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C∈α,点B,D∈β,且A,B,C,D∉l,点M,N分别是线段AB,CD的中点,则(　　) A.当直线AC与BD相交时,交点有可能在直线l外 B.当直线AB与CD异面时,MN不可能与l平行 C.当A,B,C,D四点共面且AC∥l时,BD∥l D.当M,N两点重合时,直线AC与l不可能相交 11.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,F为侧面AA1D1D内一动点,满足B1F∥平面BC1M,则(　　) A.三棱锥A-A1BC的外接球表面积为27π B.三棱锥F-BC1M的体积是定值 C.动点F的轨迹是一条圆弧 D.动点F轨迹的长度为 填空题 12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E,F,G分别是PD,AC,PA的中点,平面PAB∩平面EFG=l,则直线EF与直线l的位置关系是　　　　.  13.如图,在过点A的三条不共面的射线上,AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2,则△EFG与△BCD的面积之比为　　　　.  14.【数学文化】在《九章算术》中,底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图,三棱柱ABC-A1B1C1为一“堑堵”,P是棱BB1的中点,AC=BC=CC1=2,则该“堑堵”的外接球的体积与该“堑堵”的体积比为　　　　;在过点P且与直线AC1平行的截面中,当截面图形为等腰梯形时,该截面图形的周长为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  解答题 15.(13分)如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF. (1)证明:平面ADE∥平面BCF; (2)若G是棱BC的中点,证明:AE∥FG. 16.(15分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,点M,N,Q分别为PC,CD,AB的中点. (1)求证:平面MNQ∥平面PAD; (2)在棱PA上确定一点S,使NS∥平面PBC,并说明理由. 17.(15分)如图,已知圆锥OP的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面圆直径,AB=PO=2,点C是底面圆周上异于A,B的一点,D是PB的中点,空间中一点Q满足AP∥CQ. (1)证明:OD∥平面PQC; (2)设球M与圆锥的侧面和底面均相切,求球M的半径; (3)证明:“PQ∥平面ABC”是“AP=CQ”的充要条件. 18.(17分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点. (1)求证:E,F,B,D四点共面; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB; (3)画出平面BNF与正方体侧面的交线(不必说明). 19.(17分)如图所示,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2,E,F分别为A'B',B'C'的中点,点G在棱BB'上,且满足B'G=λB'B. (1)若λ=,证明:EG∥平面D'AC; (2)若点M在线段BD上,且满足D'M∥平面EFG,当λ∈[,1]时,求D'M长度的取值范围. 参考答案 1.B　A(✕)B(√)若α内存在一条直线与l平行,则由l⊄α和线面平行的判定定理可知l∥α,与已知矛盾,故α内不存在直线与l平行. C(✕)如图,记l∩α=A,当α内直线a过点A时,l与a相交. D(✕)当α内直线b不过点A时,l与b异面. 2.C　因为m∥β,m⊂α,α∩β=n,所以m∥n,所以充分性成立;因为m∥n,m⊂α,α∩β=n,所以m⊄β,且n⊂β,所以m∥β,所以必要性成立.所以“m∥β”是“m∥n”的充要条件. 3.C　由空间几何体A1B1C1-ABC是三棱台,可得平面ABC∥平面A1B1C1,当平面ABC1为平面α,平面α∩平面A1B1C1=m时,因为平面α∩平面ABC=AB,所以由面面平行的性质定理可知m∥AB,所以选项C符合要求. 4.A　A中,易证AB∥DE,BC∥DF,所以AB∥平面DEF,BC∥平面DEF.又AB∩BC=B,所以平面ABC∥平面DEF. 5.B　线面平行 思路导引　取CD的中点E,由M,N分别是△ACD和△BCD的重心,证得MN∥AB,结合CD与AB不平行,可判定A错误;利用线面平行的判定定理,证得MN∥平面ABD,可判定B正确;结合M∈平面ACD,M∉平面BCD和N∈平面BCD,N∉平面ACD,可判定C,D错误. 如图所示,取CD的中点E,连接AE,BE,由M,N分别是△ACD和△BCD的重心,可得=,=(重心到顶点的距离等于重心到对边中点的距离的2倍),则=,=,即==,所以MN∥AB. A(✕)由CD与AB不平行,得CD与MN不平行; B(√)由于MN∥AB,且MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以MN∥平面ABD; C(✕)因为M∈平面ACD,N∉平面ACD,所以MN与平面ACD不平行; D(✕)因为N∈平面BCD,M∉平面BCD,所以MN与平面BCD不平行. 6.C　连接BD,因为N为DE的中点,E为PD的中点,所以PN=PD.因为平面GFN∥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,平面PBD∩平面GFN=GN,所以GN∥BD,则==3,即PG=3GB,所以λ=3. 7.D　如图,过CD的截面交平面PAB于MN,因为AB∥CD,AB⊄平面CDMN,CD⊂平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.因为AB∥CD,且AB>CD,则存在MN∥AB,NM=CD,所以MNCD为平行四边形.同时在四棱锥P-MNCD中,作底面MNCD的平行平面截四棱锥P-MNCD的截面都是平行四边形,所以存在无穷多个平行四边形截面,即四棱锥P-ABCD中存在无穷多个平行四边形截面. 8.C　在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面A1B1C1∥平面ABC,又因为平面A1B1ED∩平面A1B1C1=A1B1,平面A1B1ED∩平面ABC=ED,所以A1B1∥ED,显然A1B1C1-DEC为三棱台.设S△ABC==S,=k(0<k<1),三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则S△CDE=k2S△ABC=k2S,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为Sh,三棱台A1B1C1-DEC的体积为(S++k2S)h=Sh(1+k+k2).由题意可知三棱台A1B1C1-DEC的体积占,则Sh=Sh(1+k+k2),得k2+k-1=0,得k=,因为0<k<1,所以=k=. 9.ABD 10.BCD　如图,连接AC,BD,MN,由点A,C∈α,点B,D∈β,得AC⊂α,BD⊂β,由A,B,C,D∉l,得AC⊄β,BD⊄α. A(✕)令AC∩BD=P,即有P∈AC⊂α,P∈BD⊂β,因此P∈α∩β=l. B(√)当AB,CD是异面直线时,假设MN∥l,显然MN⊄β,则MN∥平面β,连接BC,取BC的中点H,连接MH,NH,因为M,N分别为AB,CD的中点,所以NH∥BD,而NH⊄β,即有NH∥β,又NH∩MN=N,于是平面MNH∥平面β,同理平面MHN∥平面α,因此平面α∥平面β,与已知矛盾,即假设不成立,所以MN不可能与l平行. C(√)由A,B,C,D四点共面且AC∥l,得AC∥β,平面ABDC∩平面β=BD,因此BD∥AC∥l. D(√)由M,N两点重合,得AC∥BD,则AC∥β,而AC⊂α,α∩β=l,因此AC∥l,直线AC与直线l不可能相交. 11.ABD　A(√)由题意可知,三棱锥A-A1BC的外接球即为正方体的外接球,可知正方体外接球的直径为正方体的体对角线,设正方体外接球的半径为R,则2R==3,即R=,所以三棱锥A-A1BC的外接球表面积为4πR2=4π()2=27π. B(√)因为B1F∥平面BC1M,所以点F到平面BC1M的距离为定值,又△BC1M的面积为定值,所以三棱锥F-BC1M的体积是定值. C(✕)取AA1,A1D1的中点分别为H,N,连接HB1,NB1,HN,HM,如图所示,因为HM∥B1C1且HM=B1C1,所以四边形HMC1B1为平行四边形,所以HB1∥MC1,连接AD1,同理可得AD1∥BC1,又HN∥AD1,所以HN∥BC1(基本事实4),又因为HB1⊂平面HNB1,HN⊂平面HNB1,且HB1∩HN=H,MC1⊂平面BMC1,BC1⊂平面BMC1,且MC1∩BC1=C1,所以平面HNB1∥平面BMC1,又B1F∥平面BC1M,所以B1F⊂平面HNB1,又F为侧面AA1D1D内一动点,所以点F的轨迹为线段HN. D(√)由C可知,点F的轨迹为线段HN,则HN=AD1==. 12.平行　如图,连接BD,由底面ABCD是平行四边形,得F是BD的中点.而E是PD的中点,则EF∥PB,又EF⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,则EF∥平面PAB,而平面PAB∩平面EFG=l,EF⊂平面EFG,所以EF∥l. 13.9∶25(或)　等角定理的应用 解题路线　根据条件AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2→AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD=3∶5→EF∥BC,FG∥CD→=== =. 由题意,AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=3∶2,故AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD=3∶5,则EF∥BC,FG∥CD,故 △AEF∽△ABC,△AFG∽△ACD,则===.由EF∥BC,FG∥CD,根据等角定理得∠EFG=∠BCD,故===. 14.　第一空:把原三棱柱补成正方体,则正方体的体对角线为其外接球的一条直径,求出球的半径,再根据球的体积公式与三棱柱的体积公式,即可求出它们的体积之比.如图1,将三棱柱ABC-A1B1C1补成正方体ACBQ-A1C1B1Q1,则外接球的半径R==,则外接球的体积为πR3=π×=4π.三棱柱ABC-A1B1C1的体积为×23=4,所以所求的体积比为4π∶4=π∶1. 第二空:如图2,分别取AA1,A1C1,B1C1的中点E,F,G,连接FG,EP,EF,PG.因为F,G分别为A1C1,B1C1的中点,所以FG∥A1B1且FG=A1B1=.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1且AA1=BB1,因为E,P分别为AA1,BB1的中点,所以A1E∥B1P且A1E=B1P,所以四边形A1B1PE为平行四边形,所以PE∥A1B1且PE=A1B1,所以FG∥PE,且FG=PE,故P,E,F,G四点共面.因为E,F分别为AA1,A1C1的中点,所以EF∥AC1.又EF⊂平面PEFG,AC1⊄平面PEFG,所以AC1∥平面PEFG.因为A1C1=B1C1且F,G分别为A1C1,B1C1的中点,所以A1F=B1G,则EF===PG=,所以四边形PEFG为符合要求的等腰梯形.当E不是AA1的中点时,PE不平行于平面A1B1C1,则四边形PEFG不是等腰梯形,故等腰梯形有且仅有一个.在等腰梯形PEFG中,FG=EF=PG=,EP=2,所以等腰梯形PEFG的周长为3+2=5. 15.【解析】 (1)要证平面ADE∥平面BCF,只需证平面BCF内有两条相交直线平行于平面ADE. 由▱ABCD,得BC∥AD,而AD⊂平面ADE,BC⊄平面ADE,则BC∥平面ADE.(2分) 由DE∥CF,CF⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,得CF∥平面ADE.(4分) 又BC∩CF=C,BC,CF⊂平面BCF,所以平面ADE∥平面BCF.(6分) (2)如图,连接AG,延长EF,AG与DC的延长线分别交于点O1,O2, 由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,(9分) 由BC∥AD,G是棱BC的中点,得CO2=CD,(11分) 因此点O1,O2重合,记为O,显然平面AOE∩平面AED=AE,平面AOE∩平面BCF=FG, 由(1)知,平面ADE∥平面BCF,所以AE∥FG.(13分) 利用面面平行的性质,可以实现面面平行与线线平行的转化 16.【解析】 (1)在△PCD中,由M,N分别为PC,DC的中点,可得MN∥PD.(1分) 在平行四边形ABCD中,由Q,N分别为AB,CD的中点,可得NQ∥AD.(2分) 因为MN⊄平面PAD,NQ⊄平面PAD,且PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以MN∥平面PAD,NQ∥平面PAD.(5分) 又因为MN∩NQ=N且MN,NQ⊂平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面PAD.(7分) (2)当S为棱PA的中点时,NS∥平面PBC.(8分) 取PB的中点E,连接SE,EC,如图所示. 在△PAB中,因为S,E分别为PA,PB的中点,所以SE∥AB且SE=AB. 又因为N为CD的中点, 所以CN∥AB且CN=AB.(10分) 所以SE∥CN且SE=CN,所以四边形SECN为平行四边形,所以SN∥CE.(13分) 因为SN⊄平面PBC,CE⊂平面PBC,所以SN∥平面PBC.(15分) 17.【解析】 (1)依题意,O是AB的中点,而D是PB的中点,则OD∥PA,(1分) 而AP∥CQ,因此OD∥CQ, 而CQ⊂平面PQC,OD⊄平面PQC, 所以OD∥平面PQC.(4分) (2)由球M与圆锥的侧面和底面均相切,得圆锥轴截面等腰三角形PAB的内切圆是球M的截面大圆, 圆锥PO的母线PA=PB==,(5分) 设球M的半径为r, 则由S△PAB=(PA+PB+AB)·r=AB·PO, 得r==, 所以球M的半径是.(8分) (3)由AP∥CQ,得点A,P,Q,C四点共面,平面APQC∩平面ABC=AC, 由PQ∥平面ABC,AC⊂平面ABC,得PQ∥AC, 因此四边形APQC是平行四边形,则AP=CQ. 反之,由AP=CQ,AP∥CQ,得四边形APQC是平行四边形,则PQ∥AC, 而AC⊂平面ABC,PQ⊄平面ABC,因此PQ∥平面ABC. 所以“PQ∥平面ABC”是“AP=CQ”的充要条件.(15分) 18.【解析】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,如图1,由F,E分别是C1D1,B1C1的中点,得EF∥B1D1.(1分) 由四边形BDD1B1为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面, 得四边形BDD1B1是矩形,则BD∥B1D1,因此EF∥BD, 所以E,F,B,D四点共面.(4分) (2)连接NE,BE,如图1, 由M,N分别是A1B1,A1D1的中点,得MN∥B1D1∥EF, 又MN⊄平面EFDB,EF⊂平面EFDB,所以MN∥平面EFDB.(6分) 而NE∥A1B1∥AB,且NE=A1B1=AB,则四边形NEBA为平行四边形,则AN∥BE, 又AN⊄平面EFDB,BE⊂平面EFDB,因此AN∥平面EFDB.(8分) 又AN∩NM=N,AN,NM⊂平面AMN,所以平面AMN∥平面EFDB.(10分) (3)连接AC,过B作直线l∥AC交DA,DC的延长线分别于G,H, 连接NG,FH分别交A1A,C1C于点I,J,连接IB,JB.(12分) 由NF∥AC,得NF∥l, 又直线l⊂平面BNF,所以G,H∈平面BNF,I,J∈平面BNF, 因此五边形BJFNI是平面BNF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面,如图2, 所以NI,BI,BJ,FJ是平面BNF与正方体侧面的交线.(17分) 19.线面平行的判定定理和性质定理 思路导引　(1)连接A'B,依题意可得G为BB'的中点,从而得到EG∥A'B,再由正方体的性质得到A'B∥D'C,从而得到EG∥D'C,根据线面平行的判定定理即可得证; (2)分别求出λ=和λ=1时点M的位置,进而求出D'M的长度,即可得到D'M的取值范围. 【解析】 (1)如图1,连接A'B, 因为E为A'B'的中点,当λ=时,B'G=B'B, 所以G为BB'的中点,所以EG∥A'B.(2分) 因为A'D'∥BC且A'D'=BC,所以四边形A'D'CB为平行四边形, 所以A'B∥D'C,故EG∥D'C.(5分) 又EG⊄平面D'AC,D'C⊂平面D'AC,所以EG∥平面D'AC.(7分)  (2)如图2,当λ=时,G为BB'的中点,连接B'D'交EF于点 H,连接HG,A'C',设A'C'交B'D'于点O1,取BD的中点O2,连接BO1,D'O2. 因为E,F分别为A'B',B'C'的中点,所以EF∥A'C', 则H为B'O1的中点,所以HG∥BO1, 又BO2∥D'O1且BO2=D'O1,所以O2BO1D'为平行四边形, 所以BO1∥D'O2,故GH∥D'O2, 又D'M∥平面EFG,平面D'DBB'∩平面EFG=GH,D'M⊂平面D'DBB', 所以D'M∥GH,所以M和O2重合, 利用线面平行的性质,可以实现线线平行的转化 又BD==2,所以此时D'M==.(11分)  如图3,当λ=1时,G与B点重合,在DB上取点M使得DM=DB,连接B'D'交EF于点H,连接HG,A'C',设A'C'交B'D'于点O1. 由前述说明可知H为B'O1的中点,则D'H=D'B', 又BM=DB,所以D'H=BM,又D'B'∥BD, 所以四边形D'HBM为平行四边形,所以D'M∥HB.(13分) 又HB⊂平面EFG,D'M⊄平面EFG,所以D'M∥平面EFG, 此时D'M==.(15分) 综上可得,当λ∈[,1]时,D'M长度的取值范围为[,].(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $