精品解析：江苏省扬州市邗江区公道中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 2025.11 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合常见数集的表示方法，逐项判断，即可求解. 【详解】因为表示整数集，表示实数集，表示有理数集，表示自然数集， 所以，，，，所以选项A错误. 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不必要也不充分 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若，则，此时“”不成立，故充分性不成立； “”可以推出“”，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】由两边除以得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数解析式，由函数有意义的条件，求函数定义域. 【详解】函数，则， 有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 7. 已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑和两种情况，解不等式得到答案. 【详解】当时，，. 当时，，即，解得，故； 当时，，即，解得或，故. 综上所述：. 故选：B. 8. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出分段函数的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 则的最小值为， 由题意得，，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同一函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 所以与是同一函数，A选项正确. B选项，的定义域是， 的定义域是，所以不是同一函数，B选项错误. C选项，的值域是， 的值域是，所以不是同一函数，C选项错误. D选项，、的定义域、对应关系、值域都相同， 所以是同一函数，D选项正确. 故选：AD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B由不等式的性质判断；C由基本不等式判断；D利用判断. 【详解】A选项，当时，可知A错误； B选项，由不等式的性质可知，B正确； C选项，因，则由基本不等式可知，，则，故C正确； D选项，因，则，等号成立时， 因，则，等号成立时，故D正确. 故选：BCD 11. 符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是R，值域为 B. 方程有无数个解 C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数. 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断. 【详解】对于选项A：函数的定义域是，但，其值域为，故选项A正确； 对于选项B：，可得，则，，都是方程的解，故选项B正确； 对于选项C：函数的定义域是，而，如，， 故函数不是奇函数，故选项C不正确； 对于选项D：由选项B可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故选项D不正确， 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解函数的定义以及，因为， 其值域为，，可知解集是，，， 可判断不是奇函数，由，，可知不是增函数. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出，即可得的值. 【详解】由函数，知. 所以，. 故答案为： 13. 函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数、一次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】设， 当即时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 又在R上为增函数，所以， 即，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两个函数的值域，再利用集合之间的包含关系求参. 【详解】在上的值域为， 在上的值域为， 由题意得，，则，得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 计算. （1）； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算可得； （2）根据对数函数的运算性质计算可得. （3）根据指数与对数的关系得到，，再由换底公式及对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以，， 则， ， 所以. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解； （2）先由得出，再分和两种情况列式计算求解. 【小问1详解】 由，解得：，所以， 当时，，则； 【小问2详解】 因为，所以，且 当时，，解得； 当时，要满足题意需，解得：， 综上：实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）在（2）的条件下，解不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据、求出解析式，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义证明； （3）根据单调性求解不等式. 【小问1详解】 因函数是定义在上的奇函数，则，即， 又因，得，故， 检验，，故为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，函数在区间单调递增， 所以，得， 故不等式的解集为. 18. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】（1） （2）芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为240万元 【解析】 【分析】（1）利用已知函数模型，结合已知条件分段讨论得出的解析式； （2）利用的解析式，分段讨论不同产量范围的利润最大值，从而得出最大利润． 【小问1详解】 建设成本为万元，售价为每枚元，物料及人工等成本与产量（万枚）关系为：， 当时，， 当时，， 当时，， 的函数解析式为． 【小问2详解】 ， 当时，单调递增，当时取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，抛物线开口向下，对称轴为， 故在上单调递增， 在处取得最大值，最大值为（万元）； 当时，，，当且仅当， 即时取等号，即（万元）， 当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元． 19. 设二次函数． （1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； （2）若，，解不等式（结果用含字母的式子表示）； （3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 【答案】（1）、 （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用二次函数的对称性可求出的值，由此可得出函数的解析式，再利用函数零点的概念求解即可； （2）由可得，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）分析出函数在区间上单调递减，可得出，两式作差可得出，代入等式组并化简可知、是关于的一元二次方程在上两个不等实根，结合二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，所以且，解得， 该函数的对称轴方程为，解得，所以， 令，解得， 故函数的零点为、. 【小问2详解】 由，则， 所以， 因为是二次函数，所以， 当时，，解原不等式得， 当时，，解原不等式得或， 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，在区间上单调递减， 由于，则函数在区间上单调递减， 又因为在区间上的值域也为， 所以，可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 将代入得， 所以、是关于的一元二次方程在上两个不等实根. 所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 2025.11 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不必要也不充分 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（ ） A. 函数的定义域是R，值域为 B. 方程有无数个解 C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则_____. 13. 函数是定义在上的增函数，则的取值范围是______________. 14. 已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 计算. （1）； （2）； （3）已知，求的值. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）在（2）的条件下，解不等式. 18. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步．根据国际半导体产业协会（）的数据，在截至年的4年里，中国计划建设家大型半导体工厂．某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出． （1）已知年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 19. 设二次函数． （1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； （2）若，，解不等式（结果用含字母的式子表示）； （3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $