3.3 探索与表达规律 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

3.3 探索与表达规律 一．选择题 1．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，…，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 2．按一定规律排列的单项式：x，﹣2x3，4x5，﹣8x7，16x9，⋯，第n个单项式是（　　） A．﹣2n﹣1x2n B．（﹣2）n﹣1x2n﹣1 C．（﹣2）n+1x D．﹣2nx2n+1 3．用圆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个圆，第②个图案中有7个圆，第③个图案中有9个圆，…，按此规律，第12个图案中圆的个数是（　　） A．23 B．25 C．27 D．29 4．如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点A2024与A1A的中点的距离是（　　） A．12﹣3 B．9﹣3 C．12﹣3 D．9﹣3 5．如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　） A．49根 B．50根 C．51根 D．60根 6．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2025次操作后得到的是（　　） A．11 B．5 C．﹣1 D．﹣7 7．如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，则图形中含有a个三角形，需要火柴棍的根数为（　　） A．2a﹣1 B．2a C．2a+1 D．2a+2 8．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；…． 以此类推，则a2025的值为（　　） A．26 B．65 C．122 D．123 9．把一张纸剪成5块，从所得纸片中取一块，把此块再剪成5块，然后从这5块中取出一块，把此块又剪成5块，这样类似进行n次后（n是正整数），共得纸片的总块数是（　　） A．5n+4 B．5n+5 C．4n+1 D．4n+4 10．如图，李明用棋子摆出一组形如小彩旗的图形，按照这种方法摆下去，摆第100个图形时需要棋子的枚数是（　　） A．297 B．299 C．301 D．303 二．填空题 11．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n＝　 　 ． 12．已知现有2m+1个连续的整数，从小到大排列它们分别是﹣m，﹣（m﹣1），…，﹣2，﹣1，0，1，2，…，m﹣1，m．现要从中取出2006个数，且任意两个数的差都不等于4，则m的最小值是 　 　 ． 13．如图是一组蜂窝的结构，它是由若干个正六边形组合而成．第1个图案如图①有2个正六边形，第2个图案如图②有5个正六边形，第3个图案如图③有8个正六边形，第4个图案如图④有11个正六边形…，按此规律，第7个图案中正六边形的个数是　 　 ． 14．为庆祝“十一”国庆节，广场上要设计一排灯花增强气氛．其设计由如图所示图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯花中的灯泡，n代表第n次演变过程，Sn代表第n次演变后的灯泡总个数．仔细观察下列演变过程，用含n的代数式表示第n次演变后的灯泡总个数为　 　 ． 15．如图是由若干个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形和2个黑色正方形，图②中有4个白色正方形和5个黑色正方形，图③中有7个白色正方形和8个黑色正方形，图④中有10个白色正方形和11个黑色正方形，…，依此规律，图⑲中白色与黑色正方形的总个数是　 　 个． 16．烷烃是一类由碳C、氢（H）元素组成的有机物，其中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8…（当碳原子数目超过10个时，用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…），其分子结构如图所示，按照此规律，则二十六烷的化学式表示为　 　 ． 三．解答题 17．观察下列解题过程： 计算：1+5+52+53+…+524+525． 解：设s＝1+5+52+53+…+524+525， 则5s＝5+52+53+…+525+526， 5s﹣s＝（5+52+53+…+525+526）﹣（1+5+52+53+…+524+525）＝526﹣1， 即4s＝526﹣1． 故s，即原式． 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法完成下列问题： （1）计算：1+2+22+23＝　 　 ． （2）计算：1+3+32+33+…+39+310． （3）计算：1×21+2×22+3×23+…+9×29． 18．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32， ﹣1，5，﹣7，17，﹣31， ﹣4，8，﹣16，32，﹣64． （1）第一行的第7个数为　 　 ； （2）取每一行的第n个数（n为正整数），这三个数的和能否是﹣127？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 19．如图，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片拼成长方形： 第①个图形中有2×1＝2张正方形纸片； 第②个图形中有2×（1+2）＝2+4＝6张正方形纸片； 第③个图形中有2（1+2+3）＝2+4+6＝12张正方形纸片…， 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： （1）第⑦个图形中有　 　 张正方形纸片； （2）根据上面的发现我们可以猜想：2+4+6+…+2n＝　 　 （用含n的代数式表示）； （3）根据你的发现计算： ①2+4+6+…+2000； ②202+204+206+…+600． 20．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：1×24+1×23+0×22+0×21+0×1＝24同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13． （1）若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是 　 　 ，转化成10进制后可得他的考场号是多少？ （2）若本次考试中，“小杨”的准考证号是2919021310，图3是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮他补充完整． 21．观察下列式子： ；；；；… （1）用含n（其中n为正整数）的代数式表达上式规律为：　 　 ． （2）利用规律计算：． 22．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： （1）当有5张桌子时，第一种方式能坐 　 　 人，第二种方式能坐 　 　 人． （2）当有n张桌子时，第一种方式能坐 　 　 人，第二种方式能坐 　 　 人． （3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 23．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… （1）根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 　 　 （2）计算：；（请写出计算过程） （3）类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是 　 　 ； ②由此计算的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C D C C C C 二．填空题 11．500． 12．2005． 13．20． 14．3×（2n﹣1﹣1）+1． 15．111． 16．C26H54． 三．解答 17．解：（1）设s＝1+2+22+23，则2s＝2+22+23+24， 2s﹣s＝s＝24﹣1＝15， ∴1+2+22+23＝15， 故答案为：15； （2）设s＝1+3+32+33+⋯+39+310，则3s＝3+32+33+⋯+39+310+311， 3s﹣s＝311﹣1， 即2s＝311﹣1， ∴， 即1+3+32+33+…+39+310； 解：（3）设s＝1×21+2×22+3×23+⋯+9×29， 2s＝2×（1×21+2×22+3×23+⋯+9×29） ＝1×22+2×23+3×24+⋯+9×210， ∴2s﹣s＝（1×22+2×23+3×24+⋯+9×210）﹣（1×21+2×22+3×23+⋯+9×29） ＝﹣1×21+（1﹣2）×22+（2﹣3）×23+（3﹣4）×24+⋯⋯+（8﹣9）×29+9×210 ＝9×210﹣2﹣（22+23+⋯+29） 设t＝22+23+⋯+29，2t＝23+24+⋯+210， 2t﹣t＝t＝210﹣22， ∴s＝9×210﹣2﹣（210﹣22） ＝9×210﹣2﹣210+22 ＝8×210+2 ＝213+2 ＝8194， ∴1×21+2×22+3×23+…+9×29＝8194． 18．解：（1）观察第一行数可知， 后一个数是前一个数的﹣2倍，且第一个数为﹣2， 所以第一行的第n个数可表示为（﹣2）n； 观察第一，二行数可知， 第二行的数比第一行对应位置的数大1， 所以第二行的第n个数可表示为（﹣2）n+1； 观察第一，三行数可知， 第三行的数是第一行对应位置数的2倍， 所以第三行的第n个数可表示为2×（﹣2）n． 当n＝7时， （﹣2）7＝﹣128， 所以第一行的第7个数为﹣128． 故答案为：﹣128； （2）能，理由如下： 由（﹣2）n+（﹣2）n+1+2×（﹣2）n＝﹣127得， 4×（﹣2）n＝﹣128， （﹣2）n＝﹣32， n＝5， 所以n的值为5． 19．解：（1）由所给图形可知， 第①个图形中正方形纸片的张数为：2＝2×1； 第②个图形中正方形纸片的张数为：6＝2+4＝2×（1+2）； 第③个图形中正方形纸片的张数为：12＝2+4+6＝2×（1+2+3）； …， 所以第n个图形中正方形纸片的张数为：2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）n（n+1）． 当n＝7时， n（n+1）＝7×8＝56， 所以第⑦个图形中正方形纸片的张数为56张． 故答案为：56； （2）由（1）知， 2+4+6+…+2n＝n（n+1）． 故答案为：n（n+1）； （3）①当2n＝2000，即n＝1000时， 2+4+6+…+2000＝1000×（1001）＝1001000； ②202+204+206+…+600 ＝2+4+6+…+600﹣（2+4+6+…+200） ＝300×301﹣100×101 ＝90300﹣10100 ＝80200． 20．解：（1）根据题意有， 第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：1×24+0×23+1×22+0×21+1×1＝16+0+4+0+1＝21， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：10101； （2）准考证号2919021310，分别将29，19，02，13，10转化为二进制， 29＝1×24+1×23+1×22+0×21+1×1，29转化为二进制为：11101， 19＝1×24+0×23+0×22+1×21+1×1，19转化为二进制为：10011， 2＝1×21+0×1，02转化为二进制为：10， 13＝1×23+1×22+0×21+1×1，13转化为二进制为：1101， 10＝1×23+0×22+1×21+0×1，13转化为二进制为：1010， 如图所示： 21．解：（1）观察发现； 故答案为：； （2）原式 ． 22．解：（1）有5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐5×4+2＝22（人）； 用第二种摆设方式，可以坐5×2+4＝14（人）； 故答案为：22；14； （2）有n张桌子，用第一种摆设方式可以坐（4n+2）人； 用第二种摆设方式，可以坐（2n+4）人； 故答案为：（4n+2），（2n+4）； （3）选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2＝242（人）． 第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4＝124（人）． 又242＞200＞124， 所以选择第一种方式． 23．解：（1）观察图形可知： 部分①的面积为：， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）根据图形规律可得：1； （3）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为•••，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为•••，空白部分的面积是， ∴•••1， 两边同除以2， 得算（1）． 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