精品解析：湖南省长沙市岳麓区湖南大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

湖南大学附属中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 5. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（ ） A. B. C. D. 11 二、多选题 9. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 三、填空题 12. 已知集合，则__________． 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 14. 已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个______（答案不唯一）． 四、解答题 15. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 17. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 18. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南大学附属中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定法则可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，即可结合判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 5. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，再由抽象函数的定义域可得，解方程即可得出答案. 【详解】的定义域为， 的定义域为， 由可得： ， 解得：的定义域为. 故选：B. 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（ ） A. B. C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，1为方程的一个根，可求得，进而解出方程的实数根，进而求解即可. 【详解】由题意知，1为方程的一个根， 所以，即， 此时， 令，得， 即为， 即为， 即为， 即为，解得，，， 则的解为或，满足题意， 所以方程的实根为，即所有实根的和为11． 故选：D 二、多选题 9. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 【答案】ABD 【解析】 【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群. 【详解】对于A选项： 因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合. 因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外. 存在，对于，当时，. 当时，;当时，. 集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确. 对于B选项： 对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律. 存在，对于，有. 对于任意的，存在，使得. 所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确. 对于C选项： 取，无意义，不满足对任意的， 有，所以不满足封闭性，C选项错误. 对于D选项： 任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律. 对于任意的，存在使得. 满足.所以D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立即可求解A，根据二次函数的单调性求解值域，即可求解B，根据二次函数的性质即可求解CD. 【详解】对于A，的定义域为R，则恒成立， 所以，则，故A正确； 对于B，因为函数的对称轴为， 所以当时，单调递减，当时单调递增， 所以，解得， 又因为且，所以，解得（负根舍去）， 所以，故B不正确； 对于C，由于，且的对称轴为， 故，则，所以，而在单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，又函数图像开口向上，对称轴为． 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（ ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数新定义举反例可得A错误；由函数新定义设 可得B正确；由函数新定义化简可得C正确；当 时, 方程有无数解可得D正确； 【详解】A 选项， 时, ，故A 错 误； 选项，设 ， ，又 ， 故 或 1,故 故B正确； C 选项， ， 因为 ，所以 ，故 正确； 选项，当 时, ，故方程存在无数个解，故 正确； 故选： BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，其中B选项可设求解，D选项可取. 三、填空题 12. 已知集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】列举法表示M，由交集的定义求. 【详解】因为， 又，所以． 故答案为： 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 14. 已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个______（答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 四、解答题 15. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. 【小问1详解】 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. 【小问2详解】 ，得. 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1） （2）当时，，； 当时，，； 当时，，； 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【小问1详解】 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 17. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 【小问3详解】 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 18. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3） 【解析】 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【小问1详解】 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $