第09讲 统计与概率（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

该高中数学讲义围绕统计与概率高考核心考点，涵盖抽样方法、数据特征、频率分布直方图、古典概型、相互独立事件等，按考情分析、知识体系构建、考点精析、实战精练逻辑组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以解题策略培养数学思维，如频率分布直方图中明确众数、中位数、平均数计算方法，结合分层练习（例题+基础与提升题）提升数学语言表达能力。考频分析精准定位重点，助力学生高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第09讲 统计与概率 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 6 考点一 简单随机抽样与分层抽样（重） 6 考点二 求几个数的平均数、中位数、众数、方差 7 考点三 频率分布直方图 8 考点四 频率分布直方图的数字特征（重） 10 考点五 百分位数的估计 13 考点六 古典概型的计算（重） 14 考点七 利用频率估计概率 15 考点八 事件的关系 16 考点九 事件的相互独立（重） 18 实战精练与提升 19 考情解读 一、考试要求 理解随机抽样的必要性和重要性，掌握简单随机抽样方法，了解分层抽样和系统抽样方法。 了解分布的意义与作用，会列频率分布表、绘制频率分布直方图等图表并理解其特点；掌握样本标准差的计算，能提取并解释平均数、标准差等样本基本数字特征。 理解用样本估计总体的思想，会用样本频率分布、基本数字特征估计总体的对应内容，并解决相关简单实际问题。 了解随机事件的不确定性、频率的稳定性及概率的意义，区分频率与概率，掌握两个互斥事件的概率加法公式。 理解古典概型、事件相互独立的概念及对应概率计算公式，会计算随机事件所含基本事件数和事件发生的概率。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 5年3考 分层抽样 预测2026年在填空题中考查分层抽样 频率分布直方图与数据特征 5年5考 求数据的平均数和方差 预测2026年在选择题或解答题中考查求数据的数据特征 古典概型与事件关系 5年5考 古典概型、互斥对立事件 预测2026年在选择题中考查古典概型 相互独立事件 5年1考 独立乘法公式 预测2026年在解答题中考查独立乘法公式 知识梳理 知识点1、简单随机抽样及分层抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 知识点2、频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 知识点3、数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 知识点4、百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 知识点5、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或A·B) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点6、古典概型 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果A⊆B，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 知识点7、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 3、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 P()P() A，B恰有一个发生 P(A)P()＋P()P(B) A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 知识点8、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 考点精讲 考点一 简单随机抽样与分层抽样 解题策略 （1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取，常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． （2）分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比=； ②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 例1．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 例2．（2024·25高三上·广东·期中）某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 练习1．（2024·广东广州·模拟预测）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．（2024·25高三下·广东汕头·期末）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从支中抽取支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将支按进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第个样本个体的编号是 （下面摘取了随机数表第行至第行） 练习3．（2024·25高三上·广东湛江·期中）某学校有高中学生3000人，初中学生2000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．300人 D．500人 练习4．（2024·广东江门·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 考点二 求几个数的平均数、中位数、众数、方差 例3．（2024·25高三上·广东佛山·期中）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 例4．（2024·25高三上·广东广州·期末）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 练习1．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知一组数据的平均数为3，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 练习4．（2025·广东广州·模拟预测）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 考点三 频率分布直方图 解题策略 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 例5．（2024·广东佛山·模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 例6．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 练习1．（2024·25高三上·广东潮州·期中）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（    ） A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07 练习2．（2025·26高三上·广东梅州·期中）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（    ） A．20 B．30 C．50 D．60 练习3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是 ．    练习4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 . 考点四 频率分布直方图的数字特征 解题策略 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数：最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 例7．（2024·25高三上·广东惠州·期中）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以分组的频率分布直方图如图．则下列说法错误的是（   ） A．直方图中 B．图中所有矩形面积之和为1 C．月平均用电量的中位数为225 D．在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在的用户中应抽取5户． 例8．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（    ）分 A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，70 练习1．（2025·广东中山·模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 练习3．（2024·25高三上·广东江门·期中）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论不正确的是（    ）    A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 练习4．（2024·25高三上·广东江门·期末）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    考点五 百分位数的估计 解题策略 （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 例9．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（    ）． A．19 B．21 C．23 D．23.5 例10．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 练习1．（2025·广东佛山·三模）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 练习2．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 练习3．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 练习4．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 考点六 古典概型的计算 解题策略 （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 例11．（2024·25高三上·广东深圳·期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 例12．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 . 练习1．（2025·26高三上·广东·阶段练习）某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ． 练习4．（2024·25高三上·广东清远·期末）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 考点七 利用频率估计概率 例13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 例14．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 练习2．（2024·25高三上·广东·期中）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 练习3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 练习4．（2025·广东广州·模拟预测）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 考点八 事件的关系 解题策略 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合；②若事件件与对立,则集合且. 例15．（2024·25高三上·广东深圳·期末）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 例16．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有 （填序号）． ①恰有1名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生； ③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生． 练习1．（2025·广东汕头·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有 （写出所有正确说法的序号）． 练习4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ． ①“至少有一个黑球”与“都是黑球”； ②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”； ④“至少有一个黑球”与“都是红球” 考点九 事件的相互独立 解题策略 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 例17．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 例18．（2024·25高三上·广东深圳·期中）某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则 . 练习1．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东茂名·期中）甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为 ． 练习3．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 练习4．（2024·25高三下·广东茂名·期末）某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立. (1)求甲仅需挑战前两关就通关的概率； (2)求乙挑战全部三关且通关的概率； (3)求甲、乙恰有一人通关的概率. 1．（2024·25高三上·广东广州·期末）抽奖箱里有10张形状、材质相同的奖券，其中1张有奖，9张没有奖.某人依次抽取三张奖券，则他中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·广东·学业考试）为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85  93  95  92  88  92  95  90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（    ） A．88 B．89 C．90 D．94 3．（2024高三上·广东·学业考试）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 4．（2024高二上·广东·学业考试）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（ ） A．1 B．3 C．16 D．20 5．（2023高三·广东·学业考试）某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三上·广东·学业考试）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 7．（2024高三上·广东·学业考试）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 8．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过的男生的人数为 .    9．（2023高三·广东·学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 . 10．（2024高二上·广东·学业考试）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下： 甲　82　81　79　78　95　88　93　84　85 乙　92　95　80　75　83　80　90　85　85 (1)求甲成绩的分位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？ 11．（2023高三·广东·学业考试）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了8组投篮，现得分情况如下： 甲 10 8 x 8 7 9 6 8 乙 6 9 8 5 7 6 7 8 (1)求出乙的平均得分和方差； (2)如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少. 12．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 13．（2024·高三上 广东珠海·期末）在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 统计与概率 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 6 考点一 简单随机抽样与分层抽样（重） 6 考点二 求几个数的平均数、中位数、众数、方差 8 考点三 频率分布直方图 11 考点四 频率分布直方图的数字特征（重） 14 考点五 百分位数的估计 19 考点六 古典概型的计算（重） 21 考点七 利用频率估计概率 24 考点八 事件的关系 26 考点九 事件的相互独立（重） 29 实战精练与提升 33 考情解读 一、考试要求 理解随机抽样的必要性和重要性，掌握简单随机抽样方法，了解分层抽样和系统抽样方法。 了解分布的意义与作用，会列频率分布表、绘制频率分布直方图等图表并理解其特点；掌握样本标准差的计算，能提取并解释平均数、标准差等样本基本数字特征。 理解用样本估计总体的思想，会用样本频率分布、基本数字特征估计总体的对应内容，并解决相关简单实际问题。 了解随机事件的不确定性、频率的稳定性及概率的意义，区分频率与概率，掌握两个互斥事件的概率加法公式。 理解古典概型、事件相互独立的概念及对应概率计算公式，会计算随机事件所含基本事件数和事件发生的概率。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 抽样方法 5年3考 分层抽样 预测2026年在填空题中考查分层抽样 频率分布直方图与数据特征 5年5考 求数据的平均数和方差 预测2026年在选择题或解答题中考查求数据的数据特征 古典概型与事件关系 5年5考 古典概型、互斥对立事件 预测2026年在选择题中考查古典概型 相互独立事件 5年1考 独立乘法公式 预测2026年在解答题中考查独立乘法公式 知识梳理 知识点1、简单随机抽样及分层抽样 定义 设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 方法 抽签法 把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本 随机数法 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 抽签法与随机数法 相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②都是从总体中逐个不放回地进行抽取 不同点 ①抽签法比随机数法操作简单； ②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况 利用随机数法抽取个体时的注意事项： ①定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点． ②定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)． ③读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数． 分层抽样：①定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． ②应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 注意：分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 知识点2、频率分布直方图 1.画频率分布直方图的步骤 第1步：求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；第2步：决定组距与组数；第3步：将数据分组； 第4步：列频率分布表；第5步：画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). 2.频率分布直方图的性质：落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积和等于1. 知识点3、数字特征 ①众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ②极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：. 标准差：. 注：方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ③性质 （1）若的平均数为，那么的平均数为. （2）数据与数据的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若的方差为s2，那么的方差为. 知识点4、百分位数 1.定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2.计算一组几个数据第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 3.四分位数 即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数． 其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 知识点5、事件间的关系及运算 定义 符号表示 图示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或A·B) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点6、古典概型 1.古典概型的特征：（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么． 性质5：如果A⊆B，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有． 知识点7、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 3、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 P(A)P(B) A，B都不发生 P()P() A，B恰有一个发生 P(A)P()＋P()P(B) A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 知识点8、频率稳定性 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且. 考点精讲 考点一 简单随机抽样与分层抽样 解题策略 （1）简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取，常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． （2）分层随机抽样中有关计算的方法:①抽样比=； ②总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 例1．（2024·25高三上·广东汕头·阶段练习）总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（    ） 第1行  78  16  62  32  08  02  62  42  62  52  53  69  97  28  01  98 第2行  32  04  92  34  49  35  82  00  36  23  48  69  69  38  74  81 A．27 B．26 C．25 D．19 【答案】D 【详解】从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数,符合条件的编号依次有23，20，26，24，25，19，03，…, 故第6个个体编号为19. 故选：D 例2．（2024·25高三上·广东·期中）某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（   ） A．25 B．15 C．30 D．20 【答案】D 【详解】2500人中女生人数为， 则容量为50的样本中女生的人数为. 故选：D 练习1．（2024·广东广州·模拟预测）2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误； 个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误； 样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误； 样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确. 故选：A. 练习2．（2024·25高三下·广东汕头·期末）因乙肝疫苗事件，需要对某种疫苗进行检测，现从支中抽取支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将支按进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第个样本个体的编号是 （下面摘取了随机数表第行至第行） 【答案】704 【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为， 所以得到的第个样本个体的编号是. 故答案为： 练习3．（2024·25高三上·广东湛江·期中）某学校有高中学生3000人，初中学生2000人.学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用等比例分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查.已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（    ） A．150人 B．200人 C．300人 D．500人 【答案】C 【详解】因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为，所以高中生抽取了人. 故选：C. 练习4．（2024·广东江门·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【答案】 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 考点二 求几个数的平均数、中位数、众数、方差 例3．（2024·25高三上·广东佛山·期中）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 【答案】B 【详解】由数据得，极差为6，众数为3，9，所以A正确，B错误. 数据的平均数,所以C正确. 数据的方差，所以D正确. 故选：B. 例4．（2024·25高三上·广东广州·期末）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 【答案】C 【详解】由样本数据的平均数为，方差为，得，， 则，， 因此数据，的平均数为 ， 方差为 . 故选：C 练习1．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知一组数据的平均数为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数据的平均数为，可得，解得. 故选：A. 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【详解】去掉一个最低分6，剩余数据的平均数为. 故选：D 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示，关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．众数是85 B．中位数是80 C．众数是21 D．中位数是12 【答案】A 【详解】从统计图中知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数， 而，故中位数是； 故只有选项A正确； 故选：A． 练习4．（2025·广东广州·模拟预测）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 【答案】C 【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值：     ，众数为出现最多的数，为45. 故选：C. 考点三 频率分布直方图 解题策略 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. 例5．（2024·广东佛山·模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 例6．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 练习1．（2024·25高三上·广东潮州·期中）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取50户居民，得到他们的月均用水量全部介于1t至21t之间，将结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组有4户居民，则第七组的频率为（    ） A．0.04 B．0.05 C．0.06 D．0.07 【答案】C 【详解】第六组的频率为，所以第七组的频率为. 故选：C 练习2．（2025·26高三上·广东梅州·期中）某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则用水量小于1.5立方米的用户数为（    ） A．20 B．30 C．50 D．60 【答案】C 【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为． 故答案为：C． 练习3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是 ．    【答案】0.020 【详解】由图可知，，解得. 故答案为： 练习4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据 . 【答案】 【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名， 因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为， 设区间的频率为，则，解得. 故答案为：. 考点四 频率分布直方图的数字特征 解题策略 用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: （1）众数：最高小长方形底边中点的横坐标； （2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 例7．（2024·25高三上·广东惠州·期中）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以分组的频率分布直方图如图．则下列说法错误的是（   ） A．直方图中 B．图中所有矩形面积之和为1 C．月平均用电量的中位数为225 D．在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在的用户中应抽取5户． 【答案】C 【详解】因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1， 则， 得，A正确； 由频率分布直方图性质所有矩形面积和为1，B正确， 因前3个矩形面积之和为. 前4个矩形面积之和为. 则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224，C错误； 月平均用电量为的居民对应的频率为：. 月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：. 则应抽取居民的户数为：，D正确. 故选：C. 例8．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（    ）分 A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，70 【答案】B 【详解】解：由题意知众数为 因为， ， 所以中位数位于， 设中位数为x，则， 解得， 平均数为. 故选：B. 练习1．（2025·广东中山·模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获．在杂交水稻试验田中随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法错误的是（   ） A． B．这100株水稻的稻穗数的众数约为250 C．这100株水稻的稻穗数的平均数约为256 D．这100株水稻的稻穗数的中位数约为252 【答案】D 【详解】对于选项A: 由频率直方图可知组距为则 化简得因此选项A是正确的. 对于选项B：从图中可以看出,频率最高的矩形对应的区间是[240, 260], 其中点为，即选项B是正确的. 对于选项C：易知 ，可得C是正确的. 对于选项D：从图中可以看出, 前两个区间的累计频率为， 前三个区间的累计频率为 因此中位数位于第三个区间，设中位数为 , 则可得 解得，即选项D是错误的. 故选：D. 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制定如图所示的频率分布直方图.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数为（   ） A．2.45 B．2.46 C．2.47 D．2.48 【答案】B 【详解】，解得， . 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46 故选：B 练习3．（2024·25高三上·广东江门·期中）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论不正确的是（    ）    A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为70% C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：，，，，： 对于A，组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； 对于B，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； 对于C，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； 对于D，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，故极差小于等于50， 但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 练习4．（2024·25高三上·广东江门·期末）对一批底部周长（单位：cm）在内的树木进行研究，从中随机抽取200棵树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计这批树木的底部周长的众数是 cm，中位数是 cm，平均数是 cm．    【答案】 105 103.5 【详解】由题图知，底部周长的众数是； 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数在内，设为，则， 解得； 平均数是． 故答案为：；；. 考点五 百分位数的估计 解题策略 （1）求一组数据的百分位数时,一定要先将该组数据按照从小到大的顺序排列； （2）根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 例9．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第60百分位数是（    ）． A．19 B．21 C．23 D．23.5 【答案】B 【详解】数据按从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 因为， 所以第60百分位数是. 故选：B 例10．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分． 【答案】86.25 【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这50名学生成绩的分位数为86.25分． 故答案为：86.25 练习1．（2025·广东佛山·三模）某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的70%分位数为（   ） A．26 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【详解】由于,这组数据的70%分位数为第5个数38， 故选：D 练习2．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为：， 所以样本数据5，6，6，6，8，9，10，11的第60百分位数是第5个数为8. 故选：C 练习3．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（   ） A．40 B．30 C．15 D．14.5 【答案】B 【详解】由题设，数据从小到大为，且， 所以数据的上四分位数为. 故选：B 练习4．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 . 【答案】 0.03 85 【详解】由频率分布直方图可得，可得； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以满意度计分的第三四分位数， 所以，即满意度计分的第三四分位数约为85. 故答案为：0.03；85. 考点六 古典概型的计算 解题策略 （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 例11．（2024·25高三上·广东深圳·期中）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 例12．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 . 【答案】或 【详解】设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则， 依题意，解得或. 故答案为：或. 练习1．（2025·26高三上·广东·阶段练习）某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以分， 所以这20名学生中物理测验成绩不低于分的学生有6人， 其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为， 有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为， 现从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种， 其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况有，共9种， 故所求概率. 故选：D 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是 ． 【答案】 【详解】从8个卦中任取一卦，基本事件总数， 其中由2根和1根构成的基本事件个数， 所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是. 故答案为：. 练习4．（2024·25高三上·广东清远·期末）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件． 【答案】 【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品， 设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：， 抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件. 故答案为：. 考点七 利用频率估计概率 例13．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 例14．（2024·25高三上·广东揭阳·期末）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个 ． 【答案】7 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 练习1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级500名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为50的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下： 观看比赛场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数所占百分比 7% 18% 15% m% 10% 14% 15% 5% 从表中可以得出正确的结论为（   ） A．估计观看比赛场数的极差为6 B．估计观看比赛场数的众数为2 C．估计观看比赛不低于4场的学生约为200人 D．估计观看比赛不超过2场的学生概率为 【答案】D 【详解】A选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为，A错误； B选项，由频率分布表的性质，得． 由表知，出现频率最高的场数为1，所以众数为1，B错误； C选项，因为观看比赛不低于4场的学生所占百分比为， 所以估计观看比赛不低于4场的学生约为（人），C错误； D选项，估计观看比赛不超过2场的学生概率为，D正确． 故选：D. 练习2．（2024·25高三上·广东·期中）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 练习3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 练习4．（2025·广东广州·模拟预测）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 【答案】300 【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 考点八 事件的关系 解题策略 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合；②若事件件与对立,则集合且. 例15．（2024·25高三上·广东深圳·期末）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 例16．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有 （填序号）． ①恰有1名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生； ③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生． 【答案】①④ 【详解】某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，有以下情形： 两名男生，一名男生一名女生，两名女生． 恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生，故①是互斥事件； 至少有一名男生即： 两名男生，一名男生一名女生； 至少有一名女生即：一名男生一名女生，两名女生， 至少有一名男生和至少有一名女生有同时发生的情形：一名男生一名女生，故②不是互斥事件； 至少有一名男生即：两名男生，一名男生一名女生；全是男生即：两名男生， 至少有一名男生和全是男生有同时发生的情形：两名男生，故③不是互斥事件； 至少有一名男生即：两名男生，一名男生一名女生，则至少有一名男生与全是女生不可能同时发生，故④是互斥事件． 故答案为：①④. 练习1．（2025·广东汕头·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 【答案】①②④ 【详解】试验的样本空间， 根据题意，，，，. 因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故①正确； 因为，，所以，故②正确； 因为，所以A与C不是互斥事件，故③错误； 因为，，所以，故④正确. 故答案为：①②④. 练习2．（2024·25高三上·广东肇庆·期中）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 练习3．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．有以下四个说法： ①恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件； ②至少有1件次品和全是次品是对立事件； ③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件，但不是对立事件； ④至少有1件次品和全是正品是互斥事件，也是对立事件． 其中正确的有 （写出所有正确说法的序号）． 【答案】①④ 【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况， 所以： 恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件；正确； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是次品不是对立事件；错误； 至少有1件正品（“全是正品”，“一件正品，一件次品”，）和至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）不是互斥事件；错误； 至少有1件次品（“一件正品，一件次品”，“全是次品”）和全是正品是互斥事件，也是对立事件．正确 故答案为：①④ 练习4．（2024·25高三上·广东深圳·期中）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ． ①“至少有一个黑球”与“都是黑球”； ②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”； ④“至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】③ 【详解】当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故①中的两个事件不互斥；当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，故②中的两个事件不互斥；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故③中两个事件互斥而不对立；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故④中两个事件对立．故答案为③． 【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件，熟练运用互斥事件与对立事件的定义是解答本题的关键，本题较为基础. 考点九 事件的相互独立 解题策略 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 例17．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙中恰有一人中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲乙中恰有一人中靶，事件包含两种情况：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶， 设情况①的概率为，情况②的概率为， 甲的中靶概率为，乙的中靶概率为， ， ． 故选：C． 例18．（2024·25高三上·广东深圳·期中）某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则 . 【答案】/0.7 【详解】由至少通过一个社团考核的概率为，得三个社团都没有通过的概率为， 依题意，，则，所以. 故答案为： 练习1．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，碰撞测试不优秀的概率， 续航测试不优秀的概率， 因为两项测试结果相互独立， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中都不优秀的概率为， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为. 故选：C 练习2．（2024·25高三上·广东茂名·期中）甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为 ． 【答案】/ 【详解】记“目标被击中”为事件A，则为“甲、乙、丙三人都没有击中目标”， 所以目标被击中的概率是. 故答案为：. 练习3．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 【答案】(1)和. (2) 【分析】 【详解】（1）记事件为“甲家庭回答正确”，事件为“乙家庭回答正确”，事件为“丙家庭回答正确”． 由已知得， 解得， 设“乙、丙两个家庭至少有一家回答正确”为事件，则， 则， 即， 解得，则． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确的概率分别为和； （2）有3个家庭回答正确的概率. 有2个家庭回答正确的概率， 所以至少有2个家庭回答正确的概率． 练习4．（2024·25高三下·广东茂名·期末）某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立. (1)求甲仅需挑战前两关就通关的概率； (2)求乙挑战全部三关且通关的概率； (3)求甲、乙恰有一人通关的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设事件“甲仅需挑战前两关就通关”，则 . （2）设事件“乙挑战全部三关且通关”，则 （3）设事件“甲通关”，事件“乙通关”， 事件“甲、乙恰有一人通关乙甲通关”， , 1．（2024·25高三上·广东广州·期末）抽奖箱里有10张形状、材质相同的奖券，其中1张有奖，9张没有奖.某人依次抽取三张奖券，则他中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次抽中：， 第一次没抽中，第二次抽中：， 前两次没抽中，第三次抽中：， 所以中奖概率为：. 故选：B. 2．（2025高三上·广东·学业考试）为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85  93  95  92  88  92  95  90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（    ） A．88 B．89 C．90 D．94 【答案】B 【详解】对8位学生的数学考试分数进行从小到大的排序，得到的序列如下： 85，88，90，92，92，93，95，95 共8个数据点的数据集，第25百分位数的位置为， 所以第25百分位数为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：在计算百分位数时，特别要注意数据点的排序和百分位数位置的计算。当数据点个数为偶数时，百分位数的位置会落在两个数据点之间，此时百分位数应取这两个数据点的平均值。这一原则是准确估算数据集百分位数的关键. 3．（2024高三上·广东·学业考试）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根据这组数据，下列说法正确的是（    ） A．众数是7 B．平均数是7 C．第75百分位数是8.5 D．中位数是8 【答案】B 【详解】由题意可知，众数是4，A错； 中位数为，D错； 平均数为，B对； 因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错. 故选：B. 4．（2024高二上·广东·学业考试）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（ ） A．1 B．3 C．16 D．20 【答案】D 【详解】解：由题意可得=， 所以m=20， 故选：D. 5．（2023高三·广东·学业考试）某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，重量在内的产品件数为. 故选：B. 6．（2024高三上·广东·学业考试）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 【答案】32 【详解】依题意，乙应交元. 故答案为： 7．（2024高三上·广东·学业考试）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 【答案】45、46 【详解】甲组数据有28，31，39，42，45，55，57，58，66，可知甲组数据的中位数是45， 乙组数据有29，34，35，42，46，48，53，55，67，可知乙组数据的中位数是46． 故答案为：45、46 8．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过的男生的人数为 .    【答案】64 【详解】由频率分布直方图可知，组距为4，由于结果精确到1cm，故后三组身高超过， 身高超过的频率为， 故身高超过的学生人数为. 故答案为：64 9．（2023高三·广东·学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 . 【答案】9 【详解】由题意高二抽取的人数为． 故答案为：9. 10．（2024高二上·广东·学业考试）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取9次，记录如下： 甲　82　81　79　78　95　88　93　84　85 乙　92　95　80　75　83　80　90　85　85 (1)求甲成绩的分位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？ 【答案】(1)93 (2)派甲参加比较合适，理由见解析 【分析】 【详解】（1）将甲的成绩从低到高排列如下：78，79，81，82，84，85，88，93，95， 因为不是整数，所以选择第8个数作为分位数，即93. （2）甲成绩的平均数为， 甲成绩的方差为 乙成绩的平均数为， 乙成绩的方差为 ， 因为=，＜，甲的成绩比较稳定，所以派甲参加比较合适. 11．（2023高三·广东·学业考试）为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了8组投篮，现得分情况如下： 甲 10 8 x 8 7 9 6 8 乙 6 9 8 5 7 6 7 8 (1)求出乙的平均得分和方差； (2)如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数是多少. 【答案】(1)7；1.5 (2)8.5 【分析】 【详解】（1）由题可得，乙的平均得分为， 方差为： . （2）∵数据10，8，x，8，7，9，6，8的平均数为8， 则有， 将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10， ∵， ∴第75百分位数为， 即这组数据的第75百分位数是8.5. 12．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【答案】(1) (2)； 【分析】 【详解】（1）将每个数据乘以10减去81得： 所以平均值为：， 所以，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨 （2）因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 13．（2024·广东珠海·二模）在一次猜灯谜的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的. (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率； (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率. 【答案】(1)甲猜对概率为，乙猜对概率为 (2) 【分析】 【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为. （2）甲乙都没有猜对的概率为， 所以甲和乙至少一人猜对的概率为. 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $