精品解析：安徽省安庆市望江县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

望江部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数　学 本卷共23小题,满分150分,考试时间120分钟. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，满分40分)每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（　　） A. ±2 B. 2 C. ±2.5 D. 2.5 7. 已知线段，，，一组成比例线段，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 12. 若函数的图像与轴有且只有一个交点，则的值为____． 13. 若点在反比例函数的图像上，则当时，x的取值范围为______． 14. 若，则________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 16. 已知，求下列算式值： （1）； （2）． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值 （2）若这个函数是二次函数，求的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 20. 如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 21. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 22. 如图，点，，分别在边，，上，且，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 23. 如图，在中，，，，是边的中点，交于点直角绕顶点旋转，使得边于线段交于点，边与线段交于点． （1）判断与否相似，如果相似，请写出证明过程； （2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）探求，，三者数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望江部分学校联考2025-2026学年上学期九年级期中试卷 数　学 本卷共23小题,满分150分,考试时间120分钟. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，满分40分)每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 4. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达万元，若把增长率记作，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键． 由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：该地第一天销售额为万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作， 第二天销售额为万元，第三天销售额为万元． 根据题意得：． 故选：D． 5. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图，记轴的交点为： 可得四边形为矩形， 设 则 再求解的面积即可. 【详解】解：如图，记轴的交点为： 四边形为矩形， 设 则 故选A 【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象的性质，矩形的判定与性质，掌握“中的的几何意义”是解本题的关键. 6. 二次函数y＝﹣x2+2mx（m为常数），当0≤x≤1时，函数值y的最大值为4，则m的值是（　　） A. ±2 B. 2 C. ±2.5 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】分m≤0、m≥1和0≤m≤1三种情况，根据y的最大值为4，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2（m为常数）， ①若m≤0，当x＝0时，y＝﹣（0﹣m）2+m2＝4， m不存在， ②若m≥1，当x＝1时，y＝﹣（1﹣m）2+m2＝4， 解得：m＝2.5； ③若0≤m≤1，当x＝m时，y＝m2＝4， 即：m2＝4， 解得：m＝2或m＝﹣2， ∵0≤m≤1， ∴m＝﹣2或2都舍去， 故选：D． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意分三种情况讨论. 7. 已知线段，，，是一组成比例线段，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的性质．根据成比例线段的定义，线段满足，代入已知数值即可求解． 【详解】解：∵线段是一组成比例线段， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定，准确分析判断是解题的关键． 先确定的夹角及两边长度，再分析各选项三角形的夹角和两边长度，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可； 【详解】在中，，，， 在、、三个选项中，都没有的角， 选项中，两边为和， ， 选项中得三角形与相似； 故选． 9. 如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．由平行四边形的性质易证，，结合题意即得出，再根据相似三角形周长比等于相似比即得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． ∵，即， ∴， ∴与的周长比为． 故选C． 10. 如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了位似图形性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 12. 若函数的图像与轴有且只有一个交点，则的值为____． 【答案】或或 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac＝0，据此求解可得． 【详解】解：当a＋1＝0，即a＝−1时，函数解析式为y＝−4x−2，与x轴只有一个交点； 当a＋1≠0，即a≠−1时，根据题意知，（−4）2−4×（a＋1）×2a＝0， 整理，得：a2＋a−2＝0， 解得：a＝1或a＝−2； 综上，a的值为−1或−2或1． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2＋bx＋c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根之间的关系：△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 13. 若点在反比例函数图像上，则当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，先利用待定系数法求出k的值，再判断出反比例函数图象经过的象限和增减性即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】把，代入解方程组即可得到结论． 【详解】解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题关键． 16. 已知，求下列算式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值． 设，则，，把a、b的值代入（1）、（2）分式式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设则，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∴． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知函数． （1）若这个函数是一次函数，求的值 （2）若这个函数是二次函数，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题； 【详解】解：（1）由题意得，解得； （2）由题意得，，解得且． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案． 18. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数图象的顶点坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是_____________． 【答案】（1）顶点坐标为； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解； （2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象； （3）分别令和4求得函数值后即可确定y的取值范围． 【小问1详解】 解： ； ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表： x 1 2 3 4 5 y 3 0 0 3 描点，连线，故图象为： ； 【小问3详解】 解：∵当时，；当时，， 又∵当时，y有最小值， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点． 19. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程的两个根． （2）直接写出不等式的解集． （3）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． （4）若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 【小问4详解】 解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 20 如图，一次函数经过点，与反比例函数图象相交于，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式是解题的关键． （1）将，代入，求得．可得一次函数的表达式，将，代入得，，则，将代入，计算求解可得反比例函数的表达式； （2）当时，，即，，根据．计算求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得． ∴一次函数的表达式为． 将，代入得，， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴，， ∴． ∴的面积为． 21. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，点，，分别在的边，，上，且，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）4 （2）8 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质即可求解． （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ． 23. 如图，在中，，，，是边中点，交于点直角绕顶点旋转，使得边于线段交于点，边与线段交于点． （1）判断与是否相似，如果相似，请写出证明过程； （2）设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）探求，，三者数量关系，并说明理由． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2），； （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用． （1）根据垂直的定义、同角的余角相等得到，，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形的性质、直角三角形的性质用表示出的长，根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据（2）的结论、结合图形，运用函数思想进行计算即可． 【小问1详解】 解：与相似， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， 是边的中点， ，，， ， ， ，即， 解得：， ， ，； 【小问3详解】 解：， 证明：由（2）得，，， 由勾股定理得， ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $