精品解析：广西壮族自治区桂林市龙胜各族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025－2026学年度上学期期中学情调研卷 九年级 数学 （考试用时：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如图，用放大镜将图形放大，这种变换应属于（ ） A. 对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 有一压力传感器，其压力（单位：牛顿）与电阻（单位：欧姆）之间的函数关系式为，当压力牛顿时，电阻的值为（ ） A. 2欧姆 B. 100欧姆 C. 0.5欧姆 D. 5000欧姆 5. 一元二次方程的两个实数根为、，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 下列各点中，在反比例函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 7. 秋天红透枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果的长为，那么的长为（ ）．（黄金分割比取） A. B. C. D. 8. 将化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知一矩形的长为，宽为．现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，根据题意列出方程并化简得（其中取）；其中表示______，则符合题意的的值取______． A. 圆的半径； B. 圆的直径； C. 圆的半径； D. 圆的直径； 12. 如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作，垂足分别是点，．其中，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如果函数是反比例函数，那么k=____． 14. 已知，与的对应边分别为和．那么和的周长之比为______． 15. 将方程化为一般式后，一次项系数为______． 16. 如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，． （1）在第一象限内作以坐标原点O为位似中心，将放大2倍得到． （2）请写出、、的坐标； （3）若点是内任意一点，点P在内的对应点为，请写出点的坐标． 19. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， （1）如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． （2）公路与平行吗？说出你的理由． 20. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（）和通电时间x（）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温y（）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求出图中a的值； （2）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 21. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，年月日至日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为元，经过两次降价后每套器材的售价为元，并且每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每套器材的进价为元，通过以上两次降价的方式，将剩余的套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？ 22. 如图1，在中，，，，点D，E分别是边中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现：当时，_______；当时，_______； （2）拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 23. 如图，一次函数的图象交反比例函数（，）的图象于，两点，交x轴于点C，P是x轴上一个动点． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）连接OA、OB，求的面积． （3）若与相似，请写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期期中学情调研卷 九年级 数学 （考试用时：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 如图，用放大镜将图形放大，这种变换应属于（ ） A. 对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似变换的定义，掌握相似图形的定义是解题关键． 根据对称变换、平移变换、相似变换、旋转变换的特点，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由一个图形到另一个图形，在改变过程中形状不变，大小发生变化，属于相似变换． 故选：C． 2. 一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据的实际意义解答即可． 【详解】解：∵汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为， ∴自变量的取值范围是． 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 求出一元二次方程根的判别式的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴没有实数根． 故选：C． 4. 有一压力传感器，其压力（单位：牛顿）与电阻（单位：欧姆）之间的函数关系式为，当压力牛顿时，电阻的值为（ ） A. 2欧姆 B. 100欧姆 C. 0.5欧姆 D. 5000欧姆 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把牛顿代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意把代入函数得：， 解得：； 故选A． 5. 一元二次方程的两个实数根为、，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两个实数根为、， ∴，， ∴ ． 故选：A 6. 下列各点中，在反比例函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于6，就在函数图像上． 【详解】解：∵， ∴， A、，符合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征；解题的关键是掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 7. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果的长为，那么的长为（ ）．（黄金分割比取） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义进行计算是解题的关键．由点P是的黄金分割点（），可得，然后根据的长度即可求解． 【详解】解：点P是的黄金分割点（），， ． 故选：C． 8. 将化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加36，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 故选D． 9. 已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，结合即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，当比例系数时，函数图像在第二和第四象限，故当时，，当时，，据此即可求解． 【详解】∵， ∴函数图像在第二和第四象限， ∵ ∴． 故选B． 11. 如图，已知一矩形的长为，宽为．现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，根据题意列出方程并化简得（其中取）；其中表示______，则符合题意的的值取______． A. 圆的半径； B. 圆的直径； C. 圆的半径； D. 圆的直径； 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 根据题意找到等量关系即可找到表示的意思，再用直接开平方法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：依题得：圆的面积是原矩形面积的， ， ， 当取时，， 即， 又根据题意列出方程并化简得， 该方程中的表示的为圆的半径， ， 解得， 圆的半径不能为负数， ． 故选：． 12. 如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作，垂足分别是点，．其中，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正方形判定与性质，相似三角形的判定与性质．先求出，进而证明四边形是正方形，可得，，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是矩形， 由作图可知，平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 如果函数是反比例函数，那么k=____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得：， ∴k=1， 故答案是：1． 14. 已知，与的对应边分别为和．那么和的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：， 相似比为， 又相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为， 故答案为． 15. 将方程化为一般式后，一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程化为一般形式 ，然后确定一次项系数 即可． 【详解】， ， 移项：． 合并同类项：． 所以一次项系数为 ． 故答案为：． 16. 如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，中点坐标公式，勾股定理等知识．由勾股定理求出，得出，进而求出，然后可求k的值． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 或， ，； 【小问2详解】 ， ， 或， ，． 18. 已知：如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）在第一象限内作以坐标原点O为位似中心，将放大2倍得到． （2）请写出、、的坐标； （3）若点是内任意一点，点P在内的对应点为，请写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查位似变换性质，坐标变化规律，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题目要求连接并延长至，使，同理画出，即可画出图形； （2）根据位似变换的规律，新三角形顶点横纵坐标即对应的原三角形顶点横纵坐标都乘以即可； （3）根据（2）点的坐标变化规律，即可推导对应点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长至，使，同理画出，顺次连接即为所求； 【小问2详解】 解：根据位似变换的坐标规律：以原点为位似中心，位似比为时，原坐标的对应点坐标为（若位似图形在同侧）或（若位似图形在异侧）． 本题中在第三象限，在第一象限（异侧），位似比， ∴对应点坐标为原坐标乘以： 的对应点， 的对应点， 的对应点． 【小问3详解】 解：由位似变换的坐标规律可知，若点是内任意一点，以原点为位似中心，位似比为且位似图形在异侧，则其对应点的坐标为． 19. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， （1）如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． （2）公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 20. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（）和通电时间x（）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温y（）和通电时间x（）之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求出图中a的值； （2）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于的开水，则他需要在什么时间段内接水？ 【答案】（1） （2）李老师要在7：38到7：50之间接水． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解反比例函数解析式和一次函数解析式，利用所求解析式，当时，得出答案． （2）当时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案． 【小问1详解】 解：当时，设， 将，的坐标分别代入得，， 解得，． ∴当时，， 当时，设， 将的坐标代入， 得， ∴当时，． 将代入， 解得， 即． 【小问2详解】 解：当时，． ∴要想喝到不低于的开水，x需满足， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 21. 为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，年月日至日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为元，经过两次降价后每套器材的售价为元，并且每次降价的百分率相同． （1）求每次降价的百分率； （2）若每套器材的进价为元，通过以上两次降价的方式，将剩余的套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？ 【答案】（1） （2）套 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率，根据题意列出方程即可求解； （）设第一次降价售出套器材，则第二次降价售出套器材，由题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率， 由题可得，， 解得，（不合，舍去）， 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设第一次降价售出套器材，则第二次降价售出套器材， 由题意可得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值是， 答：第一次降价至少售出套器材后，方可进行第二次降价． 22. 如图1，在中，，，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）问题发现：当时，_______；当时，_______； （2）拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）当时，的大小没有变化，，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查几何变换综合应用，涉及相似三角形的判定和性质，三角形中位线，勾股定理和旋转的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合思想的应用． （1）根据三角形的中位线定理，结合勾股定理和旋转的性质即可得到答案； （2）根据旋转的性质、中位线以及相似三角形的知识，可以得到仍然成立，结合两边与夹角，可以得到，由此可以得到的值； （3）根据题目可知要分：在的上方和在的下方两种情况进行分析，进而结合前面得到的的值，便可以解答本题． 【小问1详解】 解：①当时， ∵中，，，， ∴． ∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； ②当， ∴，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，的大小没有变化，，证明如下： 如图2，由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， ， 在图1中，∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ； ∴在图3中，； 由（2），可得：， ； ②如图4，连接， 同理可得， ； 综上所述，的长为或． 23. 如图，一次函数的图象交反比例函数（，）的图象于，两点，交x轴于点C，P是x轴上一个动点． （1）求反比例函数与一次函数关系式； （2）连接OA、OB，求的面积． （3）若与相似，请写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数求，再求点 坐标，最后将代入一次函数求解析式； （2）先求一次函数与轴交点坐标，再将的面积分割为和的面积差来计算； （3）若使与相似，因为，则只需① 或②，设，根据比例关系式求点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴反比例函数关系式为； 把代入， 得， 解得， 即； 把、代入，得 解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：对于， 令，则， 解得， ∴， ； 【小问3详解】 解：，，， 如图，作轴，轴，由勾股定理可得： ， ， ， 设， ， 若使与相似，则P在C点左侧， 且只需： ① ， 即， 解得， 即 ； ②， 即， 解得， 即． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形面积计算，相似三角形存在性，掌握相关知识是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $