精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

2026届高三年级第三次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再利用交集概念求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ） A. 且 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解. 【详解】由复数是纯虚数， 得 解得:. 故选:C. 3. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可. 【详解】由. 因为，所以． 故选:A. 4. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 5. 如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据体积之比可得半径之比，即可根据圆锥和圆台的侧面积的公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径分别为，它们的母线长分别为. 因为，所以.从而， 即，.所以· 故选：D 6. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立，求解即可. 【详解】， 令，得， 因为函数在恰好有5个零点， 所以函数在上恰有5条对称轴． 当时，， 令， 则在上恰有5条对称轴，如图： 所以，解得． 故选：B． 7. 已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解． 【详解】如图， 设，内切圆圆心为，内切圆在，，上的切点分别为，，， 则，，， 由及双曲线的定义可知， 故则， 所以， 故四边形是正方形， 得，于是， 故，得， 于是， 在△中，由余弦定理可得： ， 从而，． 故选：B． 二、多选题 9. 已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，线段长的最小值为 C. 半径的取值范围是 D. 当时，有最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简直线为，进而可判定A正确；利用弦长公式，求得的最小值，可判定B正确；根据直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，可判定C不正确；结合向量的数量积的公式，以及直线与圆的位置关系，可判定D正确. 【详解】由直线，可化为， 由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确； 当时，圆的方程为，可得圆心， 则，可得线段长的最小值为，所以B正确； 因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部， 所以，解得，所以C不正确； 当时，圆的方程为， 则， 当直线过圆心，此时，可得的最小值， 所以有最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可. 【详解】由题意，，， 所以，又， 可得，又， 所以，所以. 因为， 所以不是函数的对称轴，A错； ， 所以是对称中心，B正确； 时，， 所以在上单调递增，C正确； ，， 所以或， 即或， 又， 所以，它们的和为，D正确. 故选：BCD 11. 非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分析函数，的对称性和周期性，由此分析选项是否正确，综合得到答案. 【详解】根据题意，因为为奇函数，所以， 所以，变形可得，， 因为为偶函数，所以， 所以，变形可得，， 综合可得， 则有，故有， 所以是周期为的周期函数； 由于，两边同时求导可得：， 变形可得， 由于，两边同时求导可得：， 即， 综合可得，则有， 故有，， 所以是周期为的周期函数； 对于A，取符合题意，但，故选项A错误； 对于B，因为是周期为的周期函数，且， ，故选项B正确； 对于C，因为是周期为的周期函数， 则有，故选项C正确； 对于D，因为是周期为的周期函数，且， ， 故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由乘法原理求出展开式中的项即可得解. 【详解】由题可得展开式中的项为， 故展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知向量，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，然后由求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知正实数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将等式变形，构造函数，利用函数单调性得到，对变形后使用基本不等式求解最小值. 【详解】变形为， 则，即， 令，则恒成立， 则，单调递增， 又，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为2. 故选：A 四、解答题 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若点在边上，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由可得，结合余弦定理列出方程，即可求得，再由三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意得， 所以，故 因为，. 【小问2详解】 设，则， 在中，有. 在中，有. 又，所以， 所以有.又，所以. 在中，由余弦定理可得. 又，，， 所以有. 联立，解得 ，所以， 所以. 16. 已知（且），设，，…，是首项为4，公差为2的等差数列． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，数列的前项和为，当时，求． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，因此，可证明为定值，且，由等比数列定义即得证； （2）化简可得，乘公比错位相减求和即得解. 【详解】（1）由题意，可得， 即，所以． 所以为定值，又 所以数列是以（且）为公比的等比数列． （2）． 当时，， 所以，① ，② ①–②，得 ， 所以． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示. （1）求证：平面； （2）设线段的中点为，求平面与平面所成的二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）因为平面平面，应用面面垂直性质定理得出线面垂直； （2）应用三条线两两垂直，建系求出平面与平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 又因为，，所以，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，又因为，所以平面，平面，所以， 故两两垂直,以A为原点 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图, 则是平面的一个法向量， 因为， 则, ， 设是平面的一个法向量, 则,即， 取，得，， 设平面与平面所成的二面角为, 则， 故平面与平面所成的二面角的余弦值为. 18. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表： 选考物理､化学､生物的科目数 1 2 3 人数 10 40 50 （1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率； （2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望； （3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题，可知总情况数为，2人选考科目数量分别为1，2，3的情况数，据此可得答案； （2）由题意可知的可能取值分别为，分别求得时概率即可得答案； （3）由题可得随机抽取1人，选考科目数为2的概率为，又，即4人中有2人，3人，4人选考科目数为2，即可得答案. 【小问1详解】 记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A，则 两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为，数目为2的为，数目为3的有，则.； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值分别为. 为0时对应概率为（1）中所求概率：； 为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3： ； 为2时，1人为1，1人为3：. 则分布列如图所示： 0 1 2 故的期望为； 【小问3详解】 所调查的100名学生中物理､化学､生物选考两科目的学生有40名，相应的频率为，则4人中随机1人选考2科的概率为. 又，当时，相应概率为；当时，相应概率为；，相应概率为. 则 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分、两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证．令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为， 所以，其中. ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得. 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 解：（i）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. （ii）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第三次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ） A. 且 B. C. D. 或 3. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥和一个圆台，若圆锥的体积是圆锥PO体积的，则圆锥与圆台的侧面积的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有三个不同的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，线段长的最小值为 C. 半径的取值范围是 D. 当时，有最小值为 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 与图象的所有交点的横坐标之和为 11. 非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______． 13. 已知向量，，且，则__________. 14. 已知正实数满足，则的最小值为________. 四、解答题 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若点在边上，，，，求的面积. 16. 已知（且），设，，…，是首项为4，公差为2的等差数列． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，数列的前项和为，当时，求． 17. 如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示. （1）求证：平面； （2）设线段的中点为，求平面与平面所成的二面角的余弦值. 18. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表： 选考物理､化学､生物的科目数 1 2 3 人数 10 40 50 （1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率； （2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望； （3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $