精品解析：福建省莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 2025.11 考试时间：120分钟 审题人：高二数学备课组 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的位置填写自己的准考证号、班级、姓名. 2.客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题部分采用电脑智能阅卷，考生须用0.5毫米黑色字迹签字笔在填空题指定题号区域规范书写.解答题部分须在答题卡指定区域做答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由于，可得，， 所以， 故选:A 2. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角的向量公式，即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 所以， 所以. 故选：A 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 4. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然为直角三角形，且为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设的中点为，由， 所以，由 所以的方程为， 所以欧拉线的一般式方程为. 故选：C. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 6. 数列中，，点在经过的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线l的方程，代入得递推公式，构造等比数列求出通项即可. 【详解】由题意，，， 代入得，即， 又由于，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 则，， 所以， 故选：D. 7. 《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，解方程即可得解. 【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为， 可得， 所以， 解得. 故选：B. 8. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，全部选对得6分.） 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意列方程求得公比，可判断A;求出，利用等比数列定义可判断B；利用，可判断C；求出，可得的通项公式，判断D. 【详解】根据题意，等比数列中，，即， 又由，可得 或, 又由公比q为整数，则当时,有 ，当时, ，不合题意； 对于A，，A正确； 对于B，又由 ，则 ，则， 则，该比值不是常数，故数列不是等比数列，B错误， 对于C， ，则 ，C正确， 对于D，， 为等比数列，则 ， 故 ，数列是公差为的等差数列，D错误； 故选： ． 10. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可. 【详解】对于A，由定义可得：，正确， 对于B，由为零向量，可得， 因为，是非零向量，所以存在非零常数，使得， 即 ，B正确， 对于C，由， 则， ， 由于，是平面内的两个不共线的向量，所以平面的法向量可以是，正确； 对于D，取 ， 则，则， ， 满足， 而此时，夹角为，D错误， 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 13. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解之可求得答案. 【详解】因为，，三个向量共面，所以设，即， 所以，解得， 故答案为：5. 14. 棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，设平面的法向量，利用空间向量法求点到平面距离得到关于的表达式，从而得解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，即， 点到平面距离为，即， 联立，解得， 所以到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，利用求点面距离的向量法得到相关式子，从而得解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 根据下列条件，写出直线方程的一般式： （1）经过点，且倾斜角为； （2）经过点和点 （3）经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】（1） （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； 【小问2详解】 因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； 【小问3详解】 当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 16. 已知正四棱柱，，，其中为的中点. （1）求直线与平面夹角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解即可； （2）利用空间中点到平面的距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 如图所示，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面夹角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）得， 平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 17. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设， ⑧ 则． ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，N是PB的中点，点M，Q分别在线段PD与AP上，且，. （1）当时，求平面MDN与平面DNC的夹角大小； （2）若平面PBC，证明：. 【答案】（1） （2）证明：，，设平面PBC的法向量为， 则，取，可得， 因为，，所以，， 则，因为平面PBC， 所以，即， 所以，即， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面MDN与平面DNC的夹角； （2）利用空间向量法把线面平行转化为得向量垂直，从而利用数量积的运算化简即可证明； 【小问1详解】 因为，底面， 如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 当时，、、、、、、 ，则，，， 设平面MDN的法向量为，则， 取，可得， 设平面DNC的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面MDN与平面DNC的夹角为，所以，所以， 故平面MDN与平面DNC的夹角为. 【小问2详解】 略 19. 如图，直线与相交于点P．直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点．点的横坐标构成数列． （1）证明：； （2）求数列的通项公式； （3）比较与的大小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，可知与，与的坐标关系，利用所在直线方程，直接代入坐标，建立方程，整理可得答案； （2）根据（1）的递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （3）分别求出与，作差构造函数，利用函数的单调性，可得大小，利用数列的通项公式，求得，再构造函数，利用函数研究与的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 由题意，可知与的横坐标相同，与的纵坐标相同，则点的横坐标为， 将代入，解得，则与的纵坐标为， 将其代入，可得，，，故. 【小问2详解】 由（1）中，则数列是以为公比的等比数列， 对于直线，令，可得，解得，则点的横坐标， 故数列的通项公式为，， 故. 【小问3详解】 由（2）可得，联立可得，解得，则， 即，； ， 令，易知函数为偶函数且在单调递增， 令，可得，则，，解得， 则当时，，当时，， 即当时，，当时，， 由（2）中得到的，令， 解得，则当时，， 则， 令 当时，易知函数在是单调递增的，则，，，即； 当时，易知函数在是单调递减的，则，，即； 综上，当时，； 当时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 2025.11 考试时间：120分钟 审题人：高二数学备课组 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的位置填写自己的准考证号、班级、姓名. 2.客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题部分采用电脑智能阅卷，考生须用0.5毫米黑色字迹签字笔在填空题指定题号区域规范书写.解答题部分须在答题卡指定区域做答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，考生必须将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 2. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面的所成的角等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 数列中，，点在经过的直线l上，则（ ） A. B. C. D. 7. 《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 8. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，全部选对得6分.） 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列前项和为，则______. 13. 已知，，，若、、三向量共面，则实数等于_____. 14. 棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 根据下列条件，写出直线方程的一般式： （1）经过点，且倾斜角为； （2）经过点和点 （3）经过点，在x，y轴上有相等的截距． 16. 已知正四棱柱，，，其中为的中点. （1）求直线与平面夹角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，N是PB的中点，点M，Q分别在线段PD与AP上，且，. （1）当时，求平面MDN与平面DNC的夹角大小； （2）若平面PBC，证明：. 19. 如图，直线与相交于点P．直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点．点的横坐标构成数列． （1）证明：； （2）求数列的通项公式； （3）比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $