精品解析：湖北省鄂北六校2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025-2026学年上学期期中考试 高三数学试题 时间：120分钟分值：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解分式不等式，结合指数函数的值域再求交集即可. 【详解】，， 故选：D. 2. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积和模的坐标表示求出，，，再由三角形的面积公式求解即得. 【详解】由，，则，， ， ， 因，故，则， 所以的面积为. 故选：A. 3. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断. 【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立， 若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立， 故选：. 4. 任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 5. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可. 【详解】由于，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 6. 已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断. 【详解】由，，得，则，所以， 由和得， 结合， ， 故使得的的最小值为4049. 故选：B 7. 已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即可得. 【详解】令，则， 所以，或，， 则，或，， 所以相邻交点最小的距离为，最大距离为， 由的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点， 最多有4个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于， 相邻五个交点之间的最小距离大于， 又两个周期T的距离内最多个交点， 所以，且，所以. 故选：D 8. 已知，，其中，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性. 解法一：构造，通过分析的单调性得到，进而结合在的单调性，即可得解. 解法二：通过两式相减引入变量，将表示为关于的函数，再构造函数，利用导数分析其单调性即可得解. 【详解】令，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，所以， 又，不妨设. 解法一：记，，设，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，， 则， 又因为，，且在上单调递减， 所以，则，所以. 解法二：由，，两式相减，可得，令， 则，，，所以. 令，，则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 所以. 故选：C. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若为复数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过反例可说明BD错误；设，，根据复数和运算与共轭复数的定义可知A正确；根据复数乘法、共轭复数定义和模长运算可求得C正确. 【详解】对于A，设，， 则，； ，，A正确； 对于B，若，则，，则，B错误； 对于C，设，则， ，，C正确； 对于D，若，，则， ，，D错误. 故选：AC. 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D. 【分析】对于A，当时，，又，， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，， 故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，又，，故D正确. 故选：ACD. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，为锐角，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， ， 所以.. ， 故答案为： 13. 已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围. 【详解】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列共有项，其中项为1，项为0.若数列满足对任意，，，…，中的1的个数不少于0的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为______，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据定义列出当，条件下的所有“规范数列”，由此可得第一空结论，结合组合数定义确定有个1，2个0，，时数列的个数，再求其中“规范数列”的个数，结合古典概型概率公式求结论. 【详解】（1）当，时，满足要求的“规范数列”有 1，1，1，0，0，0； 1，1，0，1，0，0； 1，1，0，0，1，0； 1，0，1，1，0，0； 1，0，1，0，1，0； 所以当，时，“规范数列”的个数为5. （2），，，时， 具有“规范数列”数列特征的数列的个数为， 当，，时，由已知数列共有项，其中项为1，2项为0， 所以满足条件的数列的个数为， 若数列为“规范数列”，则第一项为1， 若第一项为1，第二项为1时，“规范数列”个数为， 当第一项为1，第二项为0，第三项必然为1，此时“规范数列”个数为， 所以. 故， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，. 故答案为：5；. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角，，的对边分别是，，，若，且 （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合及，求出，即可得出的取值. （2）由正弦定理将表示为角的正弦形式，利用三角恒等变换将转化为一个三角函数的形式，再根据锐角三角形的条件确定角的范围，进而求出三角函数的值域，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又因为，所以，而是锐角三角形，则，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 则， 所以， 又是锐角三角形，则，，所以， 所以，所以， 所以，即的取值范围是. 16. 已知函数，，是的两个极值点，且. （1）求的解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式和周期公式即可求解； （2）由正弦函数的单调性通过整体代换即可求解； （3）求得在上的值域，再由在上恒成立，构造不等求解即可. 【小问1详解】 ， 由，是的两个极值点，且得的最小正周期， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，， 而在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由解得， 由解得， 所以在上的单调增区间为，； 【小问3详解】 因为，所以， 故，所以， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以，解得. 所以满足题意的实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案详见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间； （2）运用转化法，结合导数的性质和数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. ①当时，由，知函数在内单调递增； ②当时，由，即得； 由，即得. 所以，函数在内单调递增，在内单调递减. 因此，当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增；在内单调递减； 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的正实数根， 即，设函数， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即函数的最大值为：， 由，由， 因此函数的图象如下图所示： 要想方程有两个不相等的正实数根， 只需函数的图象有两个交点，即， 实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数的极值个数可以转化为函数导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象的交点个数问题，利用导数和数形结合思想进行求解即可. 18. 在中，，，为边的中点. （1）求证：； （2）求中线的取值范围； （3）当取得最大值时，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正、余弦二倍角公式得到，进而得到，可求证； （2）设，由余弦定理得到，得到，即可求解； （3）由余弦定理和基本不等式得到的最小值为，得到的最大值为，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ， 即， 整理得，， ， ，即. 【小问2详解】 设， 在中，，， 由余弦定理知，， 在中，，， 由余弦定理知，， ，整理得， 在三角形中，两边之和大于第三边，，， ， 【小问3详解】 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，，， 的最大值为； 此时不妨设，则， 又，为边的中点，则， ，， 为边的中点，， 又，则是边长为2的正三角形， . 19. 已知函数. （1）若对任意的，，求实数的取值范围； （2）设， （i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析 ；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得，记，利用导数研究单调性求最大值即可求解； （2）（i）由，利用导数研究单调性结合零点存在性定理即可得证； （ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由可得，记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取到最大值，且最大值为，故， 实数的取值集合为； 【小问2详解】 （i）证明：，则， 当时，由，，得，此时无零点， 当时，，在上单调递增， 由于，， 由零点存在性定理得在有唯一的零点， 综上可知：对任意正整数，函数有唯一的零点 （ii）设， 则当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 故，故，当且仅当时取等号， 由（i）知，是函数唯一零点，且，则，得，故， 所以，则，又因为， 所以， 即， 再由可得，当且仅当时取等号， 由得， ，即，则， 当且仅当时取等号， 当时， ， 由得，， 所以， 故， 则，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试 高三数学试题 时间：120分钟分值：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 7. 已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，其中，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若为复数，则下列选项一定正确是（ ） A. B. C. D. 10. 中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 若且有唯一解，则 C. 若，则 D. 若，则面积最大值为 11. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（ ） A. B. C. D. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，为锐角，，，则_____. 13. 已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为___. 14. 已知数列共有项，其中项为1，项为0.若数列满足对任意，，，…，中的1的个数不少于0的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为______，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为______. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知锐角的内角，，的对边分别是，，，若，且 （1）求； （2）求的取值范围. 16. 已知函数，，是的两个极值点，且. （1）求的解析式； （2）求在上单调递增区间； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 18. 在中，，，为边的中点. （1）求证：； （2）求中线的取值范围； （3）当取得最大值时，求的面积. 19. 已知函数. （1）若对任意的，，求实数的取值范围； （2）设， （i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点； （ii）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $