精品解析：福建省三明市三元区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

三元区2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件通过大量重复试验发生的频率与概率的关系求解即可． 【详解】掷图钉钉尖朝上为随机事件，通过大量的试验，该事件发生的频率稳定在，于是可以把频率估计成该事件发生的概率． 故选：C． 【点睛】本题主要考查用频率估计概率，牢记随机事件的频率与概率的关系（可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率）是解题的关键． 2. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】∵ 是方程的解， ∴ ，即， ∴ ， 故选：D． 3. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零且二次项系数不为零，求出k的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵ 二次项系数， ∴， ∴且， ∴ k的值可以是． 故选：A 5. 嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 6. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 8. 茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形得到，由矩形得到，，进而求得，从而，得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 9. 如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 即树的高度为； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则= ________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得3a=2b,b=a，代入即可求解. 【详解】∵ ， ∴3a=2b,即b=a， ∴== . 故答案为： . 【点睛】本题考查比例的性质. 12. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 13. 袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有___个． 【答案】3 【解析】 【详解】∵摸了100次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率= =0.3， ∵袋子中有红球、白球共10个，∴这个袋中红球约有10×0.3=3个， 故答案为3. 14. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，对角线平分对角，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 故答案为：． 15. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则可以列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则6月份的销售量为万辆，据此列出方程即可． 【详解】解：设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E从点B出发向点A运动，将沿折叠得到，交于点G．则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．推出，再证明，求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， 将沿折叠得到， ， ， 求的最大值，只要求出的最小值即可，此时， ， ， ， ， ， 即， ， 的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 18. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，连接．延长至F，使，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，，则可得，然后根据定理即可得证． 【详解】略 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，由得到，将，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 和是一元二次方程的两个根， ，， ∵， ∴， ， 解得． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 21. 如图，在中，点D为边上一点． （1）用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，，求的值． 【答案】（1）作图见详解 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-利用平行线分线段成比例定理，比例的基本性质及方程的求解． （1）要在边上作一点E，使得，可利用平行线分线段成比例定理，过点D作交于点E，此时点E即为所求，因为，根据平行线分线段成比例定理，可得； （2）先计算的长度，利用平行线截线段成比例定理列比例式，设未知数并代入比例式求解，最终求解x的值即为的长． 【小问1详解】 解：如图所示为所求： 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴的值为4． 22. “秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用周末开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“数一数二”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 小组名称 数一数二 活动时间 2024.10.26 小组成员 小明等10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 每千克每涨价1元，每天少销售2千克． 解决问题 问题1 涨价x元时，每天销售螃蟹的重量是多少千克？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，则螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】问题1：千克；问题2：55元/千克 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．用代数式表示，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 问题1：由题意知，每涨价1元，每天少销售2千克，用代数式表示式即可． 问题2：设市场想一天销售螃蟹获得总利润为元，螃蟹的售价为y元/千克，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：问题1： ∵每涨价1元，每天少销售2千克， ∴涨价x元时，每天销售重量为 千克 问题2：设市场想一天销售螃蟹获总利润为元，螃蟹的售价为y元/千克， 则涨价额为元， 每天销售重量为千克， 每千克利润为元， 总利润为， 整理得，， ∴， 解得，，， ∵要为顾客谋实惠， ∴价格为元/千克． 23. 【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，跨学科物理学知识，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； （2）根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； （2）如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ． 24. 学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据题意写出已知，求证，然后通过设元，将问题转化为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 25. 如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O． （1）当时， ①当点G与点A重合时，如图1，求证：； ②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：． （2）如图3，当时，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质以及，可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可证； ②作辅助线构造直角三角形，由此可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，再根据边长可得点C为的中点，由中位线的性质可得，由此可证． （2）作辅助线构造平行四边形与，根据勾股定理可求，再由角边角证明和全等，由此可得，，再由边角边的方法证明和全等，再由勾股定理求解的长度，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即点C为的中点， 又∵点H为的中点， ∴， 又， ∴，即． 【小问2详解】 解：过点D作交于点K， 作，交延长线于点M，如图 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 整理可得，解得， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形，平行四边形的性质，解决本题的关键是作适当的辅助线，构造平行四边形与全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三元区2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在附近，则可估计钉尖朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3. 若a，b，b，c是成比例的线段，其中，，则线段b的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 15 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A. B. C. D. 8. 茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明在A时测得某树的影长为时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知，则= ________． 12. 方程的根为_______． 13. 袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有___个． 14. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 15. 某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加万辆，设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，则可以列方程为________． 16. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E从点B出发向点A运动，将沿折叠得到，交于点G．则的最大值为______． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程． （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，连接．延长至F，使，连接．求证：． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两个根满足，求m的值． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 21. 如图，在中，点D为边上一点． （1）用尺规在边上求作一点E，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，，求的值． 22. “秋风起，蟹脚痒”，某学校九年级利用周末开展社会实践活动，调查某种规格的螃蟹价格．如表是“数一数二”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． ××学校社会实践记录表 小组名称 数一数二 活动时间 2024.10.26 小组成员 小明等10名同学 地点 农贸市场 实践内容 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 螃蟹的进价为40元/千克． 螃蟹售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 每千克每涨价1元，每天少销售2千克． 解决问题 问题1 涨价x元时，每天销售螃蟹的重量是多少千克？ 问题2 若市场想一天销售螃蟹的总利润为1350元，则螃蟹的售价为多少元/千克？ 23. 【问题背景】 （1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度； 【活动探究】 （2）观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度． 24. 学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 25. 如图，正方形中，点分别在上，G是上一点，连接，与交于点O． （1）当时， ①当点G与点A重合时，如图1，求证：； ②平移图1中线段，使G点与点D重合，F点在延长线上，此时．连接，取中点H，连接，如图2，求证：． （2）如图3，当时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $