分式方程的求解、分式方程的应用中的经济问题、行程问题、和差倍分问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

分式方程的求解、分式方程的应用中的经济问题、行程问题、和差倍分问题专项训练 分式方程的求解、分式方程的应用中的经济问题、行程问题、和差倍分问题专项训练 考点目录 分式方程的求解 分式方程的应用：经济问题 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：和差倍分问题 考点一 分式方程的求解 例1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：方程可变形为 方程两边都乘以， 得 ， 解这个方程，得 ， 检验：将代入原方程的两边， 左边，右边， ∵左边=右边， ∴是原分式方程的根； （2）解：方程可变形为 方程两边都乘以，得 解这个方程，得     ， 检验：当 时，原方程分式和的分母为零， ∴是原方程的增根，应舍去． 故原方程无解． 例2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）去分母，得， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， 是增根， 原方程无解． 例3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1） 解：方程两边乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 经检验，是原方程的解； （2） 解：方程两边乘，得， 由平方差公式，得， 化简，得， ∴， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 例4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ，     ∴     检验：当时，， 所以原方程的解为x=2． （2）解：方程两边同乘，得 ，     ∴ 检验：当时，， 所以原方程无解. 变式1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)该方程无解 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 经检验， 使得， 则为增根， 故该方程无解． （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 变式2．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 则， 解得：， 检验：当时，分母，原方程有意义， ； （2）解：， 去分母得， 则， 则， 则， 解得：， 检验：当时，，原方程无意义， 是原方程的增根． 原方程无解． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ， 解得：， 当时，， 是增根，分式方程无解． 变式4．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 考点二 分式方程的应用：经济问题 例1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 例2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 【答案】(1)购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元 (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台 【详解】（1）解：设购买甲种外骨骼机器人的单价为万元，则购买乙种外骨骼机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：购买甲单价为1.5万元，购买乙单价为1.2万元． （2）解：设购进甲种外骨骼机器人台，则购进乙种外骨骼机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为46． 答：该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人46台． 例3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． (1)羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ (2)该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 【答案】(1)羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副 (2)每个排球的采购价为75元 【详解】（1）解：设购进副羽毛球拍，副网球拍， 依题意得：解得 答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副． （2）解：设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：每个排球的采购价为75元． 例4．（23-24八年级下·四川雅安·期末）雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元 (2)每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元 【详解】（1）解：设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元； （2）解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元； (2)政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元； （2）设政府需要购买y个单枪新能源充电桩，则需要购买个双枪新能源充电桩， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)6 (2)11 【详解】（1）解：设第一批饮料进货单价为元，则第二批饮料进货单价为元， 依题意得：，解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：第一批饮料进货单价为6元． （2）第一批饮料购进数量为：（瓶）， 第二批饮料购进数量为：（瓶）， 设销售单价为元， 依题意得：，解得， 答：销售单价至少为11元． 变式3．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2)该超市最多购进B型文具袋个； 【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 变式4．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元 (2)A种商品至少购进10件 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； （2）解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 考点三 分式方程的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 【答案】(1)A采血点运送车辆的平均速度是，B采血点运送车辆的平均速度是 (2)B采血点采集的血液不会变质 【详解】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为； （2）解：采血点运送车辆的行驶时间为． 依题意，， ∴采血点采集的血液不会变质． 例2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 【答案】204公里/小时 【详解】设高铁的平均速度为x公里/小时，          解：，     检验：当时，． 所以 是原方程的解，且符合题意，     答：高铁的平均速度为204公里/小时． 例3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少． 【答案】走甲路线的平均速度为千米/时，走乙路线的平均速度为48.6千米/时 【详解】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时， ， 解得． 检验：是原方程的解，且符合题意． 乙的速度：（千米/时）． 答：走乙路线和走甲路线的平均速度分别是48.6千米/时和千米/时． 例4．（25-26八年级上·河北保定·期中）科技节期间，学校组织八年级学生乘坐大巴前往科技馆参观，手机导航推荐了两条路线，如下表所示： 平均行驶速度 行驶时间 全程 路线一 x 80 路线二 88 (1)若设大巴车在路线一中的平均行驶速度为，请用含的代数式将表格补充完整； (2)若路线二行驶的时间比路线一少，求大巴车分别在两条路线上行驶时的平均速度． 【答案】(1) (2)大巴车在路线一上行驶时的平均速度是，在路线二上行驶时的平均速度是 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， （1）根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设路线一上平均时速为x千米/小时， 则路线二上行驶的平均时速为千米/小时，根据路线二行驶的时间比路线一少列出分式方程并求解即可得出答案． 【详解】（1）路线一的行驶时间是：， 路线二的行驶时间是：； 故答案为：，． （2）由题意可列方程：= 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ∴， 答：大巴车在路线一上行驶时的平均速度是，在路线二上行驶时的平均速度是． 变式1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 (2)13500 【详解】（1）解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； （2）解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 变式2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【详解】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 变式3．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【详解】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 变式4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 【答案】地铁的平均速度为40千米/时 【详解】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：地铁的平均速度为40千米/时． 考点四 分式方程的应用：和差倍分问题 例1．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 例2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 【答案】第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为 【详解】解：设第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为，根据题意得 ， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为，则第二根水管进水速度为． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 例4．（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【答案】16元 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 变式1．（2025·陕西榆林·三模）今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 【答案】该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》 【详解】解：设该影院大年初二上映了场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了场． 由题意得，． 解得． 经检验为原方程的解，且符合题意． 答：该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》． 变式2．（2025·吉林长春·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 变式3．（2025·云南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来如同踩上“风火轮”，票房屡破纪录，哪吒周边产品也持续火爆．某公司决定购买、两种哪吒周边产品作为“公司评星”活动的奖品，已知种哪吒周边产品的单价比种多30元，预算资金为1500元，其中500元购买种哪吒周边产品，剩余资金购买种哪吒周边产品，且购买种哪吒周边产品的数量是种哪吒周边产品数量的．求，两种哪吒周边产品的单价． 【答案】种哪吒周边产品的单价为50元，种哪吒周边产品的单价为20元 【详解】解：设种哪吒周边产品的单价为元，则种哪吒周边产品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：种哪吒周边产品的单价为50元，种哪吒周边产品的单价为20元． 变式4．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式方程的求解、分式方程的应用中的经济问题、行程问题、和差倍分问题专项训练 分式方程的求解、分式方程的应用中的经济问题、行程问题、和差倍分问题专项训练 考点目录 分式方程的求解 分式方程的应用：经济问题 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：和差倍分问题 考点一 分式方程的求解 例1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）解方程： (1)； (2)． 例2．（25-26八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 例4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）解分式方程： (1) (2)． 变式1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）解下列方程： (1) (2) 变式2．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）解分式方程： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）解分式方程： (1)； (2)． 考点二 分式方程的应用：经济问题 例1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 例2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）综合与实践 问题背景：某景区计划购置甲、乙两种型号的外骨骼机器人，销售信息和购买计划如下： 信息1：已知甲种外骨骼机器人的单价比乙种外骨骼机器人的单价多0.3万元，花150万元购进甲种外骨骼机器人的数量是花100万元购进乙种外骨骼机器人数量的1.2倍． 信息2：该景区计划购进甲、乙两种外骨骼机器人共80台，且经费预算不超过110万元． 问题解决： (1)求购买甲、乙两种外骨骼机器人的单价分别是多少万元； (2)该景区最多可以购进甲种外骨骼机器人多少台？ 例3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． (1)羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ (2)该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 例4．（23-24八年级下·四川雅安·期末）雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 变式2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某超市用1800元购进一批饮料，面市后供不应求，又用7200元购进这批饮料，第二批饮料数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4200元，那么销售单价至少为多少元？ 变式3．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 变式4．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． (1)求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ (2)商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 考点三 分式方程的应用：行程问题 例1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 例2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）列方程解应用题 高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式．某地去北京原来只有动车，动车路程为610公里．高铁开通后，路程缩短了100公里，高铁的平均速度比动车的平均速度快了82公里/小时，时间缩短为原来的一半．问高铁的平均速度为多少公里/小时？ 例3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少． 例4．（25-26八年级上·河北保定·期中）科技节期间，学校组织八年级学生乘坐大巴前往科技馆参观，手机导航推荐了两条路线，如下表所示： 平均行驶速度 行驶时间 全程 路线一 x 80 路线二 88 (1)若设大巴车在路线一中的平均行驶速度为，请用含的代数式将表格补充完整； (2)若路线二行驶的时间比路线一少，求大巴车分别在两条路线上行驶时的平均速度． 变式1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． (1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． (2)电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 变式2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 变式3．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 变式4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 考点四 分式方程的应用：和差倍分问题 例1．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 例2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 例3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 例4．（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 变式1．（2025·陕西榆林·三模）今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 变式2．（2025·吉林长春·二模）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 变式3．（2025·云南·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来如同踩上“风火轮”，票房屡破纪录，哪吒周边产品也持续火爆．某公司决定购买、两种哪吒周边产品作为“公司评星”活动的奖品，已知种哪吒周边产品的单价比种多30元，预算资金为1500元，其中500元购买种哪吒周边产品，剩余资金购买种哪吒周边产品，且购买种哪吒周边产品的数量是种哪吒周边产品数量的．求，两种哪吒周边产品的单价． 变式4．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $