分式方程的应用：经济问题、工程问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

分式方程的应用：经济问题、工程问题专项训练 分式方程的应用：经济问题、工程问题专项训练 考点目录 经济问题 工程问题 考点一 经济问题 例1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买排球时，甲种排球比乙种排球的单价低10元，且用1950元购买甲种排球与用2250元购买乙种排球的数量相同，求甲、乙两种排球的单价各是多少元？ 【答案】甲种排球的单价是65元，乙种排球的单价是75元 【详解】解：设甲种排球的单价是x元，则乙种排球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种排球的单价是65元，乙种排球的单价是75元． 例2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】(1)该商店“湘湘”的购进单价为30元 (2)“超超”的售价最低应该定为每件42元 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； （2）解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 例3．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 【答案】(1)型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； (2)采购型货车台，型货车台． 【详解】（1）解：设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨， 根据题意，得方程， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； （2）解：设该公司采购型货车台，则采购型货车台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴该公司采购方案：采购型货车台，型货车台． 例4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 变式1．（25-26八年级上·云南保山·月考）中秋节品尝月饼是中华民族的传统习俗．某超市在节前采购了甲、乙两种热销口味的月饼，已知采购甲种月饼的费用为12000元，采购乙种月饼的费用为6000元，且采购甲种月饼的数量比乙种月饼多400块，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求该超市采购甲、乙两种月饼的单价； (2)为满足消费者的需求，该超市计划再次采购甲、乙两种月饼共计2000块．若总费用不超过13000元，问最多可采购多少块甲种月饼？ 【答案】(1)甲种月饼的单价为7.5元，乙种月饼的单价为5元； (2)最多可购进1200块甲种月饼． 【详解】（1）解：设乙种月饼的单价为元，则甲种月饼的单价为元． 依题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解， 则． 答：甲种月饼的单价为7.5元，乙种月饼的单价为5元； （2）解：设购进甲种月饼块，则购进乙种月饼块． 依题意，得， 解得． 答：最多可购进1200块甲种月饼． 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 (2)件 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价是元，则款文创产品每件的进价是元， 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 元 答：款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 （2）设购进件种文创产品，则购进件种文创产品，由题意得： 解得： 答：最多可以购进件种文创产品． 变式3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． (1)求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ (2)若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 【答案】(1)甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元 (2)商场最多购买20台甲种洗衣机 【详解】（1）解：设乙种洗衣机每台的进价为x万元，则甲种洗衣机每台的进价为万元． 由题意得：， 解得： 经检验：是原分式方程的解且符合题意， （万元）， 答：甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元； （2）解：设商场购买m台甲种洗衣机，则乙种洗衣机台． 由题意得：， 解得：， 答：商场最多购买20台甲种洗衣机． 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 变式5．（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批进价40元，第二批进价50元 (2)元 【详解】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； （2）设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 考点二 工程问题 例1．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 例2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是30天 (2)甲、乙两队合作完成该工程需要18天 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天； （2）解：由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 由题意得，（天）， 答：甲、乙两队合作完成该工程需要18天． 例3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (2)他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【详解】（1）解：设1班每小时种植，则2班每小时种植．​ 由题意，1班完成任务时间为小时，2班为小时， 解得∶． 2班每小时种植 所以1班每小时种植，2班每小时种植． （2）计算两班能否在乘车前完成任务．​ 两班已制作1小时分钟=​小时． 此时1班完成， 剩余． 2班完成， 剩余． 此后2班需先完成本班剩余，用时​小时（即分钟）， 在2班完成本班剩余任务的分钟内，1班完成了． 此时距集中乘车还剩1小时−分钟=分钟=小时． 两班合作每小时可完成． 在最后的小时内，可共同完成． 但此时1班仍有未完成，而合作只能完成， 因此无法在乘车前完成任务． 答案：不能，因为1班还剩未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成． 例4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意列方程，， 解得：． 答：乙队单独完成这项工程需要天． 变式1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【答案】甲组每天生产个，乙组每天生产个 【详解】解：设甲组每天能生产个专用控制元件， 则乙组每天能生产个专用控制元件， 可列方程为， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， 所以乙组每天分别能生产个专用控制元件， 答：甲组每天生产个，乙组每天生产个． 变式2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 变式3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【答案】(1)台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2)； (3)购买型台，型台． 【详解】（1）解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； （2）解：依题意得：， 整理得：； （3）解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立， 解得：， 答：购买型台，型台． 变式4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】(1)甲队每天施工千米，乙队每天施工千米 (2)千米 【详解】（1）解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． （2）解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 变式5．（24-25八年级上·吉林·期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择甲工程队 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， 从资金的角度考虑，学校应选择乙工程队， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 综上：从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理，学校应选择甲工程队． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式方程的应用：经济问题、工程问题专项训练 分式方程的应用：经济问题、工程问题专项训练 考点目录 经济问题 工程问题 考点一 经济问题 例1．（25-26八年级上·北京顺义·期中）为了提高学生体育锻炼的意识和能力，丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买排球时，甲种排球比乙种排球的单价低10元，且用1950元购买甲种排球与用2250元购买乙种排球的数量相同，求甲、乙两种排球的单价各是多少元？ 例2．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 例3．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 例4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 变式1．（25-26八年级上·云南保山·月考）中秋节品尝月饼是中华民族的传统习俗．某超市在节前采购了甲、乙两种热销口味的月饼，已知采购甲种月饼的费用为12000元，采购乙种月饼的费用为6000元，且采购甲种月饼的数量比乙种月饼多400块，甲种月饼的单价是乙种月饼单价的1.5倍． (1)求该超市采购甲、乙两种月饼的单价； (2)为满足消费者的需求，该超市计划再次采购甲、乙两种月饼共计2000块．若总费用不超过13000元，问最多可采购多少块甲种月饼？ 变式2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）“如果你有时间，你一定要来一趟岳阳，吹吹洞庭湖的晚风，逛逛灯火璀璨的汴河街，看看啃笋打盹的熊猫”，节假日里，岳阳这座城市吸引了国内外很多游客，岳阳中华大熊猫苑游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受游客喜爱．国庆期间，熊猫苑某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品的数量相同，每件款文创产品的进价比款文创产品的进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价； (2)根据市场需求，该商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，求款文创产品最多购进多少件？ 变式3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． (1)求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ (2)若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 变式4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 变式5．（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 考点二 工程问题 例1．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 例2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 例3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 例4．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 变式1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 变式2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 变式3．（25-26八年级上·广西来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． (1)1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ (2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； (3)在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 变式4．（25-26八年级上·山东聊城·期中）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 变式5．（24-25八年级上·吉林·期末）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $