二次函数：二次函数与一元二次方程、面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

二次函数：二次函数与一元二次方程、面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 二次函数：二次函数与一元二次方程、面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 面积问题 特殊三角形存在性问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论中：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，⑥抛物线图像上有任意两点，若，则，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴对称轴，即， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， 与 轴交于正半轴， ∴， ∴，故②错误； 方程，即， ∵顶点， ∴直线与抛物线相切， ∴有两个相等实数根，故③正确； ∵对称轴，一个交点， ∴另一交点横坐标为，即，故④错误； 当时，抛物线在直线上方， ∴，故⑤正确； ∵抛物线开口向下，对称轴， 当 时，随增大而减小， 取，则，与矛盾，故⑥错误； ∴ 正确结论有①③⑤，共3个． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为，即， ∴． ∵抛物线与轴交点在正半轴， ∴． ∴，故A错误． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故B错误． 当时，， 由图象可知，当时，， ∴，故C正确． 当时，，又，则， 由图象可知，当时，， ∴，故D错误． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， 即， ∴，即，故①正确； ∵开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②错误； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，故③正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，抛物线是最小值， ∴当时，直线与抛物线有两个交点， ∴当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是①③④． 故选：A． 例4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号，即； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； B．根据对称轴得，，即， 整理得，该选项错误，不符合题意； C．当时，， ∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，符合题意； D．由图象可得，当时，， 将代入，得， 即，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 例5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知二次函数（为常数，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则；④不等式的解集为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数（a，b，c为常数，，）的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即抛物线开口向下． ∵对称轴为直线，图象与x轴的一个交点坐标为， ∴图象与x轴的一个交点坐标为， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，均在该二次函数图象上，且， ∴，故②错误； 在中，当时，， ∵， ∴， ∴抛物线与直线必有两个交点， ∵方程的两个实数根为，，且， ∴，即为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵函数开口向下， ∴直线与抛物线的两个交点一定在直线和直线之间， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 则不等式变为， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴不等式的解集为，故④正确． 故正确结论为①③④， 故选C． 变式1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的序号是（   ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：对于①：当时，函数与轴有一个交点；当时，判别式，得， ∴或时，图象与轴只有一个交点，故①错误； 对于②：当时，方程，根为整数；当时，方程因式分解为 ，根或，其中为整数根； ∴方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：当 时，，函数开口向上，在内；但当时，函数开口向下，在内， ∴结论不一定成立，故③错误； 对于④：当时，的函数值有正有负，故不恒成立； 当时，若，开口向下，但，有两实根，在根之间； 若 ，函数图象为开口向上的抛物线，函数值可以取到任意大的正数；特别地，时，； ∴不存在实数使对任意成立，故④正确； 综上所述，②④正确， 故选：B. 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 0 1 3 5 7 0 7 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②拋物线的对称轴为直线； ③是关于的一元二次方程的一个根； ④若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是． 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线 ，故结论②错误． 由表格数据可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，又因当时，，可知抛物线开口向上， ∴结论①正确． ∵ 对称轴为直线， ∴ 和关于对称轴对称， 又 ∵ 当时，， ∴ 当 时，，即 ， ∴ ， 故 是方程 的一个根，结论③正确． ∵ 抛物线开口向上，且当和时，， ∴ 当 时， 或 ， 故结论④错误． 综上所述，正确结论为①③． 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线过点， ∴，即 ∴，故②正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线也过点， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴多项式可因式分解为，故④错误； ∵在抛物线上， ∴关于对称轴对称点为也在抛物线上， ∵， ∴，故⑤正确； ∴综上所述，正确的是①②⑤． 故选：B． 变式4．（25-26九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【详解】解：∵ 抛物线与轴有两个交点， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即，结论①正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的横坐标为， ∴ 方程的两个根是，，结论②正确． ∵ 对称轴为直线， ∴ ， 又∵ 抛物线过点， ∴ ，将代入得：， ∴ ，结论③错误． 由图象可知，抛物线在轴上方（包括与轴的交点）时，函数值非负，对应的取值范围是，结论④正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下（由图象可知）， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而增大， ∴ 当时，随增大而增大，结论⑤正确． 综上，①②④⑤正确，共个． 故选：． 变式5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①  ②  ③  ④  ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 对称轴为直线， ， ∴，故③错误 当，代入由图象知： ， ， ， ， 故④正确； 当时，函数有最小值， ， 即，故⑤错误． 综上所述，②④正确． 故选：B． 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的横坐标为或4或2 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， ∴， 将点代入可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为的对称轴为直线， ∴当时，抛物线有最小值； 当时，，当时，抛物线有最小值， ∴抛物线在的最大值为， ∴抛物线在的取值范围为． （3）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴要求的最大值，只需确定的最大值即可， 设直线的解析式为则， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过E作轴交与F， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当，即时，最大，以、、、为顶点组成的四边形的面积最大． （4）解：如图：设， 如图：当为边时，四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为； 如图：当为边时，当四边形是平行四边形时， ，解得：； ∴点的横坐标为4； 如图：当为对角线时，当四边形是平行四边形时，设， ，解得：； ∴点的横坐标为2； 综上，点N的横坐标为或4或2． 例2．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点D的坐标为，面积的最大值； (3)或或． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， 且点的坐标为，点的坐标为， ∴将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）作于H，交于E，连接，，作于F，如图1， ∵， 令，， ∴， 设直线的解析式为：， 将和代入， ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴点D的坐标为，面积的最大值； （3）如图2， 当时， ∵， ，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 综上所述：或或． 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线顶点为，与轴交于点． (1)若抛物线经过，两点，求抛物线的解析式； (2)当时，将抛物线平移得到抛物线，且抛物线恰好经过原点和点； ①求抛物线的解析式（含的式子表示）； ②若抛物线的顶点为，求点纵坐标的最大值； (3)将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为，连接，且线段与轴交于点，在和中，其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍，求的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴； （2）①∵， ∴抛物线：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵抛物线平移得到抛物线经过原点和点， ∴设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②顶点纵坐标：， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴； （3）过作轴交于，过作轴交于， 当时，， ∴点坐标为， 点横坐标为，点横坐标为， ∵， ∴，两点之间的水平距离为1， ∴； 由题意得， ∴或， ∴或， ∵线段与轴交于点， ∴，两点在轴两侧， ∵， ∴在右侧，且在轴右侧，在轴左侧， ∴或， 解得或； 当时，：，：， ∴点坐标为，点坐标为， 设解析式为，， 解得， ∴， 当时，， ∴点坐标为， ∴， ∴； 当时，：，：， ∴点坐标为，点坐标为， 设解析式为，， 解得， ∴， 当时，， ∴点坐标为， ∴， ∴， 综上所述． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线与轴交于点、两点（在左侧），与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点P是抛物线上一点，且点的横坐标为4，求的面积； (3)点M是抛物线上一动点，当的面积为8时，求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)6 (3)或或 【详解】（1）解：令，， 因式分解得， 解得，， 在左侧， ，， 令，， ； （2）解：当时，， ， 如图，连接，设与轴交点为， 设直线解析式为，则， 解得， 直线得解析式为， 令，解得， ∴， ∴， 面积； （3）解：， 设， 面积， ，即或， 当时，，，解得， 当时，，，解得， 综上，M坐标为或或． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与形状相同，开口方向相反，其中抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），且，抛物线与交于点和点． (1)求出的值； (2)若抛物线的解析式为，直线的解析式为． ①若抛物线与上的点的纵坐标同时随着横坐标的增大而增大，求出的取值范围． ②若抛物线交轴于点，是抛物线的顶点，连接，为线段上的一个动点，过点作交于点，记的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），且， ∴，， 把代入，得， 解得； （2）解：①由（1）知：抛物线的解析式为， ∵抛物线与形状相同，开口方向相反， ∴， ∴， 设， 把A、C坐标代入， 得， 解得，， 把A、C坐标代入， 得， 解得， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为 画出两个函数图象如图， 观察图象可知，两个抛物线的顶点之间时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， ∴当以时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； ②由①知：， 对于， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 同理可求直线解析式为， 设 ∵， ∴直线解析式可设为， 则， 解得， ∴， 联立方程组 解得， ∴， 如图，连接，过P作轴于H， ∴ ， 又， ∴当时，有最大值为． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． (1)求的面积． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时P的坐标和S的最大值． 【答案】(1)5 (2)，的最大值为9，此时 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，， ∴； （2）解：设直线的解析式的解析式为：， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点， ∴， ∵轴，交直线于点Q， ∴， ， ∵ ， 当时，的最大值为9，此时． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． (1)若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； (2)抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 【答案】(1)“友好”点为和 (2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵互为“友好”抛物线， ∴方程与解相同， ∴， ∴， ∴，解得， ∴“友好”点为和． （2）解：①∵点分别为“友好”抛物线与的顶点， ∴， ∴垂直平分． ∵抛物线与抛物线互为“友好”抛物线， ∴方程与的解相同， ∴， 又∵， ∴， ∴， 抛物线的顶点关于轴对称， ∴平分， ∴四边形为菱形． ②∵四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 整理得， ∵点的坐标为， ∴， 联立可得， 由①可知：，即， ∵， ， ∴，， ∴，解得， 又， ∴． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； (3)点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； （2）解：由（1）得， 令， ∴， 解得：， ∴， 连接交对称轴于点P即为所求， ∵D、C关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴，此时最小， 设直线所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线所在直线的函数解析式为， 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或． 考点三 特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，． （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或． 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 例3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 例4．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【详解】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 变式1．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)点G的坐标为或或或． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 变式2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 变式3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 变式4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数：二次函数与一元二次方程、面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 二次函数：二次函数与一元二次方程、面积问题、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 二次函数的图像与性质 面积问题 特殊三角形存在性问题 考点一 二次函数的图像与性质 例1．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论中：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，⑥抛物线图像上有任意两点，若，则，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①②④ 例4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知二次函数（为常数，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．有下列结论：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则；④不等式的解集为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知函数，下列说法正确的序号是（   ） ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根； ③若，则的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得对任意实数x都成立． A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 变式2．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 0 1 3 5 7 0 7 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②拋物线的对称轴为直线； ③是关于的一元二次方程的一个根； ④若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是． 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 变式3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①③④ 变式4．（25-26九年级上·四川广安·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①  ②  ③  ④  ⑤（m为任意实数），则其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 面积问题 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)若点是抛物线上位于下方的一点，当以、、、为顶点组成的四边形的面积最大时，求点的坐标； (4)点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在点，使得以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数解析式． (2)如图1，若是抛物线上第二象限内的一个动点，连接．当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)如图2，若是抛物线上的一点，是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知抛物线顶点为，与轴交于点． (1)若抛物线经过，两点，求抛物线的解析式； (2)当时，将抛物线平移得到抛物线，且抛物线恰好经过原点和点； ①求抛物线的解析式（含的式子表示）； ②若抛物线的顶点为，求点纵坐标的最大值； (3)将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为，连接，且线段与轴交于点，在和中，其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍，求的面积． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知抛物线与轴交于点、两点（在左侧），与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点P是抛物线上一点，且点的横坐标为4，求的面积； (3)点M是抛物线上一动点，当的面积为8时，求点M的坐标． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与形状相同，开口方向相反，其中抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），且，抛物线与交于点和点． (1)求出的值； (2)若抛物线的解析式为，直线的解析式为． ①若抛物线与上的点的纵坐标同时随着横坐标的增大而增大，求出的取值范围． ②若抛物线交轴于点，是抛物线的顶点，连接，为线段上的一个动点，过点作交于点，记的面积为，求的最大值． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． (1)求的面积． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时P的坐标和S的最大值． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若抛物线和与轴交于相同的两点A，B，我们就称抛物线与互为“友好”抛物线，两个交点A，B为“友好”点． (1)若互为“友好”抛物线，求它们的“友好”点； (2)抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，其顶点分别为点C，D． ①若，求证：四边形为菱形； ②若点A的坐标为，且四边形为正方形，当时，求正方形的面积S的取值范围． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与某一次函数的图象交点为，，连接,． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是抛物线与轴的另一个交点，在对称轴上找一点，使的值最小，点的坐标为________； (3)点是轴上的动点，连接，当时，求点的坐标． 考点三 特殊三角形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 例3．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 例4．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 变式2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $