二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学

二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 面积问题 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 考点一 面积问题 例1.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C,连接BC. (1)求抛物线解析式； (②)在抛物线的对称轴上找一点D,使DA+DC的值最小，求出点D的坐标； (3)若点P是线段BC上的一动点（不与B,C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,求 △BCM的面积最大值及此时点P的坐标. N B 【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3 (2)D(1,2) 图8CM的面积最大值为号，P侣引 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点， 「a-b+3=0 9a+3b+3=0' a=-1 解得： b=2’ 抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：D是抛物线的对称轴上一点， DA=DB, DA+DC的最小值即为DB+DC的最小值， 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 ∴直线BC与抛物线对称轴的交点即为D,如下图： D 2 抛物线解析式为y=-产+2x+3的对称轴为直线x=2×-) =1, 令x=0,则y=3, C(0,3, B3,0, 设BC所在的直线函数解析式为y=kx+m,把点C(0,3)和点B(3,0)代入解析式， 7m=3 得： 3k+m=0' m=3 解得： k=-1' 直线BC解析式为y=-x+3, 把x=1代入y=-x+3得：y=2, D(1,2): (3)解：设Mt,-2+2t+3, 又点C(0,3)和点B(3,0), ∴0C=3,0B=3,0N=t,MN=-t2+2t+3,BN=3-t, 由题意得：SBCW=S形ocw+SBNw-Sco8 -(OC+MN)-ON+MN-NB-OC.OB 3+(-1+2+3+-+2+33--x3x3 9 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 3∠0， 2 :当1一时，S有较大值为 8, 当x=1=3时，y=-x+3= 3 2 33 2 例2.(24-25九年级上甘肃武威期末)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于 点C,点D为直线BC下方抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交BC于点P,小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大，试判断小明的说法是 否正确，并说明理由. (3)求三角形BCD面积的最大值. A -3-2-0 12B45x P D 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)不正确，理由见解析 e号 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 抛物线解析式可设为y=ax-3)x+1), 即y=ax2-2ax-3a, -3a=-3, 解得a=1, 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 抛物线解析式为y=x2-2x-3; (2)解：小明的说法不正确。 理由如下： y=x2-2x-3=x-12-4, 抛物线的顶点坐标为1，-4)， 当x=0时，y=x2-2x-3=-3,则C(0,-3), 设直线BC的解析式为y=mx+n, 把B(3,0),C(0,-3)分别代入得 3m+n=0 n=-3 m=1 解得 n=-3' ∴直线BC的解析式为y=x-3, 设D,t2-2t-3(0<t<3),则P(,1-3), 0p=--g-2-到=f4=-+ 当1-DP段大 而抛物线的顶点坐标为1，-4)， “小明的说法不正确， 8》解由2知0p-(? S.BCD=S.BPD+S.cPD -长9 + + 当子5m设大，最大值为号 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 例3.(25-26九年级上·天津南开阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A(-2,0)和点 B(4,0),且与直线I:y=-x-1交于D,E两点(（点D在点E的右侧)，M为直线I上的一动点，设点M的横坐标 为t. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N.若0<t<4,求△NED面积的最大值 V N D 【答案】(I)y= 22+x+4 (2)7√14 【详解】(1)解：把A-2,0)和点B(4,0)代入y=ax2+x+c,得 4a-2+c=0 16a+4+c=0' 1 Q=- 解得 2, c=4 地物线解析式为三)+x+4 y=- (2)解：联立 2+x+4 2 y=-x-1 x=2+√14 [x=2-V14 解得 或 y=-3-14y=-3+14 D2+V14,-3-14),E2-V14,-3+14, M为直线1上的一动点，点M的横坐标为t, M(6,-1-1, J 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 w=+4-(1-=+2+5, 2 5o方wko+2+ia=--2+a. ·4 <0,0<t<4, 2 ∴当t=2时，SEo取最大值7V14, ·aNED面积的最大值是7√14. 例4.(25-26九年级上·福建厦门阶段练习)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3),B(-1,0). 5 4 3 2 -5-4-3-2-1012345x 2引 3 4 -5 (1)求该二次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象； (②)直接写出当y>0时，x的取值范围； (3)若点P在抛物线上，且S4o=6,求点P的坐标. 【答案】(1)y=x2+4x+3,见解析 (2)x<-3或x>-1 (3)4,35)或(-4,3) 【详解】(1)：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3),B(-1,0), f1-b+c=0 c=3 b=4 解得 (c=3' 即该函数的解析式为y=x2+4x+3; y=x2+4x+3=(x+2)2-1, :该函数的顶点坐标是(-2，-1，开口向上，过点(-1,0)，（0,3)， 6 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 令y=0,解得x=-1或x=-3, 该函数图象如图所示： 5 -5-4-3人2112345元 2 3 ---- 4 -5 (2)由图象可得， 当y>0时，x的取值范围x<-3或x>-1; 故答案为：x<-3或x>-1; (3):点A(0,3, OA=3,设点P的坐标为x,y), 则sm-04=6,即×3=6， 2 解得x=4, 即x=4或x=-4, 当x=4时y=42+4×4+3=35, P(4,35): 当x=-4时，y=(-4)2+4×(-4+3=3, P(-4,3), 综上，点P的坐标为(4,35)或(-4,3). 变式1.(24-25九年级上.甘肃武威期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A3,0)、C(-1,0). (1)求二次函数的解析式： (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标： 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 可o (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当4QAB的面积最大时，求点Q的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)P(1,2) 同e》 【详解】(1)解：把点A(3,0)、C(-1,0)代入y=-x2+bx+c中， -1-b+c=0 b=2 得 -9+3b+c=0' 解得： c=3' 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)解：y=-x2+2x+3, 抛物线的对称轴为x=1, 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3, B(0,3, 设直线AB的解析式为y=mx+n, n=3 m三-1 3m+n=0 (n-3, 直线AB的解析式为y=-x+3, 当x=1时，y=2, …P1,2）. (3)解：A3,0),B(0,3), 0A=0B=3, 设Qm,-m2+2m+3(0<m<3),△0AB的面积为S,连接QA,QB,O9, 6 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 B 则S=SA080+Sa040-S△04B, 0Bxm+01x(-m㎡+2m+3到-010B, 3×m+分×3x-m+2m+3到-x3x3 1 2×3x(m+-m2+2m+3到-3) 引m+测 32,27 2m-2+8 当m号时8最大，比时m+2m+3 4, 》 变式2.(25-26九年级上·湖北黄冈阶段练习)已知直线y=x+b过x轴上的点4(2,0)，且与抛物线y=ax2相交于 B,C两点，己知点B的坐标为(L,). (1)求直线和抛物线各自的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D(点D在y轴的右侧)，使得S,o4D=S.oBc,求此时点D的坐标. B 12 【答案】(1)y=-x+2,y=x2 (2)(5,3) 【详解】(1)解：设直线AB所表示的函数解析式为y=+b, 0 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 它过点A(2,0)和点B1,1), 「2k+b=0 k+b=1 「k=-1 解得b=2’ ∴直线AB所表示的函数解析式为y=-x+2, 抛物线y=ax2过点B(L,), .a×12=1, 解得a=1, 抛物线所表示的函数解析式为y=x2; y=-x+2 (2)解：解方程组 (y=x2 x=-2「x2=1 解得： y=4y2=1' ∴C点坐标为(-2,4)： 又B点坐标为(1,1)，A点坐标为(2,0)， 0A=2, 1 S.0c-2x2x4=4,Son=2x2x1=l, 2 .S4o8c=S04c-0AMB=4-1=3, 设D点的纵坐标为yo, 则Sam分x01xa=2×,=3, 把y=3代入y=x2, 得x=±5， 又点D在第一象限， “xD=V5, ∴D点坐标为(3,3). 变式3.(2026湖北模拟预测)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A-2,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连 10二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 二次函数：面积问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练 考点目录 面积问题 特殊三角形存在性问题 特殊四边形存在性问题 考点一 面积问题 例1．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 例2．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 例3．（25-26九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线：交于D，E两点（点D在点E的右侧），M为直线上的一动点，设点M的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若，求面积的最大值． 例4．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象； (2)直接写出当时，x的取值范围______； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 变式1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 变式2．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． (1)求直线和抛物线各自的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． 变式3．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图①，过点B作，交抛物线于另一点D，求点D的坐标； (3)如图②，P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线于点E，连接，设点P的横坐标为m，的面积为S． （Ⅰ）求S关于m的函数解析式； （Ⅱ）若当时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围． 考点二 特殊三角形存在性问题 例1．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 例2．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： (1)已知点，，求的外接抛物线的解析式； (2)如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； (3)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 例4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（2020·四川·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 变式4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点三 特殊四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； (3)若点是平面内一点，是否存在以为顶点的平行四边形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，已知抛物线交轴A，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，点的坐标为． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点，你能判断四边形是什么四边形？并证明你的结论． 例3．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 例4．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 变式2．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线与、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式与点的坐标； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值； (3)连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $