专题 17.4 因式分解全章复习讲义 - 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学因式分解复习讲义通过知识体系图谱系统构建知识框架，结合方法梳理表格与因式分解口诀，将提公因式法、公式法、十字相乘法等核心方法按“概念-步骤-特征”分层呈现，清晰展现各方法内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与易错突破，基础题巩固提公因式等基础方法，提升题融入跨知识点融合题，易错专项针对公因式提取不彻底等问题，培养推理意识与创新意识。学后反思手册助力学生自主总结，教师可据此实施精准分层教学。

专题 17.4 因式分解（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 1 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：概念辨析题（基础必练） 5 题型 2：提取公因式基础题（同步必练） 6 题型 3：公式法基础题（同步必练） 7 题型 4：十字相乘法基础题（同步必练） 8 题型 5：分组分解法基础题（同步必练） 9 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 10 【模块 3】高频模型 / 方法精讲 10 【模块 4】易错题型专项突破（△重点警示） 11 易错类型 1：公因式提取不彻底 11 易错类型 2：公式混淆与误用 13 易错类型 3：符号错误 15 易错类型 4：分解不彻底 17 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 20 【模块 5】中考高频题型分类突破 20 题型 1：因式分解综合题（提公因式 + 公式法）（★中考必考题） 20 题型 2：因式分解的应用 —— 代数式化简求值（★中考常考题） 21 题型 3：因式分解的应用 （★中考应用性考点） 23 题型 4：跨知识点融合题（★中考提升题） 25 题型 5：中考创新压轴题（★中考冲刺题） 28 第四部分、专题配套资源 31 分层作业设计： 31 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 31 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 39 第五部分、学后总结反思 48 归纳：因式分解口诀 48 反思：错题归因手册： 49 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实因式分解的概念本质，掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两大核心方法，并补充了十字相乘法与分组分解法，能熟练运用因式分解解决代数式化简、求值、以及后面学习中解方程等问题，建立 “整式乘法逆运算” 的逻辑思维，为后续分式运算、二次函数学习奠定基础。 【适用场景】 人教版八上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础题型，实现 “能分解、分解对”； 中等生：熟练运用两种核心方法，突破复杂多项式分解、易错题型； 优等生：掌握综合分解技巧，解决跨知识点融合问题、压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确因式分解在中考中 “工具性作用”（如分式化简、二次函数因式分解求交点、一元二次方程求解），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1） 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）； （2） 整式的乘法与因式分解区别与联系：因式分解与整式的乘法互为逆运算 整式乘法 因式分解 例如： 要点提示：①因式分解的结果是：整式的积；②因式分解必须分解到不能再分解为止。 2. 方法梳理 （1） 提公因式法（★中考基础考点） 公因式：多项式各项都含有的公共因式（数字与字母的积）； 找公因式 “三步法”： ①找数字因数：取各项系数的最大公约数；②找字母因式：取各项相同字母的最低次幂；③公因式即为：数字因数字母因式； 提公因式“两步骤”：① 提取公因式：把公因式写在括号外，各项除以公因式的结果写在括号内；② 检验：用整式乘法还原，验证结果是否正确。 （2）公式法（★中考核心考点） 平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特征：①二项式；②两项符号相反；③两项均为完全平方数或式。 完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即： 特征：①三项式：两项为完全平方数（或式）且符号相同 + 第三项为这两项平方乘积的 2 倍；解题方法：分解多项式时，先判断类型，再选择方法：①多项式如含公因式先提公因式；② 提公因式后若为二项式则尝试平方差公式；③ 提公因式后为三项式尝试完全平方公式；④ 分解后分解到不能再分解为止。 （3）十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 特征：对于二次三项式当存在，则 解题方法：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 特征：在二次三项式（≠0）中，二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 解题方法：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. （4）分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解这种方法叫分组解解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特征：一般来说，对于四项式、五项式、六项式往往采用分组分解法。常见的以四项式为主。 解题方法：一般来说，对于四项式或进行“二二”或“一三”分组。 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：概念辨析题（基础必练） 【例题1】（贵州省铜仁市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合即可得到答案． 解：A：右边出现分式，不是整式，不符合因式分解定义，不符合题意； B：右边是，为和的形式，不是积，不符合因式分解定义，不符合题意； C：右边是，为整式的积，符合因式分解定义，符合题意； D：右边是，为多项式，不是积的形式，是整式乘法，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 题型 2：提取公因式基础题（同步必练） 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，首先把整体作为公因式提出来，可得：原式，再提公因式． 解： ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 解：∵ ，， ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的运算性质，解题的关键是逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算． 根据逆用同底数幂的乘法法则以及使用提取公因式法进行计算即可． 解：． 故答案为： 题型 3：公式法基础题（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 先由平方差公式因式分解，再由完全平方和与完全平方公式因式分解即可得到答案． 解： ． 题型 4：十字相乘法基础题（同步必练） 【例题4】（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据十字相乘法分解因式即可． 解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 解法1：先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可． 解法2：将当成整体，直接利用十字乘法分解因式即可． 解：解法1： ． 解法2： ． 【变式2】（22-23七年级下·全国·课后作业）因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 解：． 【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 题型 5：分组分解法基础题（同步必练） 【例题5】（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 解： 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法分解因式，先分组并用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 解： ． 故答案为：． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，计算的值 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解，先把代数式进行部分分解因式得，再把代入入求值； 解： ， ∵， ∴原式． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 【模块 3】高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 提取公因式+公式法综合 多项式含有公因式，提取公因式后可用公式 提取公因式后；观察剩余的多项式；选择公式或十字相乘法或分组分解法；检查分解是否彻底 符号变形模型 多项式含 和或首项为负 1. 统一符号；2.提取公因式或用公式用公式；3.整理结果 整体代入模型 代数式求值、含括号多项式分解 1.把多项式中重复部分看作整体；2.用公式或提公因式分解；3.代入已知条件求值. 配方模型 不完全符合完全平方公式的三项式 1.补全“”项（或拆分中间项）；2. 用完全平方公式；3. 观察题型特点是否可结合平方差公式 【模块 4】易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：公因式提取不彻底 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【答案】不正确， 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解即可． 解：小亮的解法是不正确． 正确的解法： ． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 解：． 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·北京顺义·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 解：、，原选项因式分解正确，符合题意； 、，原选项因式分解不正确，不符合题意； 、，原选项因式分解不正确，不符合题意； 、，原选项因式分解不正确，不符合题意； 故选：． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁营口·期中）下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解． 根据提公因式分解因式可得出A错误；根据平方差公式可得B错误；根据完全平方公式可得C正确；根据十字相乘法可判断D错误． 解：A、，故此选项错误； B、，不符合平方差公式，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 易错类型 2：公式混淆与误用 【例题7】（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 （1）分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）习题1第二步，习题2第一步；（2）见分析 【分析】本题考查了因式分解纠错．熟练掌握平方差公式、完全平方公式分解因式，添括号法则，是解题的关键． （1）根据平方运算知习题1是从第二步开始出现错误的，根据添括号法则知习题2是从第一步开始出现错误的； （2）习题1运用平方差公式因式分解，习题2提负号运用完全平方公式因式分解． 解：（1）解：习题1的解答过程是从第二步开始出现错误的， 习题2的解答过程是从第一步开始出现错误的； （2）解：因式分解：习题1： ； 习题2： ． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 易错类型 3：符号错误 【例题8】（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·河南郑州·二模）（1）计算 （2）因式分解： 小刚的解题过程如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是_____（写出用字母，表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法 【答案】（1）；（2）①；②二；③，过程见分析 【分析】本题考查了整式的因式分解，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的定义求解即可； （2）①根据平方差公式的定义即可求解；②根据去括号法则判定即可；③根据平方差公式和提公因式法因式分解即可． 解：（1） （2）①小刚同学第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，用字母、表示为， 故答案为：； ②小刚第二步出现了错误，去括号时应该等于，而不是， 故答案为：二； ③正确解法如下： ． 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）下列因式分解中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，基本方法有提公因式法和公式法，熟练掌握定义和方法，是解题的关键． 要确定从左到右的变形中是否为分解因式正确，只需根据定义和方法来确定． 解：A. ，A正确； B. ，B正确； C. ，C不正确； D. ，D正确． 故选：C． 易错类型 4：分解不彻底 【例题9】（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． （1）珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； （2）请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 【答案】（1）②④；（2）②；④ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可； （2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解． 解：（1）解：①，因式分解正确；     ②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解； ③，因式分解正确；       ④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解； 故答案为：②④； （2）解：②； ④． 【变式1】某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）不彻底，；（3）见分析 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 解：（1）解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； （3）解：设， 则原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． （1）； （2）． 【答案】（1）不正确，正确的结果是；（2）不正确，正确的结果是 【分析】（1）对于每个因式分解的式子，先判断其是否分解彻底即可，若未分解彻底，继续进行分解，直到不能再分解为止． （2）对于每个因式分解的式子，先判断其是否分解彻底即可，若未分解彻底，继续进行分解，直到不能再分解为止． 解：（1）解：不正确，正确的结果是． （2）解：不正确，正确的结果是． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 【模块 5】中考高频题型分类突破 题型 1：因式分解综合题（提公因式 + 公式法）（★中考必考题） 【例题10】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键． （1）先提取公因式2，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先把原多项式化成一般式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 解：. 故选：C 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（2025·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法进行进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式x，然后再运用公式法分解即可． 解：． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 解：（1）解： ． （2）解： ． 题型 2：因式分解的应用 —— 代数式化简求值（★中考常考题） 【例题11】（23-24八年级下·广东清远·期中）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式． 【变式1】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 解：∵，， ∴ ； 故选D． 【变式2】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 解：原式 ； 当，时，原式． 题型 3：因式分解的应用 （★中考应用性考点） 【例题12】（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，解决本题的关键是将题中的式子因式分解． 先由和可求出A，B，C，再计算即可． 解：∵， ， ∵、、均为含的整式．且的系数均为正整数． ∴，，， ∴． 故答案为： ． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． （1）若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； （2）若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】（1）①；②4；（2）抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 解：（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 题型 4：跨知识点融合题（★中考提升题） 【例题13】（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．将给定的多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到四个因式，分别对应密码手册中的字，组合后匹配选项． 解：∵， 又∵ ，， ∴原式 ． 根据密码手册：→爱，→我，→五，→泉， 因式分解结果可表示为 ，对应密码信息“我爱泉五”． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 题型 5：中考创新压轴题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【答案】见分析（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 解：① ； ② ． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用以及非负数的性质，解题关键是通过配方法将原式转化为完全平方式的和，再利用非负数的性质求解． 通过配方法将给定的等式转化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出的值，再代入计算的值． 解：由已知得：， 即， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） （2）用配方法将因式分解． （3）用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】（1），；（2）；（3）当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 解：（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 第四部分、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式的积的形式． 解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项C：变形为整式乘法，不是因式分解； 选项D：右边为，是积的形式，符合因式分解． 故选D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 先对代数式因式分解，再求得，进而代值解题即可． 解：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式为，需满足首末项为平方项且中间项为两平方项根乘积的2倍．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 解：A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意． 故选：D． 5．（20-21八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 解： ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的因式分解，将多项式因式分解后代入计算各因式的值，按从小到大排列得到加密数据，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 解：， 当时，，， ∴将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：， 故选：． 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，设另一个因式为，可得：，所以可得，通过比较系数求解． 解：设另一个因式为 ， 则 ， 可得：， 解得：， 另一个因式为 ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式法进行因式分解，再代入值计算即可． 解：∵且，， ∴； 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）当 时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 解：完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 11．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 观察表达式，将后三项分组并提取负号，形成完全平方公式，再运用平方差公式进行因式分解． 解： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 三、解答题 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可得； （2）先分组为，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解因式即可得． 解：（1）解：原式． （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·山西临汾·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查因式分解相关知识点．熟练使用提取公因式法、以及熟练运用公式法来因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式，然后运用完全平方公式即可求解； （2）运用平方差公式计算，再合并同类项，然后利用平方差公式即可求解． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可； （2）用十字相乘法和提公因式法，分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值； （2）已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】（1）最小值是8；（2）最小值是，y的值为 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例②解答即可； （2）根据题意可得，再按照示例②解答即可． 解：（1）解：原式， 因为是非负数， 所以，， 所以的最小值是8． （2）解：∵， ∴， ∴ ， 因为是非负数， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是． 此时． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否满足定义． 解：根据因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积， 选项A：左边是乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 选项B：左边是多项式，右边是乘积形式，且等式成立，符合因式分解的定义，故符合题意； 选项C：左边是乘积，右边是乘积，但属于恒等变形，并非因式分解，故不符合题意； 选项D：右边不是乘积形式，而是和的形式，不符合因式分解的定义，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，通过将替换为，简化表达式为，然后利用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 解： ， 故选：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 【答案】A 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 解： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵对应密码字：我， 爱，河，南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 5．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 6．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 二、填空题 7．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，观察式子，可发现解答此题的关键是第一个因数的处理，掌握平方差公式是解题的关键．即把改写成，这样可以利用平方差公式得到，进而再用平方差公式即可． 解： ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了因式分解、代数式求值、整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 整理条件式，根据公式法对其因式分解，进而解题． 解：， ， ， ， ， 即， ， ∴， ∴， ． 故答案为：0 ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 解： 原式 故答案为：. 11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了代数式求值，分组分解法分解因式，把化简为，再求出的值，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：12． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解； （2）利用平方差公式因式分解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·四川眉山·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 解：（1）解： ； （2）解： 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）先分组，再分别提公因式，然后利用平方差公式和十字相乘法进行因式分解，即可； （2）先把原式整理为，再利用十字相乘法进行因式分解，即可． 解：（1）解： （2）解： 16．（25-26九年级上·重庆·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 【答案】（1）；（2）21；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． 解：（1）解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； （2）解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； （3）解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 第五部分、学后总结反思 归纳：因式分解口诀 因式分解不算难，先看是否有公函（公因式）； 系数找最大公约，字母取最低次幂； 提公因式要提净，符号变形记心间（负号先提全变号）。 若无公因式再看项，二项尝试平方差（两项异号且平方）； 三项完全或十字，完全平方看 “2 倍”（首末平方和，中间 2 倍积）； 十字相乘凑系数，常数分解凑中间。 四项以上分组解，“二二”“一三” 看关联（分组后能提公因或用公式）； 分解要到不能分，整式乘积才过关。 应用题型巧转化，化简求值解方程，因式分解是工具，灵活运用得分满！ 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 17.4 因式分解（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 1 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：概念辨析题（基础必练） 5 题型 2：提取公因式基础题（同步必练） 5 题型 3：公式法基础题（同步必练） 5 题型 4：十字相乘法基础题（同步必练） 6 题型 5：分组分解法基础题（同步必练） 6 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 6 【模块 3】高频模型 / 方法精讲 6 【模块 4】易错题型专项突破（△重点警示） 7 易错类型 1：公因式提取不彻底 7 易错类型 2：公式混淆与误用 7 易错类型 3：符号错误 8 易错类型 4：分解不彻底 9 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 10 【模块 5】中考高频题型分类突破 10 题型 1：因式分解综合题（提公因式 + 公式法）（★中考必考题） 10 题型 2：因式分解的应用 —— 代数式化简求值（★中考常考题） 10 题型 3：因式分解的应用 （★中考应用性考点） 11 题型 4：跨知识点融合题（★中考提升题） 11 题型 5：中考创新压轴题（★中考冲刺题） 12 第四部分、专题配套资源 14 分层作业设计： 14 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 14 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 15 第五部分、学后总结反思 17 归纳：因式分解口诀 18 反思：错题归因手册： 18 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实因式分解的概念本质，掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）两大核心方法，并补充了十字相乘法与分组分解法，能熟练运用因式分解解决代数式化简、求值、以及后面学习中的解方程等问题，建立 “整式乘法逆运算” 的逻辑思维，为后续分式运算、二次函数学习奠定基础。 【适用场景】 人教版八上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念与基础题型，实现 “能分解、分解对”； 中等生：熟练运用两种核心方法，突破复杂多项式分解、易错题型； 优等生：掌握综合分解技巧，解决跨知识点融合问题、压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确因式分解在中考中 “工具性作用”（如分式化简、二次函数因式分解求交点、一元二次方程求解），对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1） 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）； （2） 整式的乘法与因式分解区别与联系：因式分解与整式的乘法互为逆运算 整式乘法 因式分解 例如： 要点提示：①因式分解的结果是：整式的积；②因式分解必须分解到不能再分解为止。 2. 方法梳理 （1） 提公因式法（★中考基础考点） 公因式：多项式各项都含有的公共因式（数字与字母的积）； 找公因式 “三步法”： ①找数字因数：取各项系数的最大公约数；②找字母因式：取各项相同字母的最低次幂；③公因式即为：数字因数字母因式； 提公因式“两步骤”：① 提取公因式：把公因式写在括号外，各项除以公因式的结果写在括号内；② 检验：用整式乘法还原，验证结果是否正确。 （2）公式法（★中考核心考点） 平方差公式：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特征：①二项式；②两项符号相反；③两项均为完全平方数或式。 完全平方公式：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即： 特征：①三项式：两项为完全平方数（或式）且符号相同 + 第三项为这两项平方乘积的 2 倍；解题方法：分解多项式时，先判断类型，再选择方法：①多项式如含公因式先提公因式；② 提公因式后若为二项式则尝试平方差公式；③ 提公因式后为三项式尝试完全平方公式；④ 分解后分解到不能再分解为止。 （3）十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 特征：对于二次三项式当存在，则 解题方法：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号（若，则异号），然后依据一次项系数的正负再确定的符号 特征：在二次三项式（≠0）中，二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 解题方法：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. （4）分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解这种方法叫分组解解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特征：一般来说，对于四项式、五项式、六项式往往采用分组分解法。常见的以四项式为主。 解题方法：一般来说，对于四项式或进行“二二”或“一三”分组。 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：概念辨析题（基础必练） 【例题1】（贵州省铜仁市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 题型 2：提取公因式基础题（同步必练） 【例题2】（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）计算：等于 ． 题型 3：公式法基础题（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·山东淄博·月考）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 （1） （2） 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 题型 4：十字相乘法基础题（同步必练） 【例题4】（25-26七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：． 【变式2】（22-23七年级下·全国·课后作业）因式分解：． 题型 5：分组分解法基础题（同步必练） 【例题5】（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）因式分解： ． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）已知，计算的值 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 【模块 3】高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 提取公因式+公式法综合 多项式含有公因式，提取公因式后可用公式 提取公因式后；观察剩余的多项式；选择公式或十字相乘法或分组分解法；检查分解是否彻底 符号变形模型 多项式含 和或首项为负 1. 统一符号；2.提取公因式或用公式用公式；3.整理结果 整体代入模型 代数式求值、含括号多项式分解 1.把多项式中重复部分看作整体；2.用公式或提公因式分解；3.代入已知条件求值. 配方模型 不完全符合完全平方公式的三项式 1.补全“”项（或拆分中间项）；2. 用完全平方公式；3. 观察题型特点是否可结合平方差公式 【模块 4】易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：公因式提取不彻底 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）把分解因式．小亮的解法是这样的： 解：原式． 他的解法正确吗？如果不正确，请给出正确的解法． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·北京顺义·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁营口·期中）下列因式分解变形正确的是（    ） A． B． C． D． 易错类型 2：公式混淆与误用 【例题7】（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：因式分解：． 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 （1）分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【变式2】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 易错类型 3：符号错误 【例题8】（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南郑州·二模）（1）计算 （2）因式分解： 小刚的解题过程如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是_____（写出用字母，表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法 【变式2】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）下列因式分解中，错误的是（   ） A． B． C． D． 易错类型 4：分解不彻底 【例题9】（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． （1）珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； （2）请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 【变式1】某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式            B．平方差公式             C．两数和的完全平方公式        D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列因式分解的结果是否正确．若不正确，请写出正确的结果． （1）； （2）． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 【模块 5】中考高频题型分类突破 题型 1：因式分解综合题（提公因式 + 公式法）（★中考必考题） 【例题10】（25-26八年级上·吉林长春·期中）因式分解： （1）； （2）． 【变式1】（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 【变式3】（2025·甘肃甘南·中考真题）分解因式： ． 【变式4】（25-26八年级上·福建泉州·期中）因式分解： （1）． （2） 题型 2：因式分解的应用 —— 代数式化简求值（★中考常考题） 【例题11】（23-24八年级下·广东清远·期中）先因式分解，再求值：，其中． 【变式1】（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【变式2】（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）先因式分解，再求值：，其中，． 题型 3：因式分解的应用 （★中考应用性考点） 【例题12】（2025·河北唐山·三模）有一个数学游戏，如图．、、均为含的整式．且的系数均为正整数．若“”上是两个对应整式相乘的结果，则“?”处应填 ． 【变式1】（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【变式2】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． （1）若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； （2）若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 题型 4：跨知识点融合题（★中考提升题） 【例题13】（25-26八年级上·福建泉州·期中）泉小伍是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：五，爱，我，泉，丽，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．美丽 B．我爱美丽 C．泉五美 D．我爱泉五 【变式1】（25-26七年级上·上海·阶段练习）如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型 5：中考创新压轴题（★中考冲刺题） 【例题14】（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期中）请阅读下面材料并解决问题： 配方法是数学中重要的一种思想方法，如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将一个式子通过恒等变形转化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式来解决问题．并利用非负性的优势，能在方程求解场景中化繁为简，成为破解难题的金钥匙． 例：已知，求和的值． 解：由已知得： 即， ， ． 根据上述方法，解决问题： 已知，求的值． 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： （1）例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） （2）用配方法将因式分解． （3）用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 第四部分、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式为，那么另一个因式为 ． 8．（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为 ． 9．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知，则 ． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）当 时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 11．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： ． 12．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）； （2）． 14．（25-26八年级上·山西临汾·期中）因式分解： （1） （2） 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）因式分解： （1）； （2）． 16．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值； （2）已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 5．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 二、填空题 7．（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： ． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，且，则代数式的值为 ． 10．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 11．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解： （1）； （2）． 14．（25-26八年级上·四川眉山·期中）因式分解： （1） （2） 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ． 16．（25-26九年级上·重庆·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 第五部分、学后总结反思 归纳：因式分解口诀 因式分解不算难，先看是否有公函（公因式）； 系数找最大公约，字母取最低次幂； 提公因式要提净，符号变形记心间（负号先提全变号）。 若无公因式再看项，二项尝试平方差（两项异号且平方）； 三项完全或十字，完全平方看 “2 倍”（首末平方和，中间 2 倍积）； 十字相乘凑系数，常数分解凑中间。 四项以上分组解，“二二”“一三” 看关联（分组后能提公因或用公式）； 分解要到不能分，整式乘积才过关。 应用题型巧转化，化简求值解方程，因式分解是工具，灵活运用得分满！ 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $