精品解析：天津市南开区2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025—2026学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l的倾斜角为，先求出直线的斜率，再由，即可得出答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 直线l经过点，，则直线l的斜率为：， 所以，所以. 故选：D. 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【详解】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 3. 求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案. 【详解】由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为. 故选：C. 4. 如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：D 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 6. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 7. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到， 再利用求的模长. 【详解】在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 8. 已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（ ）. A. B. 1 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【详解】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 9. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 10. 若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）. A. 12 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ， 则， 当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分、请将答案填在题中横线上. 11. 过点且与直线平行的直线的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行直线系的性质即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 将点代入可得，， 故所求直线方程为. 故答案为： 12. 已知，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由题意. 故答案为：2 13. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【解析】 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 14. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为_______________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得. 所以圆的方程为：. 故答案为：. 15. 设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先设，进而转化为，再由柯西不等式可得最小值. 【详解】设，则. 因为，即，当且仅当时等号成立. 因点在：上，由柯西不等式得： ，得，当且仅当时等号成立. 又点是直线：上，所以. 所以 所以，当且仅当时等号成立. 由，得，即. 由，解得，由可得，，此时时等号成立. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，得到直线与的方程，再由直线在轴和轴的截距分别为和，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组，求得直线与的交点为，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由直线和， 因为，则，即，解得或， 又因为，所以，可得，， 又由直线在轴和轴的截距分别为和，可得直线的方程为， 即. 【小问2详解】 解：联立方程组，解得，即直线与的交点为， 则与的交点到的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可； （3）利用空间向量计算面面夹角即可. 【小问1详解】 由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）求得平分线所在直线的方向向量可求得角平分线的斜率，进而可求直线方程；（2）设的方程为，利用点到直线的距离可得，求解即可； （3）设圆的方程，代入点的坐标，求解即可. 【小问1详解】 因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 所以平分线所在直线的方向向量为， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； 【小问3详解】 设外接圆的方程为， 则，即，解得， 所以外接圆的方程为. 19. 如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因平面，平面，所以. 又因，所以，且，平面， 所以平面. （2）； （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）直接根据线面垂直的判定定理可得； （2）直接建立空间直角坐标系，用向量求线面角可得； （3）构造过D点且与平面平行的平面，进而可得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，取的中点为O， 所以，分别以所在直线为轴， 以过O点平行的直线为轴，建立空间直角坐标系如图： 由（1）知平面，平面，所以， 而三棱柱中， 所以，所以三角形是等腰直角三角形，得. 再由平面，平面， 所以，且， 所以也是等腰直角三角形，所以. 所以，，， . ， . 设为平面的一个法向量， 且，， 由，得， 令，得,所以. 所以. 所以与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 存在F点为的中点，则平面. 如图： 因为O为的中点，D是的中点，所以. 由，平面，平面，所以平面. 再由，，所以， 平面，平面，所以平面. 因平面，平面，且，平面. 所以平面平面，且平面，得平面. 故存在F点为的中点，则平面，且. 20. 已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆． 设的坐标为，则． 由平面几何知识知，， 所以以为圆心，为半径的圆为， 即， 与的方程相减得，即为直线的方程． 又，所以直线的方程化为． 则有，解得，则直线恒过定点． （3）. 【解析】 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设的坐标为，根据得到的轨迹方程，将其与的方程作差即可得到直线方程，整理即可得到其过定点； （3）设的方程为，将其的方程联立，利用韦达定理法，计算出的表达式，用替换即可得到表达式，最后得到，最后利用截距法求出最值即可. 【小问1详解】 设，由得，， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线与直线垂直时，此时， 当直线过圆心时，此时， 则根据弦长的连续性可知． 当直线的斜率不存在或为0时，． 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，则的方程为． 联立得，， 设，则， 则 用替换得． 所以． 设，则，且， 其图象为一段圆弧．当时， 令，即直线， 作出图形，由图可知，当直线过时，有最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）. A. B. 或 C. D. 或 3. 求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 1 B. C. 9 D. 3 8. 已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（ ）. A. B. 1 C. D. 6 9. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）. A. 12 B. 9 C. 6 D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分、请将答案填在题中横线上. 11. 过点且与直线平行的直线的方程是______. 12. 已知，若，则______. 13. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 14. 经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为_______________________ 15. 设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. （1）求，，的方程； （2）求与的交点到的距离. 17. 如图，在直三棱柱中，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知的三个顶点是，，. （1）求平分线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； （3）求外接圆的方程. 19. 如图，三棱柱中，，，平面，，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面夹角的正弦值； （3）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求；若不存在，请说明理由. 20. 已知点，，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过直线上一点作的切线，切点分别为，，求证：直线过定点； （3）过坐标原点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点，和，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $