精品解析：河北省唐山市古冶区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级学业水平中期评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点m（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（　　） A. （-2，-1） B. （2，1） C. （-2，1） D. （2，-1） 2. 抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣2，0） B. （2，0） C. （0，﹣2） D. （0，2） 3. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 将抛物线平移1个单位长度后得到，则平移方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 5. 已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不确定 6. 二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 某旅游景点8月份共接待游客万人次，月份共接待游客万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 2 9. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 11. 方程的两根分别是m，n，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 12. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为_______． 14. 若关于的方程的一个根是2，则_______． 15. 如图，是的直径，是的弦，，则_______． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”） 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上． （1）是等腰三角形吗？ （选填“是”或“否”）； （2）若，求的度数． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 文文： 或 ∴或 明明： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为文文的解法 ，明明的解法 （以上均选填“正确”或“不正确”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 19. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求t的值和二次函数图象顶点坐标； （2）当时，直接写出y的最小值． 20. 如图，在中，弦、交于点E，． （1）求证：； （2）直接写出与的数量关系． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 22. 如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．     （1）若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； （2）当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 24. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； （3）直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级学业水平中期评估 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题．每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 点m（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（　　） A. （-2，-1） B. （2，1） C. （-2，1） D. （2，-1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：点（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（-2，1）． 故选C． 点睛：对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2. 抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A. （﹣2，0） B. （2，0） C. （0，﹣2） D. （0，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】当x＝0时，y＝x2+2＝2， ∴抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（0，2）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标．本题的关键是确定y轴上点的坐标特征． 3. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 4. 将抛物线平移1个单位长度后得到，则平移方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再结合“平移1个单位长度后得到”，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 依题意，将抛物线向左平移1个单位长度后得到， 故选：C 5. 已知的半径为2，点到点的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解题即可． 【详解】解：∵的半径为，点到点的距离为， ∴， ∴点在外． 故选：C． 6. 二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 依据题意，由于无论x为何值，函数值，从而二次函数的图象总在x轴的上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，故，． 【详解】解：由题意可得：无论x为何值，函数值， ∴二次函数的图象总在x轴的上方． ∴抛物线开口向上，与x轴无交点． ∴，． 故选：C． 7. 某旅游景点8月份共接待游客万人次，月份共接待游客万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】设游客每月的平均增长率为x， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据方程有两个相等的实数根得到，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，， 解得， 故选：B． 9. 如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得和的度数是解题的关键． 【详解】解：由题意知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵直线与相切于点A， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转及等边三角形的知识，首先由旋转的性质，对应边相等，得到，由旋转角为，得到，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可证为等边三角形，则，据此可求出． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 11. 方程的两根分别是m，n，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故选：D． 12. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点绕原点旋转的坐标变换，掌握知识点是解题的关键． 根据点绕原点旋转的坐标变换，平面直角坐标系中画出A，B点，即可解答． 【详解】解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 若关于的方程的一个根是2，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．将根代入方程，得到关于和的等式，然后求解的值． 【详解】解： 是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以 2：， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，是的弦，，则_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理及同弧所对的圆周角相等，先根据直径所对的圆周角是直角求得的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可知． 【详解】解：∵是的直径，， ∴，则， 又∵对应的圆周角为和， ∴， 即． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则______（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵若，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上． （1）是等腰三角形吗？ （选填“是”或“否”）； （2）若，求的度数． 【答案】（1）是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理求出的度数，可得为等边三角形，进而得到的度数，再根据旋转性质可知，即可得出的度数． 【小问1详解】 解：∵绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可知，是等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转可知，， ∴． 18. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 文文： 或 ∴或 明明： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为文文的解法 ，明明的解法 （以上均选填“正确”或“不正确”）； （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据题意检查文文和明明的解一元二次方程步骤是否正确即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：文文的解法中，在解时解答错误，或不正确； 明明的解法中，不正确， 故答案为：不正确，不正确． 【小问2详解】 解：由题意知：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 已知：二次函数的图象经过点． （1）求t的值和二次函数图象顶点坐标； （2）当时，直接写出y的最小值． 【答案】（1），二次函数的顶点坐标为 （2）y的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点代入二次函数解析式中求得t的值，再将二次函数的一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）由（1）可得该二次函数开口向上，根据顶点式求得其对称轴，在中，当时，即对称轴，y有最小值，将代入二次函数解析式即可求得y的最小值． 【小问1详解】 解：由题意知，将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数解析式为， 将二次函数解析式化为顶点式为：， ∴二次函数图象顶点坐标为． 【小问2详解】 解：当时， ∵二次函数的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值， ∴y的最小值为． 20. 如图，在中，弦、交于点E，． （1）求证：； （2）直接写出与的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质中弦与弧的关系，圆周角定理及全等三角形的判定与性质． （1）由可知其对应的弧长同样相等，再由，推得，从而证得； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，再由（1）中，利用“”证明，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵所对的圆周角为和， ∴， 由（1）知，， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 【答案】 ；k的值为2．   【解析】 【详解】分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）先确定k=1或2，再根据方程的根都是整数，分类讨论即可. 详解：根据题意得， 解得； 为正整数， 或， 当时，，所以该方程的根为无理数， 当是，原方程为，解得， 所有k的值为2．   点睛：考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 22. 如图，以的边为直径作，交边于点D，为的切线，弦于点F，连接． （1）求证：． （2）若点F为中点，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据切线的定义得出，进而得出，则，根据圆周角定理得出，即可求证； （2）根据中点的定义得出，则，再根据勾股定理得出，最后根据垂径定理得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵点F为中点，且， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，小明利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．     （1）若， ①当围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； ②求矩形菜园面积的最大值； （2）当矩形菜园的面积是1250平方米时，直接写出a的最小值． 【答案】（1）①所利用旧墙的长为10米；②矩形菜园面积的最大值为800平方米 （2）a的最小值为50 【解析】 【分析】（1）①设米，因为另三边一共用了100米木栏，所以米，而米，已知矩形菜园的面积为450平方米，根据矩形面积公式，可列出方程，求解该方程得到x的值，再根据求出的长，同时要结合对结果进行检验； ②设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，因为二次项系数，所以该函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，又因为，即，而函数在上单调递增，所以当时，S取得最大值； （2）设米，则米，根据矩形面积公式可得面积，已知矩形菜园的面积是1250平方米，可列出方程，求解该方程得到x的值，因为，所以a要大于等于x的最大值，从而得到a的最小值． 【小问1详解】 解：①设米，则米， 由题意得，，解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 即的长为10米． ②设米，则米， ∴， 当时，则时，S的最大值为1250平方米， 当时，则当时，S随x的增大而增大， ∴当时，S的最大值为（平方米）， 综上所述，当时，S的最大值为800平方米． 【小问2详解】 解：设米，则米， ∴，整理得：， 解得：， ∵， ∴，即a的最小值为50． 【点睛】本题考查了矩形的周长与面积公式，一元二次方程的求解，二次函数的性质及不等式的应用． 24. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； （3）直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值 米． 【答案】（1） （2） 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得，， ∴直线的表达式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $