精品解析：广西贵港市港南区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期期中教学质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A  2. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 3. 与的结果相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入各选项计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 4. 下列四个点不在反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是，就在此函数图象上． 【详解】解：由得，， A.，该点在反比例函数图象上，不符合题意； B. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； C. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； D. ，该点不在反比例函数图象上，符合题意； 故选：D． 5. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 6. 如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果．本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ； 故选：B． 7. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值．熟练掌握方程的根满足方程，将根代入方程得到等式，再利用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 先利用方程的根求出与的关系，再对所求式子进行转化并代入求值． 【详解】解：把代入方程中，可得， 即， ∴． 把代入可得： ． 故选：B． 8. 某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选：B． 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：， ， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 10. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，根据已知图形得出位似比，进而得出对应点坐标． 【详解】解：如图所示：可得两图形的位似比为2， ∵小鱼上的点， ∴对应大鱼上的点为：． 故选：D． 11. 如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，过点C作轴于D，根据题意求得菱形的边长为6，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式， 【详解】解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 12. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3，共12分） 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】3（满足即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性问题，在反比例函数中，当时，反比例函数的图象分布在第一和第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，当时，反比例函数的图象分布在第二和第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为3， 故答案为：3（满足即可）． 14. 若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．先对进行配方，再根据 计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 解得： ， 故答案为：． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用配方法求出方程的解即可； （2）利用直接开平方法，求出方程的解即可； 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， 即，； 【小问2详解】 解：， 开方得：， 即或， 解得：，． 18. 如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1）6 （2）25 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 19. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】热气球离地面的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题． 作交的延长线于点，设，表示出和，根据正切的概念求出的值即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示， 由题意，可知，， 设， 在中， ， ， 在中， ，，， ， 解得． 答：热气球离地面的高度约为． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1） （2）半径为米 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 21. 如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 22. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期期中教学质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 与的结果相同的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四个点不在反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点在边上，且，过点作交于点．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 8. 某品牌手机经过连续两次降价，每部售价由原来的4000元降到了3240元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形．小鱼上的点，则对应大鱼上的点是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题3，共12分） 13. 已知反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的值可以是_________．（写出一个即可） 14. 若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为______． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 16. 如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点． （1）若，，，求的长； （2）若，，求的长． 19. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 21. 如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 22. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $