精品解析：湖北省咸宁市嘉鱼县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期中教学质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数（单位）分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，11，20 D. 5，5，11 3. 安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 7. 学完《三角形》这一章后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于．”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为，且．”关于两人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 小桐和小颖都是对的 B. 小桐和小颖都是错的 C. 小桐是错的，小颖是对的 D. 小桐是对的，小颖是错的 8. 课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（ ） A. 嘉嘉，淇淇的作法都对 B. 嘉嘉，淇淇的作法都不对 C. 嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D. 嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 9. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：中，，平分交于点 D；过点 D作交于点 F，过点 D 作交于点 E． 下列结论：①； ②是的高； ③； ④；⑤的周长与的长度相等，上述结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝__________°． 12. 如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为______． 13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 15. 已知等边△ABC的边长为6，点M是射线AB上的动点，点N是边BC延长线上的动点，在运动的过程中始终满足AM＝CN，作MD垂直于射线AC于D，连接MN交射线AC于E． （1）如图1，当点M为AB的三等分点（靠近点A）时，DE的长为_______． （2）点M、N分别从点A、C同时出发、分别在射线AB、边BC的延长线上以相同的速度开始运动，动点M、N在运动过程中，DE的长会________（变小、变大、不变）． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，与有一个公共顶点A，，如果，，求证：． 17. 作图与填空． （1）已知：，（图、图）． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）填空：在图（2）中，若，且，则的度数为 ． 18. 如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 19. 如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示、； （2）当t为何值时，为等腰直角三角形？ 20. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． （1）求证； （2）若，求的度数． 21. 综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； （2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 22. 已知：平分，点A，B分别在边上，且． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 23. 【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点坐标为_________，点坐标为_________； （2）如图2，当点在第一象限时，过点作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点作轴于点，与轴交于点，请直接写出点的坐标（用含，的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期中教学质量监测 八年级数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称， 故选：B． 2. 下列每组数（单位）分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，11，20 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．通过计算每组中较小两边之和是否大于最大边，判断是否能组成三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； B、，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； C、，能摆成三角形，故该选项符合题意； D、，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 4. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 6. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 7. 学完《三角形》这一章后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于．”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为，且．”关于两人的说法，下列判断正确的是（ ） A. 小桐和小颖都是对的 B. 小桐和小颖都是错的 C. 小桐是错的，小颖是对的 D. 小桐是对的，小颖是错的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和高．小桐的说法涉及三角形的高之比，通过面积公式转换为边长之比，验证是否满足三角形三边关系；小颖的说法需判断是否存在锐角三角形满足最大角超过其余两角之和，从而确定是否为锐角三角形． 【详解】解：设三角形三边上的高分别为，对应边长为， 由面积公式得：， 化简得边长之比为 ，通分后为 ， 验证三边关系：，满足三角形三边关系，故存在这样的三角形，小桐的说法正确； 由锐角三角形三个内角之比为，且满足 ， 设三个内角度数为， 由三角形内角和为，代入得：，即， ∵， ∴， ∴，但锐角三角形的每个角均小于 ，矛盾，因此不存在满足条件的锐角三角形，小颖的说法错误． 故选： D． 8. 课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（ ） A. 嘉嘉，淇淇的作法都对 B. 嘉嘉，淇淇的作法都不对 C. 嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D. 嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【详解】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 9. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 10. 由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：中，，平分交于点 D；过点 D作交于点 F，过点 D 作交于点 E． 下列结论：①； ②是的高； ③； ④；⑤的周长与的长度相等，上述结论正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． ①根据交于点E，得，根据平行线的判定可对结论①进行判断； ②根据三角形高的定义可对结论②进行判断； ③根据得，再根据平分得，，由此可对结论③进行判断； ④进而依据判定得，再根据即可对结论④进行判断； ⑤证明和是等腰直角三角形得，，根据得，由此得，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵交于点E，， ∴， ∴； 故结论①正确； ②∴交于点E， 根据三角形高的定义得：是的高， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， 故结论③正确； ④∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论④不正确； ⑤在中，，， ∴， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长与的长度相等， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝__________°． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB=100°，再由角平分线定义得∠ACE=50°，利用三角形外角的性质得∠CED=78°，再利用角的和差关系得出答案． 【详解】解：∵∠A=28°，∠B=52°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-28°-52 °=100°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=50°， ∴∠CED=∠A+∠ACE=28°+50°=78°， ∵CD是高， ∴∠CDE=90°， ∴∠DCE=90°−∠CED=90°−78°=12°， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 12. 如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的值为______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，根据对顶角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，做辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15. 已知等边△ABC的边长为6，点M是射线AB上的动点，点N是边BC延长线上的动点，在运动的过程中始终满足AM＝CN，作MD垂直于射线AC于D，连接MN交射线AC于E． （1）如图1，当点M为AB的三等分点（靠近点A）时，DE的长为_______． （2）点M、N分别从点A、C同时出发、分别在射线AB、边BC的延长线上以相同的速度开始运动，动点M、N在运动过程中，DE的长会________（变小、变大、不变）． 【答案】 ①. 3 ②. 不变 【解析】 【分析】（1）过点作交射线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求得的长； （2）过点作交射线于点，过点作于点，证明是等边三角形，进而证明，即可证明，从而得到结论． 【详解】如图，过点作交射线于点， 是等边三角形 是等边三角形 在与中 故答案为：3 （2）不变，理由如下， 如图，过点作交射线于点，过点作于点， 是等边三角形 是等边三角形 在与中 是等边三角形, 即 故答案为：不变 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，与有一个公共顶点A，，如果，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 17. 作图与填空． （1）已知：，（图、图）． 求作：在图（2）中，以为一边，在的内部作（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）填空：在图（2）中，若，且，则的度数为 ． 【答案】（1）如下图所示， （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了用尺规作图作一个角等于已知角、角的和与差． 利用尺规作图作； 根据，，可知，根据角之间的关系求出的度数． 【小问1详解】 解：以点为圆心任意长度为半径画弧，分别交的两边于点、， 以点为圆心，为半径画弧交于点， 以点为圆心为半径画弧，交前弧于点， 过点作射线， 则； 【小问2详解】 解：由可知， ， ． 故答案为：． 18. 如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 【答案】 证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 即平分． 又，， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，再根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】略． 19. 如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示、； （2）当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】（1）， （2）当秒时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【小问1详解】 解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， 【小问2详解】 解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． 20. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，． （1）求证； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； 由（1）得， ∴． 21. 综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 （1）根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； （2）我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，重心即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了重心的概念、等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）过点C作，垂足为点E，延长交于点F，易证且必过重心，即为边上的中线，根据，推出，得到，证明为等边三角形，得到，进而推出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵是水平线，为重力作用线， ∴且必过重心，即为边上的中线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 22. 已知：平分，点A，B分别在边上，且． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线-倍长中线法、全等三角形的判定与性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，根据（1）中可得，即可得到，即可解答； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点坐标为_________，点坐标为_________； （2）如图2，当点在第一象限时，过点作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点作轴于点，与轴交于点，请直接写出点的坐标（用含，的式子表示） 【答案】（1），， （2） 证明：如图2， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形． （1）先根据非负数的性质求出，，作轴于，如图1，得，根据，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，得到，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，则可得； （3）如图3，和的延长线相交于点，先证明得到，再利用对称性质得，则，根据（2）可知，则，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：， ∴，， 作轴于，如图1，    ∵点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，和的延长线相交于点， ， 轴， ， ∵， ， 在和中 ， ， ， ∵轴平分轴， ， ， 根据（2）可知， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $