2.3 实数课件 2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

该初中数学课件围绕实数的初步认识展开，涵盖无理数的概念、分类、大小比较，实数的定义、分类与数轴关系及运算，通过问题情境导入，从有理数过渡到无理数再到实数，搭建知识支架帮助学生构建体系。 其亮点在于结合活动探究和例题分析，培养数学眼光中的抽象能力（如无理数概念的形成）和数学思维中的推理意识（如√2的估算），采用分类归纳和随堂演练，学生能提升运算能力，教师可借助结构化内容高效教学。

第2章 实数的初步认识 2.3 实数 第2章 实数的初步认识 2.3 第1课时 无理数及其大小比较 课堂小结 例题讲解 随堂演练 获取新知 活动 1 领悟无理数的概念 问题情境 我们知道,所有的分数可以写成有限小数或者循环小数的形式.例如:=2.5,=0.625,-=-0.,=0.1,=0.85 71. 是不是所有的数都可以写成有限小数或者循环小数呢? 事实上,有很多的数都　　　　用有限小数或者循环小数的形式表示,例如圆周率π.π就是一个无限　　　　小数.  不能 不循环 获取新知 3 无理数的有关概念:无限不循环小数叫作无理数. 因为分数都可以转化为有限小数或循环小数,所以无理数不能写成分数形式(m,n是整数). 像有理数一样,无理数分为正无理数和负无理数. 判断一个数是不是无理数:一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数.只有满足“无限”和“不循环”这两个条件的小数,才是无理数. 知识要点 4 例1. 给出下列数:,-,,,,0., -0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0),其中是无理数的有 (　　) A.2个 　　　　 B.3个 　　　 C.4个 　　 D.5个 B 练习 (1)在实数,,3.14159,中,是无理数的是　　　　.  (2)在实数0,,,π,中,是正无理数的是　　　　.  (3)在实数-4,,,-,-,,0.2020020002…(每相邻两个2之间依次多一个0)中,是负无理数的是　　　　.  ,π -,- 无理数的三种主要形式 我们目前所学范围内无理数的三种类型: ①含有根号且被开方数不能被开尽的数,如,等; ②化简后含π的数,如π,等; ③特定结构的无限不循环小数,如-0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0). 归纳总结 7 如何估计的范围呢? 根据章头的问题,可以判断1<<2.由()2=2,进一步可以得到: 因为1.42=1.96,1.52=2.25, 所以1.42<2<1.52. 所以　　　　<<　　　　.  活动 2 比较无理数的大小 问题探究 1.4 1.5 8 因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.412<2<1.422. 所以　　　　<<　　　　.  因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以 1.4142<2<1.4152. 所以　　　　<<　　　　.  …… 如此下去,我们可以越来越精确地得到的范围. 1.41 1.42 1.414 1.415 例2 (教材典题)判断下面哪个无理数大于4,并且小于5: ,,. 解:这三个数中,大于4且小于5.理由如下: 因为()2=15, 而15<16,所以, 即<4; 因为()2=17, 10 而16<17<25, 所以, 即4<<5; 因为()2=26, 而26>25,所以, 即>5. 练习1 比较大小:(填“>”“<”或“=”) (1)　　　 ; (2)　　　　5;  (3)-　　　　-; (4)-　　　　-4.  < > < > 练习2 判断下面哪个无理数大于3,并且小于4: ,,. 解:这三个数中,大于3且小于4.理由如下: 因为()2=7,而7<9, 所以,即<3; 因为()2=10,而9<10<16, 所以, 即3<<4. 因为()2=19, 而19>16,所以, 即>4. 练习3 已知实数2,0,-,-0.4,其中,最小的数是哪个?为什么? 解:最小的数是-. 理由如下:四个数中,负数一定小于0和正数,因此只需比较两个负数-和-0.4的大小. 负数-和-0.4中,因为1<,即1<<2, 所以-2<-<-1,所以-<-0.4, 所以最小的数是-. 无理数比较大小的方法 (1)通过比较两个数的平方,进而确定原来两数的大小关系; (2)用估算的方法求无理数的近似值后再比较两数的大小; (3)利用计算器计算出它们的近似值,然后再比较大小. 归纳总结 16 探究 π-3,+1是否为无理数?为什么? 解:π-3,+1为无理数.理由如下: 因为π是无理数,即无限不循环小数,它与3的差仍是无限不循环小数,所以π-3是无理数. 因为是无理数,即无限不循环小数,它与1的和仍是无限不循环小数,所以+1是无理数. 1.下列各数中的无理数是 (　　) A. B.π C.0 D. B 随堂演练 18 2.无理数的大小在 (　　) A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 B 3.下列各数比3小的是 (　　) A. B. C. D. D 4.比较大小:(填“>”“<”或“=”) (1)5　　 ; (2)-　　-.  > < 5.已知下列7个实数:0,π,-,,-1.1,,. (1)将它们分成有理数和无理数两组; 解:(1)有理数:0,,-1.1,; 无理数:π,-, (2)将其中的无理数按从小到大的顺序排列,用“<”连接. (2)-<π<. | 总结 | 课堂小结 23 第2章 实数的初步认识 2.3 第2课时 实数的分类及与数轴的关系 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 活动 1 领悟实数的定义与分类 概括新知 有理数和无理数统称为实数.实数可以分类如下: 分类方法1,实数分为:正实数、　　　　、　　　　.  分类方法2,实数分为:有理数和　　　　.  有理数包括:整数、有限小数或　 　　　　　.  无理数是:　　　　　　小数.  0 负实数 无理数 无限循环小数 无限不循环 获取新知 25 例1 下列说法正确的是 (　　) A.实数包括有理数、无理数和0 B.有理数就是有限小数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论有理数还是无理数都是实数 D 26 练习1 下列说法正确的是 (　　) A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数　　　 D.带根号的数都是无理数 B 练习2 把下列各数填入相应的括号内: 4,-,0.,,,,, -,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0). (1)有理数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　}; (2)无理数: {　　　　　　　　　　　　　　　　 　 }; 4,0.,,,- -,,,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0) 4,-,0.,,,,,-,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0). (3)正实数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　 }; (4)负实数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　}. 4,0.,,,,0.01001000100001…(每相邻两个 1之间依次多一个0) -,,- 如何在数轴上找到表示的点? 如图2-3-1,以1个单位长度为边长画一个正方形,这个正方形的对角线长为　　　　.以　　　 　为圆心,正方形的对角线的长为半径画弧,与数轴正半轴的交点就表示 　　　　.可见,数轴上并不是所有点 都表示　　　　数.  活动 2 探究实数与数轴的关系 问题探究 图2-3-1 数轴原点 有理 30 实数与数轴的关系:实数与数轴上的点一一对应. 概括新知 找出下列各数中的无理数,并把它们填入图2-3-2的方框中. ,-,,,-,π+3. 尝试活动 图2-3-2 解:无理数为,-,π+3.和π+3都是正数. 由1<,知1<<2;π+3>6. 所以方框中从左到右依次填-,,π+3. 32 例2 找一个有理数a,使<a<. 解:符合条件的有理数有无穷多个. ∵2<1.52<3,∴<1.5<. ∴取a=1.5. 探究 你能找到一个无理数a,使<a<吗? 解:符合条件的无理数有无穷多个. ∵2<<3,∴. ∴取a=. 1.和数轴上的点一一对应的是 (　　) A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数 D 随堂演练 35 2.在实数,,中,分数的个数是 (　　) A.3 B.2 C.1 D.0 C　 3.如图20-1,点A,B在数轴上表示的实数分别为-和4.1,则A,B两点之间表示整数的点共有　　 个.  6 图20-1 4.把下列各数填入相应的大括号里. ,,-,0,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),1.414,-0.020202…,-. 无理数:{　　　　　　　　　　　　 　　　　　　}; 负有理数:{　　　　　　　}; 整数:{　　 }. ,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),- -,-0.020202… ,0 5.在数轴上标出表示下列各数的点(若是无理数,则标出大概位置),并把它们按从小到大的顺序排列,用“<”连接. 2,,0,-,-2,π. 从小到大排列为-2<-<0<2<<π. 解:如图. 课堂小结 40 | 反思 | 如何看待实数与数轴上点的一一对应的关系? 解:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都能表示一个实数. 第2章 实数的初步认识 2.3 第 3 课时 用计算器进行实数运算 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 活动 1 领悟实数范围内的运算法则 领悟新知 在实数范围内,不仅可以进行加、减、乘、除、　　　　运算,而且可以进行开立方运算,任何非负实数还可以进行　　　　运算.有理数的绝对值、倒数、　　　　的意义、有理数的运算法则在实数范围内　　　　　　.  乘方 开平方 相反数 仍然适用 获取新知 43 例1 计算: (1)-6+||+( )-1; (2)2-1+|-1|-(-π)0; 解:(1)原式=-6+3+2=-1. (2)原式=+1-1=. 44 (3)(-2)2-+(-1)0+( )-1; 　 (3)原式=4-3+1+3=5. (4)(-2)2++|-2|-. (4)原式=4+(-2)+(2-)-4 =4-2+2--4 =-. 例2 用计算器比较与的大小. 活动 2 领悟用计算器进行实数运算的一般方法 解:依次按以下各键: 计算器显示的结果为2.080083823. 依次按以下各键: 计算器显示的结果为2.080024038. 因为2.080083823>2.080024038, 所以. 47 例3 用计算器计算:(1)--π;　　　 解:(1)依次按以下各键: 计算器显示的结果为-5.377660631, 即--π≈-5.377660631. 48 (2)3×. (2)依次按以下各键: 计算器显示的结果为2.982719637, 即3×≈2.982719637. 1.某同学在用计算器计算6的算术平方根时,下列四个键中,需要用到的键是 (　　) A 图21-1 随堂演练 50 2.-的绝对值是 (　　) A.-4 B.4 C.-2 D.2 D 3.2-的相反数是 (　　) A.2+ B.-2+ C.2- D.-2- B 4.1-的相反数是　　　,的绝对值是　　, 的倒数是　　. -1 3 - 5.计算:+|1-|. 解:+|1-| =3-2-(1-) =. 6.计算:(3.14-π)0+|-1|+-1-. 解:原式=1+-1+2-=2. 课堂小结 56 | 反思 | 对于带根号及含π的无理数,如何比较它们的大小呢? 解:用计算器计算结果,再比较大小. $