4.2.1角的认识（课件）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件系统呈现角的静态与动态概念、表示方法、度分秒换算、分类及方位角应用。课堂从射线旋转情境导入，衔接小学角的初步认识，通过问题链（如旋转形成平角周角）搭建新旧知识支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于融合动态直观与逻辑推理，通过射线旋转图示（标注始边终边）培养几何直观，度分秒换算例题及规律探究题（如角内n条射线角个数公式）发展运算能力与推理意识，方位角结合地图实例用数学语言描述位置提升应用意识。含科普小视频、进率关系图等工具，能激发学生兴趣，教师可直接利用丰富例题习题提升教学效率。

北师大（2024）版数学七年级上册 第四章 认识基本的平面图形 4.2.1角的认识 某点向右运动，与原始位置的点相连，组成 . 将这条线段向右端无限延伸形成 线. 再将这条射线绕着起始端点旋转，会得到一个怎样的图形呢？ 线段 射 第 1 页：情境导入 —— 生活中的 “角” 生活实例（配图提示）： 打开的剪刀两刀刃形成的图形、钟表时针与分针的夹角、三角板的尖角； 门框的转角、墙角的交线、折扇展开时扇骨形成的图形； 体育课上，手臂摆动时与身体形成的角度； 思考：这些图形有什么共同特征？它们都是由什么组成的？如何用几何语言描述这种图形？ 第 2 页：核心概念 —— 角的定义与构成 定义 1（静态定义）：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。 构成要素（配图标注）： 公共端点叫做角的顶点（如点 O）； 两条射线叫做角的两条边（如射线 OA、射线 OB）； 图示：顶点 O，边 OA、OB，记作∠AOB（或其他表示方法）。 定义 2（动态定义）：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 理解：射线 OA（始边）绕顶点 O 旋转到 OB（终边），旋转过程中形成的图形就是角； 补充：旋转的范围越大，角的度数越大；旋转一周形成的角是周角（后续学习）。 关键词强调：角的边是 “射线”（无限延伸），顶点是 “公共端点”，缺一不可。 第 3 页：角的表示方法 —— 规范书写（重点） 表示方法 书写格式 适用条件 注意事项 1. 三字母表示法 ∠AOB（或∠BOA） 顶点 O 在中间，OA、OB 是角的两条边 顶点字母必须写在中间，两边字母可互换 2. 单字母表示法 ∠O 以点 O 为顶点的角只有一个 若顶点 O 处有多个角，不能用单字母表示（避免混淆） 3. 数字表示法 ∠1、∠2 角内标注数字（1、2、3…） 数字要写在角的内部，清晰不重叠 4. 希腊字母表示法 ∠α、∠β、∠γ 角内标注希腊字母（α、β、γ…） 与数字表示法类似，适用于多个角的区分 示例（配图）： 三字母：∠AOB、∠COD； 单字母：顶点 O 处只有一个角，可记∠O； 数字：∠1（标注在∠AOB 内部）； 希腊字母：∠α（标注在∠COD 内部）。 易错提醒：∠AOB ≠ ∠OAB（后者顶点是 A，不是 O）；顶点处有多个角时，禁用单字母表示（如∠O 不能区分∠AOB、∠BOC）。 第 4 页：角的度量 —— 工具与单位 度量工具：量角器（配图介绍量角器的刻度：0°~180°，内圈刻度、外圈刻度）。 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″），是角的基本度量单位。 换算关系： 1° = 60′（1 度等于 60 分）； 1′ = 60″（1 分等于 60 秒）； 示例：30.5° = 30°30′；1°20′ = 80′；900″ = 15′ = 0.25°。 度量步骤（配图分步说明）： 把量角器的中心与角的顶点重合； 把量角器的0° 刻度线与角的一条边重合； 读取角的另一条边所对应的量角器刻度（注意区分内圈和外圈刻度，与 0° 刻度线同侧的刻度为正确读数）。 注意事项： 中心与顶点必须重合，0° 刻度线与边必须重合，避免错位； 读数时视线垂直于量角器尺面，防止误差； 遇到大于 180° 的角（如 270°），可先测量其补角（180°- 补角 = 原角度）。 第 5 页：角的分类 —— 按度数划分 根据角的度数大小，可将角分为以下几类（配图展示各类角的形状）： 角的类型 度数范围 核心特征 示例 锐角 0° < α < 90° 小于直角，开口较小 30°、60°、85° 直角 α = 90° 两条边互相垂直，开口呈 “┐” 形 三角板的直角（90°） 钝角 90° < α < 180° 大于直角，小于平角，开口较大 100°、135°、175° 平角 α = 180° 两条边在同一直线上（方向相反），呈 “—” 形 一条直线上的角（180°） 周角 α = 360° 一条射线旋转一周形成，两条边重合 时钟转一圈（360°） 口诀记忆：锐角小，直角正，钝角大，平角直，周角圆。 注意：平角不是一条直线（直线无顶点），周角不是一条射线（射线无另一条边），它们都是角（有顶点和两条边）。 第 6 页：实例解析 —— 角的表示与度量 例 1：如图，写出图中所有的角，并选择合适的方法表示。 （配图：点 O 为顶点，有射线 OA、OB、OC，形成∠AOB、∠BOC、∠AOC） 解：图中的角有 3 个： ∠AOB（或∠1）、∠BOC（或∠2）、∠AOC（三字母表示，不能用∠O，因顶点 O 有 3 个角）。 例 2：用量角器测量如图所示的∠ABC，步骤如下： 步骤 1：将量角器中心与顶点 B 重合； 步骤 2：将量角器 0° 刻度线与边 BA 重合； 步骤 3：读取边 BC 对应的刻度，若为 60°，则∠ABC=60°（锐角）。 例 3：角度换算： （1）1.5° = ____′；（2）3°20′ = ____°；（3）450″ = ____° 解：（1）1.5×60=90′；（2）20′=20/60≈0.33°，故 3°20′≈3.33°；（3）450÷3600=0.125° 答案：90；3.33（或 10/3）；0.125 第 7 页：易错辨析 —— 角的常见错误 错误类型 错误说法 / 做法 正确说法 / 做法 错误原因 表示错误 把∠AOB 写成∠OAB ∠AOB（顶点 O 在中间） 混淆顶点与边的字母顺序 概念误解 平角是一条直线，周角是一条射线 平角是 180° 的角（有顶点和两条反向射线），周角是 360° 的角（有顶点和两条重合射线） 忽略角的 “顶点 + 两条边” 构成要素 度量错误 量角时中心未与顶点重合，或 0° 刻度线未与边重合 严格按 “中心对顶点，0 线对一边” 操作 操作不规范导致读数误差 分类错误 认为 89.5° 是直角，180° 是钝角 89.5° 是锐角（小于 90°），180° 是平角 混淆各类角的度数范围 换算错误 1°=100′，1′=100″ 1°=60′，1′=60″（六十进制） 误将角度换算当作十进制 第 8 页：基础练习 —— 巩固概念与操作 填空题： （1）角是由____条具有____的射线组成的图形，组成角的两条射线叫做角的____，公共端点叫做角的____；（答案：两，公共端点，边，顶点） （2）角的度量单位有____、、，它们之间的换算关系是 1°=′，1′=″；（答案：度，分，秒，60，60） （3）小于 90° 的角是____，等于 90° 的角是____，大于 90° 且小于 180° 的角是____；（答案：锐角，直角，钝角） （4）用三字母表示图中的角：顶点为 O，边为 OA、OB，记作____；（答案：∠AOB 或∠BOA） 选择题： （1）下列说法正确的是（ ） A. 角的边是线段 B. 平角是一条直线 C. 直角是 90° 的角 D. 顶点处有两个角时可用单字母表示（答案：C） （2）用量角器测量角时，正确的操作是（ ） A. 中心与边重合 B. 0° 刻度线与顶点重合 C. 中心与顶点重合，0° 刻度线与边重合 D. 读数时看任意刻度（答案：C） 操作题： 用量角器测量三角板的三个角，分别记录度数，并判断它们是锐角、直角还是钝角。（答案：通常为 30°、60°、90°，分别是锐角、锐角、直角） 第 9 页：生活应用 —— 角的实际意义 情境 1：钟表上，3 点整时，时针与分针形成的角是____°（直角）；6 点整时，形成的角是____°（平角）；（答案：90，180） 情境 2：木工师傅用角尺测量工件的直角，利用了 “直角 = 90°” 的特征； 情境 3：射击时，瞄准目标需要调整枪口与视线的角度，确保子弹沿直线命中目标； 拓展：角在建筑（屋顶倾斜角）、机械（零件夹角）、天文（天体视角）等领域广泛应用，是描述方向、位置关系的重要工具。 第 10 页：知识小结 核心概念：角的两种定义（静态：公共端点的两条射线；动态：射线旋转），构成要素（顶点、边）； 规范表示：三字母（顶点在中间）、单字母（单一角）、数字 / 希腊字母（多个角）； 度量与换算：量角器操作规范，度分秒六十进制换算（1°=60′，1′=60″）； 分类：锐角、直角、钝角、平角、周角（按度数划分）； 易错点：表示方法的字母顺序、平角 / 周角的概念、角度换算进制； 衔接：本节课为后续学习角的比较、角的和差、余角补角奠定基础，是几何图形的重要组成部分。 情景导入 在小学的学习中,我们初步认识了“角”.你能在图中找到角吗? 情景导入 一级标题：黑体， 3 作者 (A) - 第2,3张图需换成“夹子和激光反射”的图片 问题引入 问题1 结合小学学过的知识，你能在下面一组图中找到角吗？ 情景导入 问题2 请结合下面图片说说你对角的认识。 锐角 大于0°且小于90° 直角 1直角=90° 钝角 大于90°且小于180° 平角 周角 1平角=180° 1周角=360° 情景导入 角 (静态)： 两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 边 顶点 这个公共端点是角的顶点 这两条射线是角的两条边 边 探究新知 若将这条射线绕着端点旋转，会得到一个怎样的图形呢？ 角 角 (动态)： 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 终边 始边 阴影部分是角的组成部分吗？ 角包含两条射线所夹的平面区域 探究新知 问题1：如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OA 和 OB 重合时，又形成什么角？ 终边 始边 A O B A O (B) 平角 周角 探究新知 问题2：下列图形哪些是角？ 并说出它们是什么角？ √ × 锐角 直角 钝角 √ × × √ 探究新知 探究2：你知道这些角可以如何表示吗？ 1. 用三个大写英文字母表示 A O B ∠AOB ∠BOA 角的顶点字母必须写在中间 2. 用顶点的一个英文字母表示 ∠O 探究新知 3. 用一个希腊字母表示 α ∠α 4. 用一个数字表示 1 ∠1 这两种方式表示角时图上一定要标注弧线与对应的希腊字母或数字. 探究新知 A B C D (1) 用适当的方式分别表示图中的每个角。 (2) 在图中，∠BAC，∠CAD 和∠BAD 能用∠A 来表示吗? ∠BAC ∠CAD ∠BAD 唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来记角. 不可以，以 A 为顶点的角不止一个，记作∠A 分不清是哪一个. 探究新知 方法 表示 图形 注意 用三个大写英文字母表示 用顶点的一个英文字母表示 用一个希腊字母表示 用一个数字表示 ∠AOB ∠BOA ∠α ∠1 ①角的顶点字母写在中间 ∠O ②唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来记角 ③标注弧线和希腊字母或数字 探究新知 1. 下列四个图中，能用 ∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是 ( ) B O A 1 O B A 1 1 O B A B A O B 1 A B C D 探究新知 量角器 想一想：怎么知道一个角的大小？ 角的度量工具： 1 周角＝　　°，1 平角＝　　°， 1 直角＝　　°. 360 180 90 探究新知 1° 的 为 1 分，记作 1′， 1°＝　　′ 。 1′ 的 为 1 秒，记作 1″， 1′＝　　″。 60 为了更精密地度量角，我们规定： 60 【科普小视频】 探究新知 例1 计算： (1) 1.45°等于多少分？等于多少秒？ 解：(1) 60′ ×1.45 = 87′，60″×87 = 5220″，即 (2) 1800″ 等于多少分？等于多少度？ 1.45° = 87′ = 5220″； (2) ×1800 = 30′， ×30 = 0.5°，即 1800″ = 30′ = 0.5°。 探究新知 2. 计算：(1) 0.32°等于多少分？等于多少秒？ (2) 4680″ 等于多少分？等于多少度？ 解：(1) 60′ ×0.32 = 19.2′，60″×19.2 = 1152″，即 0.32° = 19.2′ = 1152″； (2) ×4680 = 78′， ×78 = 1.3°，即 4680″ = 78′ = 0.3°。 探究新知 度 分 秒 ×60 ×60 ×3600 ÷60 ÷3600 ÷60 度分秒进率关系图： 探究新知 例2 度、分、秒互化： (1) 57.32°= ° ′ ″； 总结 高进制→低进制：按 1°＝60′，1′＝60″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数) 解析：57.32° = 57°+ 0.32×60′ = 57°+ 19.2′ = 57°19′ + 0.2×60″ = 57°19′12″. 57 19 12 探究新知 (2) 17°6′36″ = °. 17.11 解析：17°6′36″ = 17° + 6′ + ′ = 17° + 6.6′ = 17° + ° = 17.11°. 总结 低进制→高进制：按 1″＝ ′，1′＝ ° 先把秒化成分，再把分化成度. (整数化小数) 探究新知 右图呈现了几个城市在中国地图上的大致位置。 (1) 分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角。 (2) 哈尔滨在北京的北偏东大约多少度？ 观察·思考 (2) 哈尔滨在北京的北偏东大约 45 度处。 探究新知 知识点1 角的有关概念 1.下列说法中，正确的是( ) C A.由两条射线组成的图形叫作角 B.由有公共端点的两条线段组成的图形叫作角 C.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.角的边越长，角越大 考试考法 23 2.下列关于平角和周角的说法错误的是( ) C A.平角的两边在一条直线上 B.周角的两边在一条射线上 C.平角是一条直线 D.周角的两边重合 考试考法 24 3.用一个10倍的放大镜看一个 的角，看到的角的度数为( ) D A. B. C. D. 考试考法 25 4.下列各角中，一定是钝角的是( ) B A.周角 B.平角 C.平角 D. 直角 考试考法 26 知识点2 角的表示方法 5. 如图是平板电脑支架侧面 的平面示意图，其中 还可以表示为 ( ) B A. B. C. D. 考试考法 27 6.［2025北京平谷区期末］下列图形中，能用， ， 三种方 法表示同一个角的图形是( ) B A. B. C. D. 考试考法 28 7.如图所示，回答下列问题： （1）写出能用一个字母表示的角：_________； （2）写出以点 为顶点的角：______________________。 ， ，， 考试考法 29 知识点3 角的度、分、秒的转化 8.［2025济南月考］ 可化为( ) D A. B. C. D. 考试考法 30 9.［教材 例1 变式］计算： （1）__________ ； （2）___________ ； （3）_____ ； （4）______ ； （5）____ ________ 。 105 1.75 45 2 700 15.5 45.32 34 10 48 考试考法 31 知识点4 方位角 （第10题） 10.如图，若 ，则 表示的方向为( ) A A.南偏东 B.东偏南 C.北偏东 D.北偏东 考试考法 32 （第11题） 11.［2025日照期末］如图，地和 地都是海上观 测站，地在灯塔的北偏东 方向， ，则地在灯塔 的( ) B A.南偏东 方向 B.南偏东 方向 C.南偏西 方向 D.东偏南 方向 考试考法 33 12.［教材 尝试·思考变式］如图，下列说法错误的是( ) B （第12题） A.与 表示同一个角 B.也可用 来表示 C.图中共有三个角：，， D. 表示的是 考试考法 34 13.［2025长沙月考］若， ， ，则( ) A A. B. C. D. 考试考法 35 （第14题） 14.如图，点在直线 上，则图中小于平角的角 有( ) B A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 考试考法 36 15.（4分）如图，地和地都是海上观测站，从 地发现它的北偏东 方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东 方向 上.请在图中确定船 的位置。 解：如图，作 ， ，两射线相交于点 ，则 点 即为所求。 考试考法 37 16.（12分）［教材习题 变式］ 日常生活中，我们时常见到钟表。 每经过 ，时针转动一个大格，角 度是 ，分针转动一周，角度为 。 （1）每经过，时针转动____ ，分针转动___ ； （2）如图①，时，时针与分针的夹角是____ ，此角度对应的整 点还有_______； 0.5 6 90 3：00 考试考法 38 （3）如图②，时，时针与分针的夹角是____ ； 45 （4）如图③， 时，时针与分针的夹角是多少度？ 解：6：15时，时针与分针的夹角是 。 考试考法 39 17.（12分） 观察如图所示的图形，回答下列问题： （1）图①中有___个角； （2）图②中有___个角； （3）图③中有___个角； 1 3 6 （4）以此类推，如图④，若一个角内有 条射线，此时共有多少个角？ 解：此时共有 个角。 考试考法 40 有 的 射线组成的图形叫作角；角也可以看作由一条射线绕着它的 旋转而形成的图形． 角 概念 表示 公共端点 度量和单位 1 周角＝　　°，1 平角＝　　°， 1°＝　　′，1′＝　　″ 两条 端点 ∠AOB 或 ∠BOA 或 ∠O ∠α ∠1 360 180 60 60 图中表示的角记作 图中表示的角记作 图中表示的角记作 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $