精品解析：山东省烟台市莱州市2025-2026学年（五四制）七年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业水平检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称和对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，掌握轴对称的定义是解题关键．先确定各图形的对称轴数量，然后比较即可得出答案． 【详解】解：A、有4条对称轴； B、有6条对称轴； C、有4条对称轴； D、有2条对称轴； 综上分析可知，对称轴条数小于3的是D选项中的图形． 故选：D． 2. 以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 3. 的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（ ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，可判断①；先计算出、、，再根据三角形三边关系可判断②；利用勾股定理的逆定理可判断③；先根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理求出，可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，，，且，不满足三角形两边之和大于第三边的性质， ∴此时、、不能构成三角形； ③∵，，， ∴， ∴不是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 综上所述，只有①和④能判断为直角三角形，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等边对等角等知识点，解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点据此判断即可． 【详解】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选C． 5. 根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点、为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含角的直角三角形的性质．作于点，由尺规作图步骤可得平分，从而得到，，由含角的直角三角形的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：作于点，由尺规作图步骤可得：平分， ， ， ， ， ， 点到的距离为3， 故选：A． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是斜边AB的垂直平分线，与BC相交于点D连接AD，若AC＝5，△ACD的周长为17，则斜边AB的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为17， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 如图，与关于直线对称，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：与关于直线对称， ≌， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为（ ）． A. 36 B. 18 C. 81 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理的几何意义可直接解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积， 因此正方形的面积之和， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查轴对称的性质，作点B关于的对称点，连接，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，作点B关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长，点P即为所求， ∵点与点B关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：①当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形， 周长为； ②当为腰时， 其它两边为和， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是______ 【答案】10:51 【解析】 【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可． 【详解】连接， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：20． 14. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 【详解】解：因为的垂线，的垂线， 所以， 因为，（对顶角相等）， 所以， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：． 15. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______． 【答案】7或3.5 【解析】 【分析】分两种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时； 【详解】解：当P在AC上，Q在BC上时， ∵∠ACB=90°， ∴∠PCE+∠QCF=90°， ∵PE⊥l于E，QF⊥l于F． ∴∠PEC=∠CFQ=90°， ∴∠EPC+∠PCE=90°， ∴∠EPC=∠QCF， ∵△PEC与△QFC全等， ∴此时是△PCE≌△CQF， ∴PC=CQ， ∴8-t=10-3t， 解得t=1， ∴CQ=10-3t=7； 当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC， 由题意得，8-t=3t-10， 解得t=4.5， ∴CQ=3t-10=3.5， 综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为7或3.5， 故答案为：7或3.5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 作图题：已知，求作一个三角形，使，并作出边的中线．（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】 如图，即为所求，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图——作全等三角形，作垂直平分线，全等三角形的判定，根据相关只是带你正确作图是解题关键．利用 “” 即可作出一个三角形，使，再作的垂直平分线交于点，即为边的中线．． 【详解】略 18. 如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）2． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法即可证明； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即． 19. 已知三条线段、、满足，且�� 是能与线段 �� , �� 构成三角形的最大奇数． （1）求、、的值； （2）若、、分别是的三边，判断三角形形状，并求边上高的长度． 【答案】（1）， （2）是直角三角形， 【解析】 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性、三角形三边关系、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式．解题的关键是熟练掌握绝对值与平方数的非负性、三角形三边关系、勾股定理及其逆定理． （1）利用绝对值和平方数的非负性，得出、，求出、；再根据三角形三边关系确定的取值范围，结合“最大奇数”的条件确定． （2）通过计算三边的平方关系，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形；再根据三角形面积的两种表示方法，列等式求出边上的高． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵是、、能围成三角形的最大奇数， ∴； 【小问2详解】 ∵、、为的三边，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 20. （1）如图，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于___________； （2）如图（2），在中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线与三角形的面积关系，角平分线的定义，三角形内角和定理．关键是掌握三角形中线把三角形面积平分． （1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． （2）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴，， ． 故答案为：4； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米． （1）梯子的长为______米； （2）如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：梯子的底端向外移米，理由如下： 由题意得，此时在中，， ∴由勾股定理得， ∴梯子的底端向外移米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）直接在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）直接在中利用勾股定理求出移动后的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，， ∴由勾股定理得米， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB． 求证：（1）△ABD≌△ACE； （2）DF=CE． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE， ∴∠BAD=∠EAC．在△BAD和△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）证明：∵△BAD≌△CAE， ∴∠DBA=∠C． ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC． ∵DF∥BC， ∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA， 即∠DFB=∠DBF， ∴DF=CE． 【解析】 【详解】分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根据SAS证出△BAD≌△CAE即可； （2）根据全等推出∠DBA=∠C，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC，根据平行线性质得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定推出即可． 详解：（1）略 （2）略 点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 23. 数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形，则四边形是一个________（填“长方形”或“正方形”），其面积为________（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，利用上面的结论求的长． 【答案】（1）正方形， （2） 证明：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积加上正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理的证明，勾股定理等等： （1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积加上正方形的面积，列式证明即可； （3）先求出，，再由勾股定理求出，进而得出，设，则，，最后用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴四边形是一个正方形，其面积为， 故答案为：正方形，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，，， 在中，， 即， 解得：， 又， ， 设， 则， 在中，， ， 解得， 即． 24. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】（1）4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）2，，，8． 【解析】 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）略 （3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为2，，，8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边长分别为、、，下列四个选项能判断为直角三角形有（ ）个 ①，； ②，，； ③，，； ④， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 都有可能 5. 根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（ ）． A. 如图1，线段与相交于点O，，与 B. 如图2，，与 C. 如图3，线段相交于点E，已知，与 D. 如图4，已知，与 6. 如图，中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点、为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则点到的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 无法确定 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是斜边AB的垂直平分线，与BC相交于点D连接AD，若AC＝5，△ACD的周长为17，则斜边AB的长为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 如图，与关于直线对称，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为（ ）． A. 36 B. 18 C. 81 D. 27 10. 如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题） 11. 等腰三角形的一条边长为2cm，另一条边长为5cm，则它的周长是______cm． 12. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像，如图所示，实际时间是______ 13. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 14. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是______． 15. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ___________． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 作图题：已知，求作一个三角形，使，并作出边的中线．（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 18. 如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 19. 已知三条线段、、满足，且�� 是能与线段 �� , �� 构成三角形的最大奇数． （1）求、、的值； （2）若、、分别是的三边，判断三角形形状，并求边上高的长度． 20. （1）如图，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于___________； （2）如图（2），在中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 21. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米． （1）梯子的长为______米； （2）如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB． 求证：（1）△ABD≌△ACE； （2）DF=CE． 23. 数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形，则四边形是一个________（填“长方形”或“正方形”），其面积为________（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，利用上面的结论求的长． 24. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $