5.2二元一次方程组的解法题型总结讲义2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.2二元一次方程组的解法题型总结讲义 【题型一】代入法解二元一次方程组 【例1】（2025春•海港区校级期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【例2】（2025秋•市中区校级月考）已知，则用含x的式子表示y为 ． 【变式1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）解二元一次方程组： （1）； （2）． 【变式2】（2025秋•济阳区期中）解方程组： （1）； （2）． 【题型二】加减消元法解二元一次方程组 【例1】（2025秋•雁塔区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【例2】（2025秋•福田区校级期中）解二元一次方程组：． 【变式1】（2025秋•浑南区期中）解方程组：． 【变式2】（2025秋•沈河区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【题型三】整体思想在二元一次方程组中的应用 【例1】（2025春•松原期末）已知二元一次方程组，则2x+9y的值为　 　 ． 【例2】（2024秋•碑林区校级期末）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　 　 ． 【变式1】（2025•沙坪坝区校级开学）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝2，则k的值为　 　 ． 【变式2】（2025春•西宁校级期中）若x，y满足方程组，则x﹣2y的值是　 　 ． 【题型四】换元思想在二元一次方程组中的应用 【例1】（2025春•蔡甸区校级期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　 　 ． 【变式1】（2025春•浙江月考）解方程组：． 【题型五】错解问题 【例1】（2025•桑植县三模）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么a+b+c＝　 　 ． 【变式1】（2025春•宜昌期中）解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值为 　 　 ． 【变式2】（2024•黄石港区一模）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了c，解得，那么当x＝﹣1时，ax2+bx+c的值为 　 　 ． 【题型六】含参数型二元一次方程组 【例1】（2025春•东港区期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【例2】（2025秋•徐汇区校级期中）若|a﹣b+1|与互为相反数，则a+b＝　 　 ． 【变式1】（2025秋•越秀区校级期中）若|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为　 　 ． 【变式2】（2024秋•兴庆区校级期末）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为 　 　 ． 【课后练习】 1．（2025秋•南山区校级期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（　　） A．①×5+② B．①+②×3 C．①﹣②×2 D．①+②×2 2．（2025秋•亭湖区月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元—次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•平顶山模拟）已知关于x，y的二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 4．（2025•达州校级开学）用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 5．（2025•赤坎区校级四模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（2025•息县二模）已知方程组，则x+y＝ 　 　 ． 7．（2025春•殷都区期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为　 　 8．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则a+b+c＝　 　 ． 9．（2023秋•龙川县校级月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 　 ． 10．（2025秋•济南期中）解方程组： （1）； （2）． 11．（2025秋•皇姑区校级期中）解方程组 （1）； （2）． 12．（2025秋•重庆月考）解二元一次方程组： （1）； （2）． 13．（2025春•西宁校级期中）解方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 14．（2025春•船营区校级期中）已知是关于x、y的方程组的解． （1）求a、b的值； （2）求2ab﹣a+1的算术平方根． 15．（2025秋•沙坪坝区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 16．（2025•崆峒区校级一模）解方程组：． 17．（2025春•下陆区校级期中）用适当的方法解下列方程组： （1） （2）． 18．（2025春•开封校级期中）解方程组： （1）； （2）． 19．（2024秋•雁塔区校级期末）解二元一次方程组：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2二元一次方程组的解法题型总结讲义 【题型一】代入法解二元一次方程组 【例1】（2025春•海港区校级期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（　　） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【分析】根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【解答】解：A、由①，得，变形正确，故此选项不符合题意； B、由②得，原变形错误，故此选项符合题意； C、由①，得，变形正确，故此选项不符合题意； D、由②，得，变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（2025秋•市中区校级月考）已知，则用含x的式子表示y为y＝9﹣2x ． 【分析】先用x表示t，然后代入y＝3﹣2t中即可得出答案． 【解答】解：由x＝3+t得t＝x﹣3， 把t＝x﹣3代入y＝3﹣2t中，得y＝3﹣2（x﹣3）＝3﹣2x+6＝9﹣2x， 故答案为：y＝9﹣2x． 【变式1】（2025秋•沙坪坝区校级期中）解二元一次方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）①×5，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先化简②，再用代入消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， ①×5+②得：7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入①得：2+y＝1， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）， 整理②得：3x+4y＝5③， 把①代入③得：3x+x+1＝5， 解得x＝1， 把x＝1代入①得：4y＝2， 解得：y， ∴方程组的解为：． 【变式2】（2025秋•济阳区期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）根据代入法消元法解二元一次方程组即可； （2）先把原方程组整理为：，然后再根据加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得2x+2x﹣3＝5， 整理，得4x＝8， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得y＝2×2﹣3＝1， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①+②，得6x＝18， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得3×3+2y＝10， 解得：y， ∴方程组的解为． 【题型二】加减消元法解二元一次方程组 【例1】（2025秋•雁塔区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②得：4y＝4， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：2x+1＝7， 解得：x＝3， 所以方程组的解是：； （2）方程组整理得， ②﹣①×2得：7y＝7， 解得：y＝1， 把y＝1代入①得：x﹣2＝3， 解得：x＝5， 所以方程组的解是：． 【例2】（2025秋•福田区校级期中）解二元一次方程组：． 【分析】利用加减消元法解此方程组即可． 【解答】解：原方程组整理可得：， 两式相加整理可得：6x＝24， 解得x＝4， 将x＝4代入③①可得3×4+2y＝16， 解得y＝2， ∴原方程组的解为． 【变式1】（2025秋•浑南区期中）解方程组：． 【分析】把原方程组变形为：，然后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， 整理，得， ②﹣①，得5y＝﹣4， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式2】（2025秋•沈河区校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）用加减消元法消去y，进而求解； （2）直接用加减消元法消去y，进而求解． 【解答】解：（1）， ①×3+②得13x＝26， 解得：x＝2， 把x＝2代入②得2+3y＝2， 解得：y＝0， ∴方程组的解为； （2）， ①+②得2x+3x﹣2y+2y＝5+15， 5x＝20， 解得：x＝4， 把x＝4代入①得2×4﹣2y＝5， 解得：， ∴方程组的解为． 【题型三】整体思想在二元一次方程组中的应用 【例1】（2025春•松原期末）已知二元一次方程组，则2x+9y的值为　2026　 ． 【分析】利用第一个方程减去第二个方程，即可得出答案． 【解答】解：， ①﹣②，得2x+y＝2026． 故答案为：2026． 【例2】（2024秋•碑林区校级期末）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　1　 ． 【分析】方程组两方程左右两边相加即可求出x+y的值． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝3， 则x+y＝1， 故答案为：1 【变式1】（2025•沙坪坝区校级开学）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝2，则k的值为　1　 ． 【分析】把方程组中的两个方程相减得到2x﹣4y＝2k+2，即x﹣2y＝k+1，再结合x﹣2y＝2得到关于k的方程，解一元一次方程即可得到答案． 【解答】解：， ②﹣①，得2x﹣4y＝2k+2， 方程两边同时除以2，得x﹣2y＝k+1． 根据已知，x﹣2y＝2，即k+1＝2， 移项、合并同类项，得k＝1． 故答案为：1． 【变式2】（2025春•西宁校级期中）若x，y满足方程组，则x﹣2y的值是　8　 ． 【分析】根据两个方程系数的关系将两个方程相减即可得到答案． 【解答】解：∵x，y满足方程组，两个方程的系数相减即可得出x﹣2y， ∴①﹣②得x﹣2y＝8， 故答案为：8． 【题型四】换元思想在二元一次方程组中的应用 【例1】（2025春•蔡甸区校级期末）“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　　 ． 【分析】先将原方程组变形为，令，，利用换元法求解即可． 【解答】解：将方程组中每一个方程两边同除以5，得， 令，，则， 由题意可得：， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】（2025春•浙江月考）解方程组：． 【分析】将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：原方程组整理得， ②×3﹣①×2得：5x＝5， 解得：x＝1， 将x＝1代入①得：2﹣3y＝﹣4， 解得：y＝2， 故原方程组的解为． 【题型五】错解问题 【例1】（2025•桑植县三模）在解关于x，y的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么a+b+c＝　7　 ． 【分析】把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【解答】解：把把代入ax+by＝22得：， ①×3﹣②得：a＝4， 把a＝4代入①得：b＝5， 把代入cx+7y＝8得：3c+14＝8， 解得：c＝﹣2， ∴a+b+c＝4+5+（﹣2）＝7， 故答案为：7． 【变式1】（2025春•宜昌期中）解方程组时，将a看错后得到，正确结果应为，则a+b+c的值为 　5　 ． 【分析】根据题意可得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1，再把为代入中得：，然后进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入bx﹣cy＝﹣1可得：2b﹣3c＝﹣1， 把把为代入中得：， 解得：a＝3， 由题意得：， 解得：， ∴a+b+c＝3+1+1＝5， 故答案为：5． 【变式2】（2024•黄石港区一模）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了c，解得，那么当x＝﹣1时，ax2+bx+c的值为 　2　 ． 【分析】先把代入原方程组得到2a+2b①，2c﹣8＝﹣2，则c＝3；再把代入方程ax+by＝6得到﹣2a+4b②，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【解答】解：由题意得是方程组的解， ∴2a+2b＝6①，2c﹣8＝﹣2， ∴c＝3； ∵小刚只看错了c，解得， ∴是方程ax+by＝6的解， ∴﹣2a+4b＝6②， ∴联立①②得， ∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c的值为1×（﹣1）2+2×（﹣1）+3＝2， 故答案为：2． 【题型六】含参数型二元一次方程组 【例1】（2025春•东港区期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【分析】根据原方程得出x，y的表达式，整理得kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），推出当k＝﹣1，从而得解． 【解答】解：∵（a是常数）， ∴y＝﹣a﹣1， x＝a+3， 则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1）， ∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1， 故k的值为﹣1， 故选：A． 【例2】（2025秋•徐汇区校级期中）若|a﹣b+1|与互为相反数，则a+b＝　﹣3　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣b+1|和互为相反数， ∴|a﹣b+1|0， ∴， ∴a＝﹣2，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【变式1】（2025秋•越秀区校级期中）若|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为　﹣2　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+2y﹣5|+（2x+y﹣3）2＝0， ∴， ②﹣①得：x﹣y＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式2】（2024秋•兴庆区校级期末）已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为 　　 ． 【分析】先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得2x﹣4y＝﹣4k+3，再根据x﹣2y＝1得到k的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：， 由②﹣①得，2x﹣4y＝﹣4k+3，整理得2（x﹣2y）＝﹣4k+3， ∵x﹣2y＝1， ∴2＝﹣4k+3， 解得：． 故答案为：． 【课后练习】 1．（2025秋•南山区校级期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（　　） A．①×5+② B．①+②×3 C．①﹣②×2 D．①+②×2 【分析】根据加减消元法判断解答即可． 【解答】解：根据加减消元法判断解答如下： A． ①×5+②无法消去任何未知数，不符合题意； B． ①+②×3①+②×2不符合题意； C． ①﹣②×2可以消去x，符合题意； D． ①+②×2①+②×2，不符合题意． 故选：C． 2．（2025秋•亭湖区月考）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元—次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出k的值． 【解答】解：， ①﹣②，得5y＝﹣4k，解得， 把代入②，得，解得xk， 把xk，代入二元一次方程2x+3y＝6，得，解得． 故选：A． 3．（2025•平顶山模拟）已知关于x，y的二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】将第二个方程减去第一个方程，即可解答． 【解答】解：， ②﹣①得2x﹣x+y﹣2y＝4﹣1， 得x﹣y＝3． 故选：D． 4．（2025•达州校级开学）用加减消元法解方程组，下列解法不正确的是（　　） A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y 【分析】利用加减消元法对各选项进行判断即可． 【解答】解：A、①×3﹣②×2，消去x，正确，故选项A不符合题意； B、①×2﹣②×3，消去y，正确，故选项B不符合题意； C、①×（﹣3）+②×2，消去x，正确，故选项C不符合题意； D、①×2+②×（﹣3），能消去y，而①×2﹣②×（﹣3）不能消去y，故选项D符合题意． 故选：D． 5．（2025•赤坎区校级四模）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：将方程标号得， ②﹣①得x＝2， 将x＝2代入①得2+y＝6， 解得y＝4， ∴， 故选：B． 6．（2025•息县二模）已知方程组，则x+y＝ 　2　 ． 【分析】①+②得：3x+3y＝6，所以3（x+y）＝6，从而直接求得x+y的值． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝6， ∴3（x+y）＝6， ∴x+y＝2， 故答案为：2． 7．（2025春•殷都区期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为　1　 【分析】②﹣①得到x﹣y＝4﹣m，代入x﹣y＝3中计算即可求出m的值． 【解答】解：， ②﹣①得：x﹣y＝4﹣m， ∵x﹣y＝3， ∴4﹣m＝3， 解得：m＝1， 故答案为：1 8．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则a+b+c＝　7　 ． 【分析】【考点提示】 本题是一道有关解三元一次方程组、二元一次方程组的解的题目； 【解题方法提示】 x＝1和y＝﹣1使得方程组中的两个方程都成立，即使得方程的左右两边都相等． 10＞2＞﹣5，则a+b+c的和的符号为正． 【解答】解： 把代入得：， ∵是方程ax+by＝8的解， ∴代入ax+by＝8得：2a﹣6b＝8③， 联立①②③并解得：， ∴a+b+c＝7． 故答案为：7． 9．（2023秋•龙川县校级月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　 ． 【分析】设x+2003＝m，y﹣2003＝n，则方程组可转化为，再根据已知条件得，进而得，由此解出即可得出答案． 【解答】解：设x+2003＝m，y﹣2003＝n， ∴方程组可转化为：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：． ∴关于x、y的方程组的解为：， 故答案为：． 10．（2025秋•济南期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把原方程组变形为：，然后利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②，得4y＝8， 解得：y＝2， 把y＝2代入②，得2x﹣2＝4， 解得：x＝3， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①×2，得2x+4y＝22③， ③﹣②，得3y＝9， 解得：y＝3， 把y＝3代入①，得x+2×3＝11， 解得：x＝5， ∴方程组的解为． 11．（2025秋•皇姑区校级期中）解方程组 （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， ①×3，得9x﹣3y＝6③， ②﹣③，得11y＝11， 解得：y＝1， 把y＝1代入①，得3x﹣1＝2， 解得：x＝1， ∴方程组的解为； （2）， ①+②，得3x＝18， 解得：x＝6， 把x＝6代入②，得2×6﹣3y＝6， 解得：y＝2， ∴方程组的解为． 12．（2025秋•重庆月考）解二元一次方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）直接运用加减消元法求解即可； （2）先化简方程组，然后再运用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， ①×5得：10x+5y＝15③， ③+②可得：13x＝26， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：2×2+y＝3，解得：y＝﹣1， 所以该方程组的解为：． （2）将原方程组化简整理可得：， ①﹣②可得：﹣2x＝﹣10，解得：x＝5， 把x＝5代入①得：2×5﹣3y＝﹣2， 解得：y＝4， 所以该方程组的解为：． 13．（2025春•西宁校级期中）解方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：2x+3×3x＝22， 解得x＝2， 把x＝2代入①得：y＝6， 所以方程组的解为； （2）， ①×2，得4x﹣2y＝10③， ③﹣②得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝﹣1， 所以方程组的解为． 14．（2025春•船营区校级期中）已知是关于x、y的方程组的解． （1）求a、b的值； （2）求2ab﹣a+1的算术平方根． 【分析】（1）把代入方程组可得，再解方程组即可； （2）先求出2ab﹣a+1，再计算算术平方根即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，， 解得：； （2）当时， 2ab﹣a+1 ＝2×5×4﹣5+1 ＝36， ∴2ab﹣a+1的算术平方根是． 15．（2025秋•沙坪坝区校级月考）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）先将原方程组变形为，再利用加减消元法进行运算即可． 【解答】解：（1）， 将②代入①得3x﹣4＝5， 解得x＝3， 将x＝3代入②得3﹣2y＝1， 解得y＝1， ∴原方程组的解为； （2）原方程组可变形为， ①×3﹣②×4得7y＝28， 解得y＝4， 将y＝4代入①得4x﹣12＝12， 解得x＝6， 则该方程组的解为． 16．（2025•崆峒区校级一模）解方程组：． 【分析】根据加减消元法，可得答案． 【解答】解：②×3﹣①，得 11y＝22， 解得y＝2， 将y＝2代入①，得 3x＝3， 解得x＝1， 原方程组的解为． 17．（2025春•下陆区校级期中）用适当的方法解下列方程组： （1） （2）． 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：6x＝18， 解得：x＝3， 把x＝3代入①得：y＝﹣4， 则方程组的解为； （2）， 把①代入②得：4x﹣14＝2， 解得：x＝4， 把x＝4代入①得：y＝3， 则方程组的解为． 18．（2025春•开封校级期中）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1） ①×4得：8x﹣4y＝﹣16③， ③+②得：13x＝﹣13， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：﹣2﹣y＝﹣4， 解得：y＝2， ∴原方程组的解为； （2） ①×2得：2x+2y＝40③， ②﹣③得：2x＝20， 解得x＝10， 把x＝10代入①得：10+y＝20， 解得：y＝10， ∴原方程组的解为． 19．（2024秋•雁塔区校级期末）解二元一次方程组：． 【分析】运用代入消元法求解即可． 【解答】解：， 由2x﹣y＝4得y＝2x﹣4③， 将③代入②解得：x＝4， 将x＝4代入③得：y＝2×4﹣4＝4， ∴原方程组的解为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $