第4章 等可能条件下的概率 同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第4章 等可能条件下的概率 一、单选题 1．暑假期间，语文老师给学生布置了阅读任务，小芹和小芬分别从《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》四大名著中随机选择一本作为自己的阅读书目，则她们选择的书目完全相同概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ） A． B． C． D． 3．某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（   ） A． B． C． D． 4．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 5．不透明的袋子中装有红球1个、白球2个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．已知一个袋子中装有5个红球，个黑球，10个白球，这些球除颜色外其余都相同．若从袋子中摸出一个黑球和一个白球后（不放回），再摸出一个球是红球的概率为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．中国传统乐器种类繁多，历史悠久，承载着丰富的文化内涵和艺术价值．某校开设了二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，小明和小丽随机选择其中的一个社团，则两人选择同一个社团的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为 ． 10．在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是 ． 11．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 12．2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ． 13．小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为 ． 三、解答题 14．在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)该班共有学生 　 　人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中， 　 　参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 　 　度； (3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 15．我市某中学开展爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制成一个不完整的频数分布直方图和扇形统计图．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元． (1)请补全频数分布直方图； (2)九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是 ； (3)九（1）班学生小明同学捐款22元，班主任拟在捐款最多的元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是 ． 16．大学城第四中学举行演讲比赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题： (1)在这场比赛中，共有多少学生参赛？ (2)将条形统计图补全，并求出扇形统计图中“一等奖”所在扇形圆心角的度数； (3)获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率． 17．小明和小齐都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但两人只能有一人参加，小明提议做游戏决定谁去参加活动，游戏规则为：如图，将一个转盘6等分，分别标上2至7六个数字，两人各随机转动转盘一次，若两人转到的两次数字之和是2的倍数，小明去参加活动；若两人转到的两次数字之和是3的倍数，小齐去参加活动；你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 18．某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图． 请结合图中相关信息解答下列问题： (1)本次共调查了_______名同学；请将条形统计图补全； (2)扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______度； (3)获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查等画树状图或列表求概率，先画树状图，再确定所有等可能的结果和符合要求的结果，再利用概率的公式求解即可. 【详解】解：用分别表示《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》四大名著， 画树状图如下： 从树状图可以看出：所有等可能的结果有种，其中她们选择的书目完全相同的结果有4种， ∴她们选择的书目完全相同概率是， 故选：C. 2．C 【分析】本题考查的是几何概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形， 指针落在阴影部分的概率是． 故选：C． 3．A 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中琪琪与涵涵两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即、、、， ∴两人选择同一门课程的概率为． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 先画出树状图，从而可得出两个转盘转动时的所有可能结果，再找出一个为红色，一个为蓝色的结果，再利用概率公式求解即可 【详解】解：由题意，画树状图如下： 由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种， 则配得紫色的概率是， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了列表法与树状图法，画树状图，共有6种等可能结果，其中两次都摸到白球的有2种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中两次都摸到白球的有2种结果， ∴两次都摸到白球的概率为， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程求解． 先确定摸出一个黑球和一个白球后剩余球的总数以及红球的数量，再根据概率公式列方程求解． 【详解】解：袋子中原本有5个红球，个黑球，10个白球，那么球的总数是个， 摸出一个黑球和一个白球后（不放回），此时剩余球的总数为个，红球的数量始终是5个， 已知再摸出一个球是红球的概率为， 根据概率公式，可得． 解得：． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键． 【详解】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表： 石头 剪刀 布 石头 0 2 5 剪刀 2 4 7 布 5 7 10 则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种， 小李获胜的概率为． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查列表法求概率，分别用表示四种器乐社团，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用表示二胡、琵琶、笛子、唢呐四种器乐社团，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中，两人选择同一个社团的情况有4种， ∴； 故选C． 9．/ 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握概率公式． 直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， ∴当他抛第次时，正面朝上的概率为， 故答案为：． 10．18 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是根据白球的频率列出关于球总数的方程，进而求出红球个数． 【详解】设红球有x个，则总球数为；由摸到白球的频率稳定在，得； 解方程得． 经检验：是方程的解， 故答案为：18． 11．10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率．根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”分别用字母A，B，，表示， 根据题意可列出表格如下： 第一个第二个 A A — — — — 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果， 小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为． 故答案为：． 13．/0.5 【分析】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．将阴影部分进行转化为，进行计算即可． 【详解】解：正六边形中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴球落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 14．(1)50，见解析 (2)20，144 (3) 【分析】本题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由C的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果分别列式计算即可； （3）画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：该班共有学生人数为：（人）， 则D的人数为：（人）， 答案为：50； 把条形统计图补充完整如下： （2）解：∵， ∴， 参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：， 答案为：20，144； （3）解：把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种， ∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为． 15．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目总体数目乘以相应频率．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数． （1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在之间的人数和捐款数在之间的人数，补全条形图； （2）先计算出中位数，再找中位数所在的范围； （3）计算出这个范围的人数，再求概率． 【详解】（1）解：九（1）班共有：（人）； 该班捐款元有：（人）； 该班捐款元有：（人）． 补全频数分布直方图如下： （2）解：按捐款数从小到大排列，第25、26人的捐款数在这组中． 故答案为：； （3）解：小明同学被选中的概率是：． 故答案为：． 16．(1) (2)图见解析： (3)图见解析； 【分析】本题考查树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用获得参与奖的人数除以其所占的百分比可得本次参赛的学生人数； （2）用本次参赛的学生人数分别减去获得二等奖、三等奖、鼓励奖、参与奖的学生人数，可求出获得一等奖的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以本次比赛中获得一等奖的学生所占的百分比，即可得出答案； （3）画出树状图求解即可． 【详解】（1）参赛的学生人数为（人）， ∴在这场比赛中，共有名学生参赛； （2）获得一等奖的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 扇形统计图中“一等奖”所在扇形圆心角的度数为：； （3）由题意得，获得一等奖的同学中有1人来自七年级，有1人来自八年级，有2人来自九年级，设七年级的1人记为，八年级的1人记为，九年级的2人分别记为，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果有：，，，共4种： ∴所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为：． 17．不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，本题中求出两人转到的两次数字之和，再对应的概率比较，即可得出结论． 【详解】解：列表如下： 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 由列表可知，可能出现的结果有36个，满足两人转到的两次数字之和是2的倍数的结果有个，小明去参加活动的概率为；满足两人转到的两次数字之和是3的倍数的结果有个，小齐去参加活动的概率为； 小齐去参加活动的概率更小，该方案对双方是不公平的． 18．(1)40,图见解析 (2)108； (3) 【详解】（1）解：根据题意，得被调查的总人数为 （人）， 一等奖的人数为：(人)， 补图如下： 故答案为：40． （2）解：扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：108． （3）解：一等奖中七年级人数为（人），九年级人数为（人），则八年级的有1人， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的有4种结果， 所以所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $