专题6.3 角的综合（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

本讲义聚焦角的综合知识，系统梳理角的静态与动态定义、规范表示法、度分秒度量等基础概念，延伸至钟表夹角、方向角等实际应用，结合角平分线、三角板组合运算及余角补角关系，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固与分层题型设计，强化数学眼光中的几何直观和抽象能力，如方向角问题培养空间观念，角平分线计算提升推理意识。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，有效落实核心素养。

专题6.3 角的综合 教学目标 1.理解角的定义； 2.掌握角的规范表示方法； 3.学会角的度量； 4.理解角的和、差、倍、分关系； 5.了解补角系和余角的关系； 教学重难点 教学重点 1.角的两种定义（静态 + 动态）及三要素（顶点、两条射线边）的理解； 2.角的规范表示方法（尤其是三个大写字母的使用规则，避免表示混淆）； 3.量角器的正确使用的方法（“两重合” 操作）及角的类型判断； 4.角平分线的概念及简单应用（已知角求平分后的角，或已知平分后的角求原角）。教学难点 1.抽象概念的辨析； 2.角的表示方法的易错点； 3.角的和差关系的图形对应。 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即学即练】 1.下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 2.下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即学即练】 1.单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2.已知，请你比较大小： （填“或或”）． 知识点03 钟表上的夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即学即练】 1.一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 知识点04 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【即学即练】 1.如图，下列说法正确的是（    ） ①OA的方向是东北方向；        ②OB的方向是北偏西； ③OC的方向是南偏西；    ④OD的方向是南偏东． A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④ 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即学即练】 1.如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 知识点06 三角板有关角度的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练】 1.如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 知识点07 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即学即练】 1.已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 2.若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型01 角的概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．一个角的两边画得越长，这个角就越大 C．反向延长射线OA就得到一个平角 D．画一条射线就得到周角 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【变式2】如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角 C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 题型02 角的表示方法 【典例2】下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，能用和表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 题型03 角的分类 【典例3】如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【变式2】如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   【变式3】下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 题型04 角的单位与角度制 【典例4】用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】等于（    ） A． B． C． D． 题型05 角的度数大小比较 【典例5】若，，则与的大小关系是(  ) A． B． C． D．无法比较 【变式1】已知：，，，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【变式2】若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 题型06 钟面角 【典例6】某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】时针从数字6走到数字10，经过的时间是（   ） A．10分钟 B．4分钟 C．4小时 D．40 分钟 题型07 方向角的表示 【典例7】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【变式3】如图，关于射线表示的方向，下列说法错误的是（　　） A．射线表示的方向是北偏东 B．射线表示的方向是北偏西 C．射线表示的方向是南偏东 D．射线表示的方向是东北方向 题型08 角平分线的有关计算 【典例8】如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【变式1】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【变式2】如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【变式3】如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 题型09 三角板中角度计算问题 【典例9】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式1】如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 题型10 余角和补角的有关计算 【典例10】已知，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式2】与互补，若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型11 同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例11】如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．广场为观测点，学校在北偏西的方向上，下图中正确的是（ ）． A． B． C． 2．上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A．B． C． D． 4．若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 6.如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，直线相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图所示，，平分，，则 ． 9．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若，则 度． 三、解答题 10．如图，已知，，平分，，求的度数． 11．如图，已知：＝，平分，且，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 角的综合 教学目标 1.理解角的定义； 2.掌握角的规范表示方法； 3.学会角的度量； 4.理解角的和、差、倍、分关系； 5.了解补角系和余角的关系； 教学重难点 教学重点 1.角的两种定义（静态 + 动态）及三要素（顶点、两条射线边）的理解； 2.角的规范表示方法（尤其是三个大写字母的使用规则，避免表示混淆）； 3.量角器的正确使用的方法（“两重合” 操作）及角的类型判断； 4.角平分线的概念及简单应用（已知角求平分后的角，或已知平分后的角求原角）。教学难点 1.抽象概念的辨析； 2.角的表示方法的易错点； 3.角的和差关系的图形对应。 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即学即练】 1.下列关于角的说法中，正确的个数为（  ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确； 角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误． 故选D． 2.下列四个图中，能用三种方法表示同一角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角的表示方法，熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键．利用角度的三种表示方法，逐个进行分析即可． 【详解】解：在A、B、D选项中，以点为顶点的角不止一个，如果用表示有歧义， 只有C选项能用三种方法表示同一角，没有歧义， 故选：C． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【即学即练】 1.单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 2.已知，请你比较大小： （填“或或”）． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 知识点03 钟表上的夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即学即练】 1.一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．熟悉钟面角的特征是解题的关键． 先明确钟面一圈且分12大格，算得每大格；再看8时整时针与分针间隔大格，用算出夹角为． 【详解】解：因为钟面一圈且分12大格， 所以每大格； 因为8时整时针与分针间隔大格， 所以8点整分针与时针的夹角正好是 故答案为：． 知识点04 方向角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【即学即练】 1.如图，下列说法正确的是（    ） ①OA的方向是东北方向；        ②OB的方向是北偏西； ③OC的方向是南偏西；    ④OD的方向是南偏东． A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了方位角．结合图形进行判断即可，解题的关键是根据图示找出正确的方位角． 【详解】解：①OA的方向是东北方向，说法正确； ②OB的方向是北偏西，说法正确； ③OC的方向是南偏西，说法正确； ④OD的方向是南偏东，说法错误． 故选：B ． 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即学即练】 1.如图，O为直线上一点，，是的平分线，． (1)求的度数． (2)求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 知识点06 三角板有关角度的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练】 1.如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角板中的余角和补角的计算，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 依据题意，由，从而，进而可得解． 【详解】解：， ，即， ， 故选：． 知识点07 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【即学即练】 1.已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余的定义，两个角的和为，直接计算即可得出结果． 【详解】解： 与互余， ， ， ， 故选：B． 2.若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为， 故选：B． 3.如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为 根据题意列方程： 故选：C ． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解题关键是设出这个角的度数，根据余角与补角的数量关系列出方程求解． 题型01 角的概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．一个角的两边画得越长，这个角就越大 C．反向延长射线OA就得到一个平角 D．画一条射线就得到周角 【答案】C 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键．根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：角有顶点，故一条直线不是一个平角，故选项A错误； 角的大小与边的长短没有关系，故一个角的两边画得越长，这个角就越大错误，故选项B错误； 反向延长射线OA就得到一个平角，故选项C正确； 画一条射线不是周角，错误，故选项D错误； 故选C． 【变式1】下列说法不正确的是（    ） A．两个锐角的和不一定大于直角 B．两个钝角的和不一定大于平角 C．直角都等于 D．1周角=2平角=4直角 【答案】B 【分析】本题考查的是角的概念．根据角的概念判断即可． 【详解】解：A、两个锐角的和不一定大于直角，本选项不符合题意； B、两个钝角的和一定大于平角，本选项符合题意； C、直角都等于，本选项不符合题意； D、1周角=2平角=4直角，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，是一条直线，图中小于平角的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的定义分别表示出各角即可． 【详解】解：图中小于平角的角共有：，，，，，，，，，共9个． 故选：C． 【变式3】下列说法中正确的是（    ） A．平角就是一条直线 B．小于平角的角是钝角 C．平角的两条边在同一条直线上 D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是 【答案】C 【分析】根据平角，周角的概念进行判断即可得． 【详解】解：A、一条射线绕它的端点旋转半周后，两条射线刚好在一条直线上，这个角就是平角，选项说法错误，不符合题意； B、小于平角的角是钝角或直角或锐角，选项说法错误，不符合题意； C、平角的两条边在同一条直线上，选项说法正确，符合题意； D、周角的终边与始边重合，所以周角的度数是，选项说法错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了了平角，周角，解题的关键是掌握平角，周角． 题型02 角的表示方法 【典例2】下列四个图中，能用三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，没有可以用表示的角，故此选项不符合题意； B．能用三种方法表示同一个角，故此选项符合题意； C．不能表示同一个角，图中没有用表示的角，故此选项不符合题意； D．可以表示同一个角，图中没有能用表示的角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列图形中，能用和表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的概念，表示同一个角，必须有共用的顶点，且角的两边重合是本题解答的关键．要是能用，表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合判断即可． 【详解】解：要是能用，表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合． 选项A、B，C中，表示不明确，不符合题意； 选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，理解并掌握角的表示方法是解题关键．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A.以为顶点的角有一个，可用，，三种方法表示同一个角，符合题意； B.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意； C. 与，不是同一个顶点，，，三种方法表示的不是同一个角，不符合题意； D.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意． 故选：A． 【变式3】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】和表示同一个角，正确，故A不符合题意； 不可以用表示，故B错误； 图是共有三个角：，，，正确，故A不符合题意； 表示的是，正确，故D不符合题意． 故选B． 题型03 角的分类 【典例3】如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 【变式1】在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】如图，下列四个城市相应钟表指示的时刻，其中时针与分针所成角是锐角的是（    ） A．B． C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了角的分类，根据锐角是0到90度的角进行求解即可． 【详解】解；A、图中时针与分针所成角的度数在0到90度之间，是锐角，符合题意； B、图中时针与分针所成角的度数是0度，不是锐角，不符合题意； C、图中时针与分针所成角的度数大于90度，不是锐角，不符合题意； D、图中时针与分针所成角的度数等于90度，不是锐角，不符合题意； 故选A． 【变式3】下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【答案】B 【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可． 【详解】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意； B、平角是钝角，故此选项符合题意； C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意； D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键． 题型04 角的单位与角度制 【典例4】用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度单位之间的换算，掌握相关知识是解决问题的关键．将度的小数部分转换为分，再将分的小数部分转换为秒． 【详解】解：∵， ； ∵， ， ∴． 故选：A． 【变式1】下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键．根据，，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，则，A选项计算错误，故不符合题意； B、，B选项计算正确，故符合题意； C、，C选项计算错误，故不符合题意； D、，D选项计算错误，故不符合题意． 故选：B ． 【变式2】的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算，角度值的转化，根据题意进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【变式3】等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了度、分、秒的转化，解题的关键是熟练掌握． 【详解】解：， 故选：B． 题型05 角的度数大小比较 【典例5】若，，则与的大小关系是(  ) A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】先进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，然后对比即可得出答案． 【详解】解：， ． ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，比较简单． 【变式1】已知：，，，则下列说法正确的是（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算及大小比较．需将不同单位的角度统一为以度为单位的数，再进行比较． 【详解】解：， ∵， ∴ 故选：B． 【变式2】若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的单位换算及大小比较，解题的关键是将不同单位表示的角度统一单位后再比较． 将的度数换算为度分形式，再统一与比较大小． 【详解】解： ， ，即， 又 ，， ， 故选：A． 【变式3】已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，根据角度间的换算即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．把化为用度表示的角度即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 题型06 钟面角 【典例6】某同学周六下午2点30分开始做数学作业，此时时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，分别求出时针和分针每一分钟走的角的度数，时针和分针同时从2点开始动，分针运动30分钟，时针运动30分钟，据此分别求出时针与分针运动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴此时时针和分针的夹角是， 故选：B． 【变式1】钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了钟面角的计算，注意钟面上每2个数字之间相隔30度． 根据4点10分时时针和分针相差格，每格度数为，据此即可求解． 【详解】解：4点10分时，分针指向2、时针指向间偏向4的位置， 所以时针和分针所形成的锐角度数为：． 故选：A． 【变式2】在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角，解题关键是结合题意作出图形，利用钟表表盘的特征解答．根据钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，而下午四点半的时候，时针和分针中间相差1.5个大格，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 下午四点半的时候，时针和分针中间相差1.5个大格， ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：B． 【变式3】时针从数字6走到数字10，经过的时间是（   ） A．10分钟 B．4分钟 C．4小时 D．40 分钟 【答案】C 【分析】本题主要考查认识钟面问题，时针每走一大格为1小时，时针从数字6走到数字10，一共走了（大格），即经过的时间是4小时． 【详解】（小时）， 即时针从数字6走到数字10，经过的时间是4小时． 故选：C． 题型07 方向角的表示 【典例7】如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 【变式1】如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏西的方向，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了与方向角有关的计算，根据方向角的描述进行求解即可 【详解】解：根据题意可知：，， ∴， ∴ 故选：D 【变式2】极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 【变式3】如图，关于射线表示的方向，下列说法错误的是（　　） A．射线表示的方向是北偏东 B．射线表示的方向是北偏西 C．射线表示的方向是南偏东 D．射线表示的方向是东北方向 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 根据方位角的概念，对每个选项分析、判断，解答出即可． 【详解】解：A、射线表示的方向是北偏东；故本选项正确，不符合题意； B、射线表示的方向是北偏西；故本选项正确，不符合题意； C、射线表示的方向是南偏东；故本选项错误，符合题意； D、射线表示的方向是东北方向；故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 题型08 角平分线的有关计算 【典例8】如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差与角平分线的性质，运用比例分析与角的分解思想，关键是根据角的比例和角平分线定义计算各角，易错点是角的和差关系或比例分配时计算错误； （1）根据与的比例及的度数，按比例分配求； （2）先由角平分线求，再结合求． 【详解】（1）解： ∵， ， ∴， 即． （2）解：∵若射线平分，， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【变式1】如图，是的平分线，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．先求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【变式2】如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由角平分线的定义得，即可得，求出进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系． （1）根据平角定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据角的和差关系求出即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型09 三角板中角度计算问题 【典例9】如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 【变式1】如图，将一块三角尺的60°角的顶点与另一块三角尺的直角顶点重合．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，首先求出，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差运算，熟练掌握角的和差运算是解决问题的关键． 求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3】一副三角尺按如图所示的位置摆放，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中的角度结合直角三角形中两锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故选B． 题型10 余角和补角的有关计算 【典例10】已知，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即的余角是， 故选：． 【变式1】若的余角是，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，根据互为余角的两个角的和为求解即可． 【详解】解：因为的余角是， 所以， 故选：B． 【变式2】与互补，若，则的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余角和补角的定义进行计算，即可解答． 本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：与互补，， ， 的余角， 故选：A． 【变式3】若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补，求出，再根据和互为余角，即可求出． 【详解】解：因为与互补，， 所以， 因为和互为余角， 所以； 故选：D． 题型11 同(等)角的余(补)角相等的应用 【典例11】如果，，那么与的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．根据等角的余角相等，即可判断∠1=∠3． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【变式1】如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 一、单选题 1．广场为观测点，学校在北偏西的方向上，下图中正确的是（ ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】此题考查的是位置与方向，掌握“上北下南，左西右东”的方向以及夹角的确定是关键． 根据“上北下南，左西右东”的方向确定北偏西的大致位置，再看角度是，即从正北向西偏的角度是，据此解答． 【详解】学校在广场的北偏西的方向上，指的是以正北方向为始边向西旋转的方向上． 图为 故答案为：C． 2．上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 3．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 4．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 5．如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义得出即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故选：C． 6.如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 7．如图所示，直线相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键；根据，设，则，根据即可求解． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得： ， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 8．如图所示，，平分，，则 ． 【答案】/75度 【分析】根据，设，则．列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，角的和差倍分，一元一次方程的应用，运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：根据，设， 则，． ∵平分， ∴， 又， 故， 即， 解得， 则， 故答案为：． 9．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若，则 度． 【答案】30 【分析】此题考查了直角三角板中的角度计算，弄清角之间的关系并准确计算是解题的关键． 求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． 三、解答题 10．如图，已知，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查各个角之间的和差关系，列方程求解是常用的方法．求出，的度数，设未知数，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 又∵， ∴， 解得：， 即． 11．如图，已知：＝，平分，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差倍分，关键是找到角之间的关系； 由：＝，平分，可得，答案可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $