22.3实际问题与二次函数（3）抛物型实际问题（题型专练）数学人教版九年级上册

22.3二次函数与实际问题（3）抛物型实际问题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可求解． 【详解】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 3．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 【答案】(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图1，2024年尤尼克斯世界青年羽毛球锦标赛于9月30日在南昌国际体育中心成功闭幕，这是江西省首次举办的世界级别的羽毛球赛事．在精彩的比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图2所示的抛物线的一部分（水平地面为轴，垂直水平地面为轴，单位：m）． (1)求出球点离点的距离的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）当时，即可求解； （2）当时，解一元二次方程，即可求解，将二次函数化为，由二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴当时，， 的长为； （2）解：当时， ， 整理，得， 解得（舍去），， 的长为． 羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离为． ， ， 当时，y的值最大，且最大值为 ． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 6．（2025·贵州毕节·一模）2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口离地竖直高度米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形为初学者的接球区域，其中米，米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程； (2)求最小力量时网球发射出的最大射程； (3)要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域中），请求出初学者距发球器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)，最大射程为6米 (2)最大射程为2米 (3)米米 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（为顶点坐标）设出函数表达式，再将已知点代入表达式，通过解方程求出的值，从而确定抛物线函数表达式，令，求解方程得到网球落地时的值，舍去不合理的值，得到最大射程； （2）先根据第（1）问得到的抛物线表达式确定其对称轴，找到点关于对称轴的对称点坐标，根据最小力量发射抛物线与最大力量发射抛物线的平移关系，得出点平移后得到点的坐标，进而求出的长度，即最小力量时网球发射的最大射程； （3）根据矩形的边长信息，将代入最大力量发球的抛物线函数表达式，求出对应的值，结合抛物线单调性确定最大力量发球时的最大值，再根据平移关系和矩形边长，求出最小力量发球时的最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得点是最大力量发球得到的抛物线的顶点，则设其函数表达式为． 抛物线经过点， 将点代入函数表达式中，得， 解得， 最大力量发球得到的抛物线的函数表达式为． 当时，， 解得，（舍去）， 米， 答：最大力量发球时网球的最大射程为6米； （2）解：最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式为， 该抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点的坐标为， 最小力量发射的抛物线是由最大力量发射的抛物线向左平移4米得到的， 将点向左平移4米得到点的坐标为，， 答：最小力量时网球发射出的最大射程为2米； （3）解：在矩形中，米，米， 米， 将代入最大力量发球得到的函数表达式中，得， 解得，（舍去）． 当时，随的增大而减小， 最大力量发球时，要使初学者能接住网球，即米． 由（2）知，最小力量发球得到的抛物线是由最大力量发球得到的抛物线向左平移4米得到的，且米， ， 即最小力量发球时，米， 答：初学者距发球器的水平距离的取值范围为米米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，二次函数的顶点式（，为顶点坐标），利用待定系数法求二次函数表达式，二次函数图象的对称性和平移性质，以及二次函数与方程的关系.解题的关键在于准确根据已知条件确定抛物线的表达式，利用抛物线的性质和几何图形的特点进行求解，尤其要注意平移过程中坐标的变化以及函数值与实际问题的对应关系. 7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（    ）    A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可． 【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为， 当时，水柱的最大高度是， 故选：B． 8．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 9．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求出的值，即可得到答案； （1）由题意得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，令可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 将点代入， ， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：不能 理由：由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令， ， 消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， 水流不能到达处． 10．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及其应用、一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）利用顶点坐标设抛物线解析式为，求出，将代入抛物线解析式求解即可； （2）对于抛物线，令，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 则， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 则设抛物线解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：对于抛物线， 令，得：， 整理可得：， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离米． 11．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】(1)； (2)该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用． （1）设水流所在抛物线解析式为：，把代入解析式，求出的值即可得到答案； （2）令，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 12．（2025·山西运城·三模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 【答案】(1) (2)水柱不能喷射到护栏上，理由见解析 (3)河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点，理解题中的数量关系是解题的关键． （1）根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； （2）因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； （3）根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 直线的表达式为， 联立方程组，即， 解得不合题意，舍去，， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 14．（2023·河南安阳·一模）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ． 【答案】16 【分析】求出当时x的值即可得出答案． 【详解】解：由题意，当时，， 解得， ∴点A、B的分别为， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出抛物线时，x的值是解题的关键． 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 16．（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【分析】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）先求得，可设二次函数的表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先求出水面宽度：，再由船高2.5米，水面, 桥拱。可得船顶高度：，桥拱在(船半宽)处的高度：，再比较求解即可． 【详解】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 17．（2025·贵州贵阳·一模）某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)至少需要安装彩灯的个数为5个 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，设点P的坐标为，则，再由正方形的性质可得 ∵四边形是正方形，点N的横坐标为，然后根据点P，N关于对称轴对称，即可求解； （3）把代入解析式可得，到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为， ∵抛物线顶点E的坐标为， ∴可设拱门抛物线的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴拱门抛物线的函数关系式为； （2）解：∵抛物线顶点E的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点P的坐标为，则， ∵四边形是正方形， ∴轴，， ∴点N的横坐标为， ∴点P，N关于对称轴对称， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 即正方形的边长为； （3）解：当时，， 解得：， ∴到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度为， ∵每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过1米， ∴至少需要安装彩灯的个数为5个． 18．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 【答案】(1) (2)能 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当时，，解方程比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知起跳点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 设该抛物线的函数表达式为． （2）当时，, 解得，（舍去）， 因为, 所以小文能成功转换． 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】(1)50米 (2) (3)；31.25米 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示： ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2） ， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示： 设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 20．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：汽车超速行驶，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的其他应用，不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：依题意，设，再运用待定系数法进行求解，即可作答． 任务二：依题意，将代入，解得，再整理即可作答． 任务三： 结合得汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴，列出不等式组，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：任务一：小红画出的大致图象是二次函数的图象， 设． 将代入， 得， ∴， 解得， 即y关于x的函数表达式为． 任务二：依题意，将代入， 得， 解得或（舍去） 则 ∴在事故发生时，汽车超速行驶． 任务三： ∴汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴， 由题意得， 整理得， ∴， 解得． 21．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止． 【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度． 【建立模型】 任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____； 任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式． 求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程． 【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2： ；行进的总路程为；任务3：轨道起点与点A之间的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 任务1：由图2可以得出轨道初段的总长； 任务2：用待定系数法求出v与t的函数解析式；先求出抛物线的解析式，由中解析式求出运动停止的时间，即可解答； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段的总长为 故答案为：； 任务2：设， 则， 解得， ∴； 根据题意将代入得：， 解得， ∴； 由知小球在段速度与时间之间的函数关系式为， 当时，解得， 将代入得， ∴行进的总路程为； 任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意）， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 22．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 23．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线的顶点，求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】数学建模：；问题解决：；问题解决：的长为． 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用． 数学建模：根据题意求得，进而根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； 问题解决：根据抛物线的解析式求出点G和点M的坐标，即可求出的长； 问题解决：先求出直线的解析式，再求出与直线平行的直线的解析式，即可求出的长． 【详解】解：数学建模：∵抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵，，是的中点，则， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 问题解决：由题意，可知、的纵坐标为， 代入函数解析式，得， 解得， ∴点L，R的坐标分别为，， ∴点G，M的坐标分别为，， ∴， 答：两个正方形装置的间距的长为； 问题解决：设直线的解析式为， 点A，C的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设过点且与直线平行的直线为，其解析式为， 其与抛物线只有唯一一个交点， ∴有两个等根， 即一元二次方程有两个等根， ∴， 解答， ∴直线的解析式为， 当时，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 24．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 25．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 26．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用， （1）利用待定系数法法求解即可； （2）先求出、的坐标，进而即可得解； （3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ; （2）解：当时，， 解得， ， ∴; （3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 故线的解析式为， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ， ． 27．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2 (2)当时，d取得最大值为0.35 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； （2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 28．（2022·浙江金华·一模）如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】(1)该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间为，最快需要可以通过停车线． (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． （1）先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；进而求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵限速为 由图3可知当时，，设，解得 s 由图2可知当时，，且，设 解得， ∵汽车从停车线出发加速到限速所需的时间s 则 以 行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到 的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过则， 整理得： 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 可得当路口绿灯熄灭时候通过， 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 29．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2)的长为4米，的长为2米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵所在直线是的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米，的长为2米． （3）解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 30．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可； （2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论； （3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 31．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米 (3)存在，理由见解析，点坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，难度较大，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可； （3）先求出平移后的函数解析式，再求出，由题意得：，设，，则以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①为对角线；②为对角线；③为对角线，根据平行四边形的对角线的性质，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：； （2）解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 则， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，平移后的函数解析式为：， 即：， 当时，， 解得：或， ∴， 而抛物线对称轴仍为直线， 由题意得：， 设，， ∵以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 32．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践 项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究 调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为． 解决问题： (1)请直接写出点，的坐标； (2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）； (3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标． 【答案】(1)点，的坐标分别为， (2)米 (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意分别确定函数解析式是解题的关键； （1）令，解方程，即可求解． （2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为，把点代入，待定系数法求得解析式，当时，，即可求解； （3）先求得直线的函数表达式为．当水压最小时，设喷头所在点的坐标为．设水流所在抛物线的函数表达式为，把点，代入，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：令 解得： ∴点，的坐标分别为， （2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为 把点代入，得．解，得． 当水压最大时抛物线的函数表达式为 当时，． 需在保温墙上做防水处理区域的高度为米． （3）设直线的函数表达式为． 把点，代入，得 解，得，． 直线的函数表达式为． 设喷头所在点的坐标为． 当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为 把点代入，得． 解，得，（不合题意，舍去） 把代入，得． 所以点的坐标为 把点代入，得． 解，得（不合题意，舍去），． 把代入，得． 所以点的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3二次函数与实际问题（3）抛物型实际问题 题型一、二次函数的应用：投球问题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图1，2024年尤尼克斯世界青年羽毛球锦标赛于9月30日在南昌国际体育中心成功闭幕，这是江西省首次举办的世界级别的羽毛球赛事．在精彩的比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图2所示的抛物线的一部分（水平地面为轴，垂直水平地面为轴，单位：m）． (1)求出球点离点的距离的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 6．（2025·贵州毕节·一模）2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口离地竖直高度米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形为初学者的接球区域，其中米，米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程； (2)求最小力量时网球发射出的最大射程； (3)要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域中），请求出初学者距发球器的水平距离的取值范围． 题型二、二次函数的应用：喷水问题 7．（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（    ）    A．2 B．4 C．6 D． 8．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 10．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 11．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 12．（2025·山西运城·三模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 题型三、二次函数的应用：拱桥问题 13．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 14．（2023·河南安阳·一模）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ． 15．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 16．（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 17．（2025·贵州贵阳·一模）某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 题型一、二次函数的应用：滑雪问题 18．（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑道底部所在直线的距离为，当离起跳点水平距离为时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大值，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相同，两者水平距离为，请通过计算说明小红能否转换成功？ 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 题型二、二次函数的应用：行程与刹车问题 20．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 21．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止． 【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度． 【建立模型】 任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____； 任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式． 求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程． 【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数的应用：项目化设计问题 22．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 23．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线的顶点，求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 题型四、二次函数的应用：生活中的其他问题 24．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 25．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 26．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 27．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 28．（2022·浙江金华·一模）如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 29．（2024·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时与的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 30．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 31．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践 项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究 调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为． 解决问题： (1)请直接写出点，的坐标； (2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）； (3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$