第22章 直角三角形（单元复习课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

单元复习课件 第22章 直角三角形 沪教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握直角三角形的性质、直角三角形全等的判定、角平分线、勾股定理，构建 “性质 - 判定 - 应用” 的知识框架，明确定理间的逻辑关联。 3.体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，掌握直角三角形相关题型 2.提升直角三角形相关计算、证明及实际应用的能力，能灵活运用定理解决跨知识点综合题型。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、直角三角形的性质 1. [新趋势·跨学科 ]如图，平面镜 MN 放置在水平地面 CD 上，墙面 PD ⊥ CD 于点 D ，一束光线 AO 照射到镜面 MN 上，反射光线为 OB ，点 B 在 PD 上，若 ∠ AOC ＝35°，则∠ OBD 的度数为(　C　) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° C 2. [新考向·知识情境化]一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ ACB ＝90°，点 D 为边 AB 的中点，点 A ， B 对应的刻度分别为1，7，则 CD ＝(　B　) A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 6 cm B 考点串讲 3.如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 4. 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°. ∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 考点一、直角三角形的性质 考点串讲 5. 如图，∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°， M ， N 分别是 AC ， BD 的中点. 求证： MN ⊥ BD . 【证明】连结 BM ， DM . ∵∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°， M 是 AC 的中点， ∴ BM ＝ DM ＝ AC . 又∵点 N 是 BD 的中点，∴ MN ⊥ BD . 考点一、直角三角形的性质 考点串讲 6.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) D A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 【解析】A选项，利用 可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B选项，利 用可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C选项，利用 可以判定两 个直角三角形全等，不符合题意；D选项，利用 不能判定两个直角三角形全等， 符合题意.故选D. 考点二、直角三角形全等的判定 考点串讲 8 7.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜角和 之间的关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可知，，，， 与 均为直角三角形.在与 中， ， ， .故选D. 考点二、直角三角形全等的判定 考点串讲 9 8.如图，于点，于点， .若要直接用“”判定 ，则需要添加的条件为_________. 【解析】需要添加的条件为， ，即 ，， .又 ， .故答案为 . 考点二、直角三角形全等的判定 考点串讲 10 9.如图，于点， ，，连接，射线于点， 点在线段 上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持， 当 ______时，才能使与 全等. 3或6 【解析】， ， ， 当或 时， 可以根据证明与 全等.故答案为3或6. 考点二、直角三角形全等的判定 考点串讲 11 10.如图，在中，，为 上一点，，，垂足分别 为,，且 .请选择一对你认为全等的三角形并加以证明. 【解】 . 证明:，，和是直角三角形.在 和 中， .（答案不唯一） 考点二、直角三角形全等的判定 考点串讲 12 11.点在的平分线上，点到边的距离等于6，点 是 边上的任意一点， 则下列选项正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,平分，,，过点 作 于，则 点是 边上的任意一点， .故选B. 考点三、角平分线 考点串讲 13 12.两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的 边,重合，它们的顶点重合于点 ，则点 一定在( ) A A.的平分线上 B. 边上的高上 C.边上的高上 D. 边上的中线上 【解析】如图，，，， 点在 的平分 线上，故选A. 考点三、角平分线 考点串讲 14 13.如图，平面内三条直线,,两两相交，在平面内找出一点 ， 使得点到三条直线的距离相等，那么符合条件的点 有___处. 4 【解析】 点到三条直线的距离相等， 点是三条直线, , 所形成的角的平分线的交点，如图所示，图中点,点,点 , 点 即为所求，故答案为4. 考点三、角平分线 考点串讲 15 14.如图，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以 点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射 线 . （1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线为 的___ . 【解】由作图过程可知，射线为 的平分线.故答案为平分线. （2）连接， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论. 【证明】由作图过程可得，，.在和 中， ，， 射线为 的平分线. 考点三、角平分线 单元学习目标 16 17.如图，已知 ，点在 的平分线上， ， 且的两边分别与，交于点 和点，求证： . 【证明】如图，过点作于点，于点 ，则 . ， ， ， ， ，即 ，.又为 的平分线， ，，，， . 考点三、角平分线 考点串讲 17 18.在中， ，若 ，则 ( ) B A.2 B.4 C. D. 【解析】如图所示，是直角三角形， ， ， ，且， ， ，故选B. 考点四、勾股定理 考点串讲 18 19.在中，， ,, ,则下列说法错误 的是( ) A A. B. C. D. 【解析】, 设,,的度数分别为,, ， 则 ，解得 ， ,,的度数分别为 , , ，D正确，不符合题意； ,是直角三角形， ，故A错误，符合题意； ,, ，故B、C正确，不符合题意. 故选A. 考点四、勾股定理 考点串讲 19 20.如图所示，在中， ，，在中，为上的高， ， ，则 的面积是____. 24 【解析】， ， ，， ， ，是直角三角形， ， .故答案为24. 考点四、勾股定理 考点串讲 20 21. 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由. C A B D ∟ 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5. 在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20. ∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25. ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°. 1 2 4 考点四、勾股定理 考点串讲 22. 如图，在一次消防演习中，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上.当梯子位于AB位置时，AO＝2.4 m，BO＝1.8m．如果梯子顶端要下降0.4m(即AC＝0.4m)，那么梯子的底端B应向右滑动多少米？ 解：在Rt△ABO中， ∵AB2＝AO2＋BO2＝2.42＋1.82＝9.0， ∴AB＝3m， ∴CD＝AB＝3m， 在Rt△CDO中， ∵CO＝AO－AC＝2.4－0.4＝2(m)， ∴OD2＝CD2－CO2＝32－22＝5， ∴OD＝≈2.236(m)， ∴BD＝OD－OB≈2.236－1.8＝0.436≈0.4(m)． 答：梯子的底端B应向右滑动约0.4米. 考点四、勾股定理 考点串讲 23.如图所示为一块铁皮，测得 ，，， ， ，求这块铁皮的面积. 解：连接 ， ， ， ， ， 且，， ， 考点四、勾股定理 考点串讲 23 24.如图，中，， ，，是延长线上的 点，连接， . （1）试说明 为直角； 【解】， ， ， ，即 为直角. （2）求 的长. 【解】 ，， ， ， ， ． 考点四、勾股定理 考点串讲 24 25.如图，在中， 边上的垂直平分线与,分别交于点, ，且 . （1）求证： ； 证明：连接边上的垂直平分线为 ， ， . . （2）若，，求 的长. 解：设，则 . 在中， ，，解得.的长为 . 考点四、勾股定理 考点串讲 26. 如图，在一条笔直公路 的一侧点处有一村庄， 村庄到公路 的距离为，若宣讲车周围 以内能听 到广播宣传，宣讲车在公路上沿 方向行驶. （1）请问村庄 能否听到宣传？请说明理由； 解：村庄 能听到宣传.理由： 村庄到公路的距离为 ， ， 村庄 能听到宣传. （2）如果能听到，已知宣讲车的行驶速度是，那么村庄 总共能听到多长时间的宣传？ 解：如图，假设当宣讲车行驶到点时村庄开始听到宣传，行驶到 点之后村庄不再听到宣传，连接，， .由题意得， ， . 村庄 总共能听到 的宣传. 考点四、勾股定理 考点串讲 题型一、利用勾股定理解决网格线段问题 1. 如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，则网格中的△ ABO 是(　D　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 D 2. 如图，每个小正方形的边长都为1，则△ ABC 的三边长 a ， b ， c 的大小关系 是 (用“＞”连接). c ＞ a ＞ b 　 题型剖析 3.如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点 A ， B ， C 均为格点.通过计算 判断△ ABC 的形状. 【解】由勾股定理得 AC2＝42＋22＝20， BC2＝22＋12＝5， AB2＝32＋42＝25，所以 AC2＋ BC2＝ AB2， 所以△ ABC 是直角三角形. 4.如图，正方形网格中，点 A ， B 在格点上，且每个小正方形的边长都是1，求线段 AB 的长. 【解】根据题意，利用勾股定理有 AB2＝62＋82＝100. 所以 AB ＝10. 题型一、利用勾股定理解决网格线段问题 题型剖析 5. [新考法·等面积法 ]如图，△ ABC 的顶点 A ， B ， C 在边长为1的正方形网格的格点上， BD ⊥ AC 于点 D ，求 BD 的长. 【解】如图，易知 AE 为△ ABC 的 BC 边上的高. 则 S△ ABC ＝ BC · AE ＝ BD · AC . 因为∠ AEC ＝90°， AE ＝4， CE ＝3，所以42＋32＝ AC2，所以 AC ＝5， 所以 ×4×4＝ ×5 BD ，解得 BD ＝ . 题型一、利用勾股定理解决网格线段问题 题型剖析 6. [新视角 动手操作题] 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正 方形的顶点叫做格点，若△ ABC 的三个顶点都在格点上，且 AB ， BC ， AC 三边 长的平方分别为5，10，13.请在正方形网格中画出一个符合条件的格点三角形ABC . 【解】如图所示(答案不唯一). 题型一、利用勾股定理解决网格线段问题 题型剖析 题型二、利用勾股定理解决最短路径问题 7. [新考法 对称找点法]如图，直线 l 是一条河， A ， B 两地到 l 的距离 AC 和 BD 分 别为5 km，7 km，且 CD ＝5 km，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 A ， B 两地供水，求铺设最短的管道长. 【解】如图，作点 A 关于直线 l 的对称点 E ， 连接 BE ，交 l 于点 M ，连接 AM ， MA ＋ MB 的值即为所求最短管道长. 因为 MA ＝ ME ，所以 MA ＋ MB ＝ ME ＋ MB ＝ BE ， 则线段 BE 的长度即为所求，过 E 作 EF ∥ CD ，交 BD 的延长线于 F ， 由题易知， EF ＝ CD ＝5 km， BF ＝ BD ＋ DF ＝ BD ＋ AC ＝7＋5＝12(km)， 所以 BE2＝ EF2＋ BF2＝52＋122＝169，所以 BE ＝13 km. 故铺设最短的管道长是13 km. 题型剖析 8. 如图，小明在某泳池沿泳道 l 练习游泳，点 A 处有一个攀梯.游了一段时间后，小 明到达 B 处.已知 BD ＝14米， AD ＝13米， AB ＝15米，求攀梯 A 到泳道 l 的最近距 离. 题型二、利用勾股定理解决最短路径问题 【解】过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 C ， 则 AC 的长是攀梯 A 到泳道 l 的最近距离. 设 BC ＝ x 米，则 CD ＝(14－ x )米， 根据题意，可得 AB2－ BC2＝ AD2－ CD2， 所以152－ x2＝132－(14－ x )2，解得 x ＝9. 所以 AC2＝ AB2－ BC2＝152－92＝144.所以 AC ＝12米. 答：攀梯 A 到泳道 l 的最近距离为12米. 题型剖析 9. [情境题·生活应用]如图，某小区有两个喷泉 A ， B ，两个喷泉的距离为125 m.现 要为喷泉铺设供水管道 AM ， BM ，供水点 M 在小路 AC 上，供水点 M 到 AB 的距 离 MN 的长为60 m， BM 的长为75 m. (1)求供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道总长； 【解】在Rt△ MNB 中， BN2＝ BM2－ MN2＝752－602＝2 025， 所以 BN ＝45 m.所以 AN ＝ AB － BN ＝125－45＝80(m). 在Rt△ AMN 中， AM2＝ AN2＋ MN2＝802＋602＝10 000，所以 AM ＝100 m. 所以供水点 M 到喷泉 A ， B 需要铺设的管道总长为100＋75＝175(m). (2)求喷泉 B 到小路 AC 的最短距离. 【解】因为 AB ＝125 m， AM ＝100 m， BM＝75 m，所以 AB2＝ BM2＋ AM2， 所以△ ABM 是直角三角形，所以 BM ⊥ AC ， 所以喷泉 B 到小路 AC 的最短距离是 BM ＝75 m. 题型剖析 10.如图，有一圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐侧面搭梯子，正好到 A 点正上方的 B 点.梯子最短需要多少米？(已知油罐底面的周长是12 m，高 AB 是5 m) 【解】油罐的侧面展开图如图所示.因为AA'＝12 m， A'B'＝ AB ＝5 m， 所以AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋52＝169. 所以AB'＝13 m. 答：梯子最短需要13 m. 题型剖析 11. 如图，圆柱形容器的高为120 cm，底面周长为100 cm，在容器内壁离容器底部 40 cm的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40 cm与蚊子 相对的点 A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离. 【解】如图，将容器侧面的一半展开， 作 A 关于 EC 的对称点A'，连接A'B交 EC 于 F ，连接 AF ， 易知 AF ＝A'F，所以 AF ＋ FB ＝A'F＋ FB ＝A'B， 易知A'B的长即为最短距离. 过点A'作A'D⊥ BC 交 BC 延长线于 D ， 由题易得，A'D＝50 cm， BD ＝120 cm， 在Rt△A'DB中，A'B2＝A'D2＋ BD2＝502＋1202＝16 900， 所以A'B＝130 cm. 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130 cm. 题型剖析 12. 一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点 A 爬到顶点 B ，图②是图①立方体的 表面展开图，设立方体的棱长为1. (1)在图②中标出点 B 的位置. 【解】如图所示.(答案不唯一) (2)若蚂蚁从点 A 到点 B 爬行的最短路径长为 m ，求 m2. 【解】如图，连接 AB ，因为立方体的棱长为1，所以 AC ＝2， BC ＝1，所以 m2＝ AB2＝12＋22＝5. 题型剖析 13. [新考法 展开法] 如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，放着一根长 方体木块，它较长的棱和草地宽 AD 平行且长度大于 AD 长，木块从正面看是边长为 0.2米的正方形，求蚂蚁从点 A 处开始，到达 C 处时走的最短路程.(精确到0.01米) 【解】如图，将木块展开，由题意可知， AB ＝2＋0.2×2＝2.4(米)； BC ＝1米. 由勾股定理，得 AB2＋ BC2＝ AC2，即2.42＋12＝ AC2， 所以 AC ＝2.60米. 题型剖析 题型三、利用勾股定理解决折叠问题 14.［2025广东佛山质检，中］如图，有一个直角三角形纸片， ，，．现将直角边 沿直线折叠， 使点落在斜边上的点处，则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，， ， 所以，所以 . 由折叠可得 ,,，所以 ， .设，则, . 在中，由勾股定理，得，解得 ， 所以 ．故选C. 题型剖析 15.如图，三角形纸片中， ， ，． 沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边 上的点处；再折叠 纸片，使点与点重合，若折痕与 的交点为，则 的长是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处， 所以，. 因为折叠纸片，使点与点重合，所以 ，. 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以.设 ，则， 所以，解得，所以 .故选A. 题型剖析 39 16.如图，长方形中，点 在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好 落在边 上的点处，若，，则 的长是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由折叠的性质，得. 因为四边形 为长方形，所以 ,. 在 中，因为，，所以 , 所以，所以 ．故选A. 题型剖析 40 17.如图，在长方形 中，,．将长方形沿对角线 折叠，点 落在处，与相交于点，则 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】设，则 ．根据折叠的性质得 ,．因为四边形为长方形，所以 , ，所以, ． 在和 中,因为, ,， 所以 ，所以． 在中， ，所以，解得， 所以 ．故选A. 题型剖析 41 18.如图， 为等腰直角三角形，， ，点为上一点， 且，点 为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，若 的延长线恰好经过点，则 __． 【解析】如图.因为，所以. 因为 ，所以在中，， 所以.设 ， 由折叠的性质，得 ,， ， 所以，. 在 中，由勾股定理得， 所以，解得，所以 ．故答案为 ． 题型剖析 42 19.如图，长方形纸片，，，点 在边上，将沿 折叠，点落在处，，分别交于点， ，且，则 的长为___. 【解析】因为四边形为长方形，所以 , , .根据折叠的性质得, ,.因为，， ,所以 ，所以, ， 所以，即 ，所以. 设，则， ， 所以, .在中， ， 即，解得，所以．故答案为 ． 题型剖析 43 20.如图，长方形中，，，点 是边上一点，把沿直线 折叠，点恰好落在上的点 处． （1）求 的长． 【解】在长方形中，，， 所以， ， . 在 中，由勾股定理得，所以 ． （2）求 的长． 【解】由折叠的性质可知，，， ， 所以 ，.设，则. 在 中，由勾股定理得，即， 解得 ，所以． 题型剖析 44 1．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是∠CAB、∠ACB 平分线的交点，且BC=12cm，AC=15cm，则点O到边AB的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 解：过点作，，，连接， ，，， ， 平分，平分，， ， ， ,， 点到边的距离为．故选． 针对训练 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ①②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：过点E作于M，于N，∵平分， ∴，∵，，， ∴，又，∴， ∴，又，， ∴，∴，，故①正确；∵平分，∴， 又，，∴，∴，又， ∴，∴的值不变，故②正确；∵， ，∴，，∴，∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变，故③正确； 根据勾股定理，得 ，∵随点F的位置变化而变化，∴长度改变，故④错误，故选：D． 针对训练 3.（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴，∴， 故选：A． 针对训练 4．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 解：在中，，因此，又， 将两式相加，得：， 即，所以，故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 解：由勾股定理知：，∴， ∴点对应的数是，故答案为：． 针对训练 6．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，于，，，则的长为 ． 解：在中，，，， ，且是的对边，， ，， ，， ，在中，， ．故答案为：3． 针对训练 7.（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于、交于，且，如果，，，那么的周长是 ． 解：∵，∴，． ∵平分，∴．∴．∴， ∵是的中点，∴．∵，∴． 由对顶角相等可知：． 在和中，，∴， ∴．∵，∴．∴， ∴的周长．故答案为：32．   针对训练 8.（2023秋•黄浦区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：∠ADC=90°； (2)求DF的长． 【解析】证明：(1)∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80， 同理：CD2=20，∴AD2+CD2=100，∵AC=AE+CE=8+2=10， ∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF= ． 针对训练 51 感谢聆听! $