辽宁省抚顺市新宾县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 4.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 5.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为(    ) A. 1 B. 0 C. D. 2 6.将抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 7.某超市进行促销活动，第一天营业额为8万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万，设每天增长率为x，则可列出的方程是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数为(    ) A. B. C. D. 9.已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 10.将一副三角板按如图放置，三角板ABD可绕点D旋转，点C为AB与DE的交点，下列结论中正确的个数是(    ) 若CD平分，则 若，则 若，则 若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.关于x的方程是一元二次方程，则m的值为      . 12.已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是      . 13.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离单位：关于行驶时间单位：的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了       14.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______. 15.如图，在正方形ABCD中，，点E在边CD上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到EF，连接AF，BF，当BF的长最小时CE的长是      . 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题8分 请选择合适的方法解方程： ； 17.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 求证：此方程总有两个实数根； 若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 18.本小题8分 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上. 画出将关于原点O的中心对称图形 将绕点E顺时针旋转得到，画出 若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______. 19.本小题8分 晓丽家想建一个兔子饲养场，晓丽爸爸利用一个直角墙角和围栏围出矩形饲养场靠墙两面不用围栏，点A、C均在墙面上，，两边墙都足够长，，所用围栏总长为30m，若矩形ABCD的面积为，求边AB的长. 20.本小题8分 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，，将绕点C按顺时针旋转得到，连接OD， 求的度数； 若，，求AO的长． 21.本小题8分 某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润万元与销售时间月之间的函数关系即前t个月的利润总和S与t之间的函数关系，根据图象提供的信息，解答下列问题： 此软件上市第几个月后开始盈利？ 求累积利润万元与销售时间月间的函数表达式； 第几个月公司的月利润为万元？ 22.本小题8分 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率； 若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23.本小题8分 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点 求二次函数图象的解析式； 连接AC，AD，CD，求的面积； 在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程不符合题意； 不是整式方程，是分式方程，不是一元二次方程不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是一元三次方程，不是一元二次方程不符合题意； 故选： 本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：点关于原点O对称的点的坐标是： 故选： 直接利用关于原点对称点的特点得出答案． 此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 4.【答案】C  【解析】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是一次函数，不符合题意， 故选： 根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 本题考查了二次函数的定义，熟知一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， ， ， 故选： 把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：由题意，抛物线为， 又抛物线向左平移2个单位后，再向上平移2个单位， 根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得，抛物线为 故选： 依据题意，由抛物线为，结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的顶点式是关键． 7.【答案】B  【解析】解：设每天增长率为x， 第一天营业额为8万，第二、三两天营业额的增长率相同，第三天营业额为万， ， 故选： 设每天增长率为x，根据题意列出方程即可． 本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：由旋转性质可知：， 点D恰好落在BC的延长线上， ， ， 即旋转角的度数是， 故选： 由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可得解． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 9.【答案】B  【解析】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，，三点都在二次函数的图象上， 到对称轴的距离最远，在对称轴上， 故选： 由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质． 10.【答案】A  【解析】解：当CD平分，则， ，故不合题意； 若，且AB在DF的上方，则， ，故不合题意； 若时，且AD在DF的下方时，则，故不合题意； 若，且，则，故符合题意， 故选： 由旋转的性质和平行线的性质依次判断可求解． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意可知：， 解得： 故答案为： 先根据一元二次方程的定义列出方程组，再求出m的值即可． 本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，关键掌握一元二次方程的一般形式是：是常数且，特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12.【答案】  【解析】解：由题意，， 顶点为 又顶点在x轴上时， 故答案为： 依据题意，由，从而顶点为，再结合顶点在x轴上，可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式是关键． 13.【答案】45  【解析】解：， 汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为： 根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．【解答】【点评】 本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键． 14.【答案】16  【解析】解：过A作于D，如图： 在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到， ≌， ， 是等腰三角形，， ， ， ， 又，且， ， 故答案为： 根据旋转的性质得到≌，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 15.【答案】3  【解析】解：如图，过点E作于点M，过F作于点N，延长FN交BC延长线于点G， ， 将线段AE绕点E顺时针旋转得到EF， ，， ， ， 又， 在，中， ， ≌， ， ， 四边形MBGN，MBCE是矩形， 设， 则，，， 在中， 由勾股定理：， ， 当时， BF有最小值， 当BF长最小时， 故答案为： 过点E作于点M，过F作于点N，延长FN交BC延长线于点G，证≌，推出，再证四边形MBGN，MBCE是矩形，设，由勾股定理：，求出x，当BF长最小时， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数最值，证明三角形全等是解题的关键． 16.【答案】，；   ，  【解析】， ， 或， ，； ， 或， ， 利用因式分解法解方程即可； 利用因式分解法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 17.【答案】解：证明： ， ，即， 此方程总有两个实数根； 根据可知， 解得，， 此方程有一个根大于0且小于1， 而， ， 即 ， 即k的取值范围为：  【解析】本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程总有两个实数根”，正确找出不等量关系列不等式组． 根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式恒成立，因此得证； 利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于k的不等式组，解之即可． 18.【答案】解：如图，即为所求； ； 如图，即为所求；   【解析】解：见答案； 见答案； 根据旋转的性质可得，旋转中心为线段AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心， ， 故答案为： 根据中心对称的性质，对应点的横纵坐标都互为相反数，即可画出； 根据旋转的性质，旋转前后对应边的夹角为旋转角，即可画出； 根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置． 本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19.【答案】解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， 解得：， 不合题意舍去， ， 答：边AB的长为  【解析】设，则，根据矩形ABCD的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】解：由旋转的性质得，，， ， 为等边三角形． 答：的度数为 由旋转的性质得， 为等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： 答：AO的长为  【解析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识． 根据旋转的性质即可求解； 根据旋转的性质和勾股定理即可求解． 21.【答案】解：由图象可得， 该种软件上市第 4个月后开始盈利； 设， 函数图象过点， ，得， ； 由题意，当时，， 解得，舍去， 即截止到5月末，公司累积利润达到万元．  【解析】由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利； 设利用待定系数法即可解决问题； 构建方程即可解决问题． 此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：不合题意，舍去，， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．  【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 根据月销售利润=每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23.【答案】解：关于x的二次函数的顶点坐标为， 二次函数解析式为，即； 如图所示，过点D作于E，交AC于F， 令，则， 点C的坐标为； 令，则， 解得或， ，， 设直线AC的解析式为， ， ， 直线AC的解析式为， 当时，则， ， ， ； 如图所示，过点M作于H，交AC于N， 设，则， ， 同可得， ， 当时，最大，此时点  【解析】根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； 如图所示，过点D作于E，交AC于F，求出直线AC的解析式为，则，再根据进行求解即可； 如图所示，过点M作于H，交AC于N，设，则，同得到，利用二次函数的性质求解即可． 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $