第01讲 实数及其运算（专项训练，14题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 正数、负数的概念辨析及实际应用（★） 题型02 实数的分类（★） 题型03 实数的估算（★★） 题型04 相反数、绝对值、倒数的直接求解（★） 题型05 平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 题型06 科学记数法表示大数或小数（★） 题型07 近似数与有效数字的判断（★） 题型08 实数的比较大小（★） 题型09 简单的实数加减乘除、乘方混合运算（★） 题型10 含根式、绝对值、指数幂、特殊三角函数值的复杂混合运算（★★） 题型11 数轴上点与实数的对应关系判断（★） 题型12 实数与数轴的综合问题（★★★） 题型13 非负性应用（★★） 题型14新定义运算题（★★） 能力通关 【新情境问题】（考查学生从表格中获取信息的能力，及实数的运算） 1．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 某同学体重千克，身高米，该同学指数在（ ）范围内． A．肥胖 B．过重 C．正常 D．过轻 【答案】A 【分析】本题考查有理数运算的应用，根据计算公式计算后，再和表二对比即可得到答案． 【详解】解：根据计算公式：体重身高的平方， ∴， 参照表二：， ∴该同学指数在肥胖范围内， 故选：A． 【新设问问题】（考查有理数的运算，根据十进制转化为二进制的方法） 2．（2025·四川广元·模拟预测）计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据十进制转化为二进制的方法，进行计算即可．熟练掌握十进制转化为二进制的方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴十进制数89转换成二进制数是． 故答案为：． 【新考法问题】（考查实数与数轴，勾股定理的应用，数轴上两点之间的距离） 3.（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 【新考法问题】（考查实数的混合运算，规律探索，程序流程图问题） 4．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 【详解】解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 【新考法问题】（考查立方根的估算与推理、整数立方的特征、小数点移动与立方根的关系、四次方根的类比推理） 5．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 题型01 正数、负数的概念辨析及实际应用（★） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，熟练掌握正负数表示的意义是解题的关键，根据题意原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷，即可得到答案． 【详解】解：∵原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷， ∴钠离子中的原子核带个电荷，表示为：； 核外电子带个电荷，表示为：， 故选：B． 2．（2025·湖南·模拟预测）互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户的账单截图，若把收入200元记作，则“”的实际意义是（　　） A．收入100元 B．支出100元 C．盈利100元 D．增加100元 【答案】B 【分析】本题考查的是正负数的应用，收入和支出是具有相反意义的量，如果用正数表示收入，就可以用负数表示支出． 根据正数和负数表示相反意义的量解答即可． 【详解】解：由题意可得：表示收入200元，则“”表示支出100元． 故选：B． 3．（2025·湖北·模拟预测）国际田联规定：女子链球和铅球质量都是，在一次产品抽检时，一只铅球质量为，记为，第二只铅球质量为，应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的应用，掌握高于标准用正表示、反之用负表示成为解题的关键． 根据正负数是表示意义相反的量即可解答． 【详解】解：以为标准，高于的为正数，低于的为负数， 第二只铅球质量为，比少，就是低于标准质量，则用表示． 故选：C． 4．（2025·山西临汾·三模）“神舟二十号”载人飞船入轨后，于北京时间2025年4月24日23时49分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时．若飞船对接前5秒记为秒，那么飞船对接后10秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵飞船对接前5秒记为秒， ∴飞船对接后10秒应记为秒． 故选A． 题型02 实数的分类（★） 5．（2025·吉林长春·二模）下列命题中是假命题的为（   ） A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D．一个无理数的倒数一定是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，无理数与有理数；根据无理数与有理数的概念，实数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：C． 一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数， 例如：，故此命题是假命题； 其余选项都是真命题， 故选：C． 6．（2025·江西抚州·二模）我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案． 【详解】解：是正分数，是有理数， 故选：D． 7．（2025·湖北恩施·一模）下列各数：，，，． 其中负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，化简绝对值和多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后根据负有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是负有理数，是负有理数，，不是负有理数． 故负有理数有2个． 故选：B． 8．（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 题型03 实数的估算（★★） 9．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示点落在第③段， 故选；C． 10．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算的取值范围，进而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选A． 11．（2025·贵州铜仁·三模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的计算以及无理数的估算，正确运算E的值并运用算术平方根的性质是解决本题的关键． 将已知数值代入公式计算，再通过比较平方数确定无理数的范围即可． 【详解】解：当，时， ， 由于，，且， 可得：， 因此，E的值在3和4之间． 故选：B． 12．（2025·山东威海·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 题型04 相反数、绝对值、倒数的直接求解（★） 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数及负整数指数幂， 先计算绝对值，再求负整数指数幂，再求相反数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 相反数为 ． 故选：D． 14．（2025·四川达州·二模）的负倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负倒数的定义：乘积为的两个数互为负倒数．根据负倒数的定义，即可得答案． 【详解】解：∵，的负倒数是， ∴的负倒数是， 故选：C． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 16．（2025·湖南长沙·一模）下列各组数互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．2与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数，根据绝对值、零指数幂、有理数的乘方、负整数指数幂、相反数的定义分别计算判断即可． 【详解】解：A、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； B、，，所以与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、，所以2与不互为相反数，故此选项不符合题意； D、，，所以与互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 题型05 平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 17．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴2025的算术平方根是45； 故选：C． 18．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 根据立方根、平方根、算术平方根的定义和性质回答即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、 ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选D. 19．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意； B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意； C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意； 故选：D． 20．（2025·福建厦门·二模）体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．立方体的体积公式计算即可． 【详解】解：体积为8的立方体的棱长是8的立方根， 故选：D． 题型06 科学记数法表示大数或小数（★） 21．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：1200亿． 故选：C． 22．（2025·安徽淮南·一模）2024年合肥新桥国际机场旅客吞吐量达到1720万人次，进一步提升了城市的对外交通枢纽地位．数据1720万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将“1720万”转换为数字，再根据科学记数法规则（）化为标准形式. 【详解】解：∵ 1720万， ∴ 故选：B. 23．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米， 故选：D． 24．（2025·湖北孝感·三模）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键数是解题的关键；据此写成的形式即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型07 近似数与有效数字的判断（★） 25．（2025·河南信阳·三模）下列与米最接近的是（    ） A．人的皮肤的厚度 B．楼房的高度 C．凳子的高度 D．月球的半径 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的应用，根据生活常识对选项进行估测，即可求解；理解近似数，能进行合理估测是解题的关键． 【详解】解：选项中凳子的高度米最接近， 故选：C． 26．（2025·四川德阳·一模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．将数据精确到千分位并用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；先求出原数的近似数，再用科学记数法表示出该近似数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 27．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键； 根据四舍五入法，精确到即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可． 【详解】解：圆周率，精确到，；精确到万分位， 故答案为：，． 题型08 实数的比较大小（★） 28．（2025·福建厦门·二模）在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法． 比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数的大小． 【详解】解：根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得， ， 所以，最小的是， 故选：D． 29．（2025·宁夏银川·三模）若将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，绝对值意义，多重符号化简，解题的关键在于理解数轴上数值大小与位置的关系． 根据绝对值意义，多重符号化简，得到，再结合数轴的定义，右边的数数值较大，左边的数数值较小进行判断即可． 【详解】解：， 又，即， 将实数表示在数轴上，其中最右边的数是， 故选：C． 30．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、实数的大小比较，先估算，再利用比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算，，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 题型09 简单的实数加减乘除、乘方混合运算（★） 32．（2025·陕西商洛·模拟预测）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数乘法，负整数指数幂，立方根定义进行计算，然后合并即可，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 33．（2025·陕西西安·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算小括号，再计算中括号，最后计算除法即可． 【详解】解： ． 34．（2025·四川资阳·模拟预测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)4 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、积的乘方逆运算以及乘法运算律，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的加法交换率和结合律计算即可； （2）先计算乘方、绝对值、利用积的乘方逆运算法则变形，再计算乘法，最后计算加减； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）根据乘法分配律解答即可； （5）连续利用乘法分配律求解即可； （6）利用裂项相消法变形计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ; （6）解： . 题型10 含根式、绝对值、指数幂、特殊三角函数值的复杂混合运算（★★） 35．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值的化简，再进行加减计算． 【详解】解： ． 36．（2025·青海西宁·二模）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 37．（2025·四川广元·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先计算有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后从左到右进行计算即可． 【详解】解：原式 题型11 数轴上点与实数的对应关系判断（★） 38．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 39．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 【答案】B 【分析】本题考查根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，先根据点所在的位置，判断的大小，进而判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，即：甲一定是正数； ∵， ∴， ∴ ∴，即：乙一定是正数； 故选B． 40．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较等知识，由数轴可得，，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，， 又∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 41．（2025·宁夏银川·二模）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和数轴上两点间的距离，明确实数与数轴的关系、求出是关键． 先根据数轴上两点间的距离得到，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：因为、对应的实数分别为和1， 所以， 因为， 所以， 所以，即点所对应的数为； 故答案为：． 题型12 实数与数轴的综合问题（★★★） 42．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 【答案】(1)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； (2)a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；图见解析；2；2． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干表示出的几何意义，仿照题干结合数轴作答即可． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和， 当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （2）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和；2；2． 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或秒 (3)存在，的值为或或 【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可； （3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点为中点， ， 即， 故答案为：，； （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， ，之间相距个单位长度， 则可分两种情况讨论， 当点在点右侧时， ， 解得； 当点在点左侧时， ， 解得； 综上，或秒之后，，之间相距个单位长度； （3）解：分阶段讨论是否存在： 先讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 再讨论点的运动时间， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为， 当从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得； 从到，从到时，即， ， ， 若，则， 即， 解得不满足，舍去； 从到，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 解得； 从返回，从返回时，， ， ， 若，则， 此时方程无解； 综上，的值为或或． 44．（2025·河北邯郸·二模）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 45．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ① ， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 题型13 非负性应用（★★） 46．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 47．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，也考查了二元一次方程组的求解，熟知非负数的性质是解题的关键； 根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b后再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1． 题型14新定义运算题（★★） 48．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算. 根据定义先求出，再计算即可. 【详解】∵， ∴ 即 故答案为：4. 49．（2025·安徽芜湖·二模）定义：对于实数，表示不大于的最大整数，例如：，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围，再直接根据题意利用新定义即可解答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 50．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 51．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 1．（2025年九年级中考数学一轮复习第一模块数与式）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025年湖北省武汉市第三中学九年级数学中考模拟训练试卷）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 0.5 3 5.5 8 甲走过的距离 5 30 55 80 乙走过的距离 1.25 15 41.25 80 则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，勾股定理，无理数的估算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出甲，乙走过的距离关于时间的表达式，然后将代入表达式，然后利用勾股定理求出，然后根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：由表格得，甲走过的距离和时间是一次函数关系，乙走过的距离和时间是二次函数关系， ∴设甲走过的距离关于时间的表达式为， 将，代入得， 解得 ∴； 设乙走过的距离关于时间的表达式为， 将，，，代入得， 解得 ∴； ∴当时，， ∵沿两互相垂直的方向行驶， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴第2秒甲、乙两车间的距离d满足． 故选：B． 3．（2025年安徽省芜湖市部分学校中考三模数学试题（5月））为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 4．（2025·河南周口·一模）如图，在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有数字“”“”和属性“有理数”“无理数”．现将四张卡片的正面朝下放置，混合洗匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数与有理数，算术平方根，列表法求概率，根据题意列出表格，进而根据表格求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：是有理数，是无理数， 列表如下， 有理数 无理数 ， 有理数， 无理数， ， 有理数， 无理数， 有理数 有理数， 有理数， 有理数、无理数 无理数 无理数， 无理数， 有理数，无理数 共有12种情况，其中抽到的卡片数字与属性完全对应的有4种 抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为 故答案为：． 5．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当为直角边时，第三边的长为； 当为斜边时，第三边的长为； 故答案为：或． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出生日期中的“日”，得到一个计算结果．只要学生把计算结果报出来，王老师就可以推测出学生的生日．聪明的言言经过思考，也发现了其中的数学奥秘，并能够准确地推测出生日．如果A同学报出来的计算结果是1042，那么言言推测出A同学的生日是 月 日． 【答案】 9 17 【分析】本题主要考查了新定义，设A同学的生日的月份为a，日期为b，则计算的结果为，可证明一定是100的倍数，且，再根据可确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：设A同学的生日的月份为a，日期为b，则根据题意计算的结果为， ∵a为正整数， ∴为正整数， ∴一定是100的倍数， ∵，且b为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A同学的生日是9月17日， 故答案为：9；17． 7．（（山东青岛专用版）2025年备战中考数学模拟试题（五））阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 2．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解； 【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 4．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 5．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 7．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 9．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 正数、负数的概念辨析及实际应用（★） 题型02 实数的分类（★） 题型03 实数的估算（★★） 题型04 相反数、绝对值、倒数的直接求解（★） 题型05 平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 题型06 科学记数法表示大数或小数（★） 题型07 近似数与有效数字的判断（★） 题型08 实数的比较大小（★） 题型09 简单的实数加减乘除、乘方混合运算（★） 题型10 含根式、绝对值、指数幂、特殊三角函数值的复杂混合运算（★★） 题型11 数轴上点与实数的对应关系判断（★） 题型12 实数与数轴的综合问题（★★★） 题型13 非负性应用（★★） 题型14新定义运算题（★★） 能力通关 【新情境问题】（考查学生从表格中获取信息的能力，及实数的运算） 1．（2025·云南·模拟预测）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表一为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考．我们都可将个人的实际体重归类为表二的其中一种类别．身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如表二． 表一 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 表二 实际体重 类别 指数范围 大于理想体重的 a肥胖 介于理想体重的 b过重 介于理想体重的 c正常 介于理想体重的 d过轻 小于理想体重的 e消瘦 某同学体重千克，身高米，该同学指数在（ ）范围内． A．肥胖 B．过重 C．正常 D．过轻 【新设问问题】（考查有理数的运算，根据十进制转化为二进制的方法） 2．（2025·四川广元·模拟预测）计算机的发明与应用被称作20世纪第三次科技革命的重要标志之一，计算机能识别和处理由“0”“1”符号串组成的代码，其运算模式是二进制．计数的进位方法是“逢二进一”，例如：二进制数100110记为，通过式子 可以转换为十进制数38．将十进制数89转换成二进制数是 ． 【新考法问题】（考查实数与数轴，勾股定理的应用，数轴上两点之间的距离） 3.（2025·江苏扬州·三模）如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【新考法问题】（考查实数的混合运算，规律探索，程序流程图问题） 4．（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是 ． 【新考法问题】（考查立方根的估算与推理、整数立方的特征、小数点移动与立方根的关系、四次方根的类比推理） 5．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 题型01 正数、负数的概念辨析及实际应用（★） 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带的电荷是两种相反的电荷．物理学中规定，原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷．钠离子中的原子核带个电荷，核外电子带个电荷，将钠离子的原子核和核外电子所带电荷用正数和负数表示为（  ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·湖南·模拟预测）互联网时代，人们的生活离不开手机支付，如图是某微信用户的账单截图，若把收入200元记作，则“”的实际意义是（　　） A．收入100元 B．支出100元 C．盈利100元 D．增加100元 3．（2025·湖北·模拟预测）国际田联规定：女子链球和铅球质量都是，在一次产品抽检时，一只铅球质量为，记为，第二只铅球质量为，应记为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西临汾·三模）“神舟二十号”载人飞船入轨后，于北京时间2025年4月24日23时49分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时．若飞船对接前5秒记为秒，那么飞船对接后10秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 题型02 实数的分类（★） 5．（2025·吉林长春·二模）下列命题中是假命题的为（   ） A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D．一个无理数的倒数一定是无理数 6．（2025·江西抚州·二模）我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 7．（2025·湖北恩施·一模）下列各数：，，，． 其中负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 题型03 实数的估算（★★） 9．（2025·天津·一模）如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 10．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 11．（2025·贵州铜仁·三模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 12．（2025·山东威海·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 题型04 相反数、绝对值、倒数的直接求解（★） 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 14．（2025·四川达州·二模）的负倒数是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（   ） A． B．-1 C．0 D． 16．（2025·湖南长沙·一模）下列各组数互为相反数的是（   ） A．2与 B．与 C．2与 D．与 题型05 平方根、算术平方根、立方根的计算（★） 17．（2025·上海·模拟预测）2025年被称为“平方年”，那么2025的算术平方根是（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 18．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是4 C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0 20．（2025·福建厦门·二模）体积为8的立方体的棱长是（   ） A．8的平方根 B．8的算术平方根 C．8的立方 D．8的立方根 题型06 科学记数法表示大数或小数（★） 21．（2025·浙江丽水·二模）杭州某AI实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·安徽淮南·一模）2024年合肥新桥国际机场旅客吞吐量达到1720万人次，进一步提升了城市的对外交通枢纽地位．数据1720万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 24．（2025·湖北孝感·三模）宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 题型07 近似数与有效数字的判断（★） 25．（2025·河南信阳·三模）下列与米最接近的是（    ） A．人的皮肤的厚度 B．楼房的高度 C．凳子的高度 D．月球的半径 26．（2025·四川德阳·一模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器在我国海南文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．将数据精确到千分位并用科学记数法表示为 ． 27．（2025·湖南张家界·一模）圆周率精确到， ；精确到万分位， ． 题型08 实数的比较大小（★） 28．（2025·福建厦门·二模）在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·宁夏银川·三模）若将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（    ） A．0 B． C． D． 30．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 31．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 题型09 简单的实数加减乘除、乘方混合运算（★） 32．（2025·陕西商洛·模拟预测）计算：． 33．（2025·陕西西安·一模）计算：． 34．（2025·四川资阳·模拟预测）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型10 含根式、绝对值、指数幂、特殊三角函数值的复杂混合运算（★★） 35．（2025·湖北·模拟预测）计算：． 36．（2025·青海西宁·二模）计算： 37．（2025·四川广元·模拟预测）计算： 题型11 数轴上点与实数的对应关系判断（★） 38．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 39．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上A，B，C三点所表示的数分别为a，b，1（）．对于代数式甲：，乙：．下列判断正确的是（    ） A．甲一定是负数 B．乙一定是正数 C．甲可能是正数 D．乙可能是负数 40．（2025·四川资阳·模拟预测）有理数m、n对应点在数轴上的位置，若图所示，则下列关系中正确的有 （填写序号）． ① ；②；③；④；⑤． 41．（2025·宁夏银川·二模）如图，在数轴上，A、B对应的实数分别为和1，且，则点C所对应的数为 ． 题型12 实数与数轴的综合问题（★★★） 42．（2025·山东·模拟预测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ． (2)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ，并在图④的数轴上描出得到最小值时a所在的位置，由此可以得出a的值为 ． 43．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度． (1)填空： ______， ______； (2)求几秒后，，之间相距个单位长度； (3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由． 44．（2025·河北邯郸·二模）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 45．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 题型13 非负性应用（★★） 46．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 47．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 题型14新定义运算题（★★） 48．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）规定一种新的定义： ，若，则 ． 49．（2025·安徽芜湖·二模）定义：对于实数，表示不大于的最大整数，例如：，，，那么 ． 50．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 51．（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 1．（2025年九年级中考数学一轮复习第一模块数与式）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 2．（2025年湖北省武汉市第三中学九年级数学中考模拟训练试卷）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：)  和时间(单位：) 的关系如下表所示： 时间 0.5 3 5.5 8 甲走过的距离 5 30 55 80 乙走过的距离 1.25 15 41.25 80 则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（  ） A． B． C． D． 3．（2025年安徽省芜湖市部分学校中考三模数学试题（5月））为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 4．（2025·河南周口·一模）如图，在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有数字“”“”和属性“有理数”“无理数”．现将四张卡片的正面朝下放置，混合洗匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为 ． 5．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）王老师在数学活动课上做了一个有趣的游戏：每位学生把自己出生日期中的“月”乘以4，再加上5，然后把所得的结果乘以25，最后加上出生日期中的“日”，得到一个计算结果．只要学生把计算结果报出来，王老师就可以推测出学生的生日．聪明的言言经过思考，也发现了其中的数学奥秘，并能够准确地推测出生日．如果A同学报出来的计算结果是1042，那么言言推测出A同学的生日是 月 日． 7．（（山东青岛专用版）2025年备战中考数学模拟试题（五））阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 1．（2025·山东淄博·中考真题）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 4．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 8．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”） 9．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 10．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $