第七单元 数学百花园（知识清单）数学北京版二年级上册（新教材）

该小学数学第七单元知识清单系统梳理“数学百花园”内容，涵盖正方形数、三角形数的特征规律，数九歌与九九消寒图的传统文化数学应用，以及数的规律简单应用，搭建从定义特征到规律推导再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过分类呈现知识点、分级设计题型构建完整知识体系，如正方形数识别续写、三角形数计算等题型培养抽象能力和推理意识，数九歌内容融合传统文化与数学规律，帮助学生用数学眼光观察、用数学思维推理，教师可利用分层练习题设计教学，提升学生自主学习效率与课堂实效。

第七单元 数学百花园单元知识清单讲义 知识点一：认识正方形数 定义：像1、4、9、16、25、36、49、64、81这样的数，都能通过小石子摆成正方形，因此被称为“正方形数”。 特征：正方形数是某个整数自乘的结果（即平方数），例如1=1×1、4=2×2、9=3×3、16=4×4等，相邻两个正方形数之间的差值依次为3、5、7、9等奇数。 规律：第n个正方形数等于n×n（n为非零自然数），可根据此规律推导后续的正方形数。 知识点二：认识三角形数 定义：像1、3、6、10、15……这样的数，能通过小石子摆成三角形，叫作“三角形数”。 特征：三角形数是从1开始的连续自然数相加的和，例如1=1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4等。 规律：第n个三角形数等于1+2+3+……+n，可利用“（首项+末项）×项数÷2”的公式快速计算。 知识点三：了解数九歌与九九消寒图 数九歌：是我国民间流传的反映冬至到春分期间气候变化的歌谣，共九句，对应“九九”八十一天，每句描述对应阶段的天气特点，如“一九二九不出手，三九四九冰上走”。 九九消寒图：是记录“数九”过程的传统方式，从冬至开始，每天写一笔或涂一个图案，完成九笔（或九组图案）为“一九”，历经九个“九”后，春天到来。 意义：既体现了数学中“9”的倍数规律（9×9=81天），又融合了生活中的节气知识，是数学与传统文化的结合。 知识点四：正方形数与三角形数的简单应用 能根据正方形数、三角形数的规律，填空或续写数列。 能区分正方形数和三角形数，判断给定的数属于哪一类。 结合生活场景，运用数的规律解决简单的计数或排序问题。 题型一：正方形数的识别与续写 【例1】 下面哪些数是正方形数？请圈出来。2、9、12、16、20、25、30、36 【练1】 按规律写出接下来的3个正方形数：1、4、9、16、25、（ ）、（ ）、（ ） 题型二：三角形数的识别与计算 【例2】 第5个三角形数是多少？请写出计算过程。 【练2】 下面的数中，（ ）是三角形数。 A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 题型三：正方形数与三角形数的区分 【例3】 判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。 （1）10是正方形数。（ ） （2）6既是三角形数，也是正方形数。（ ） （3）25是正方形数。（ ） 【练3】 把下列数填入对应的横线上。1、3、4、6、9、10、16、15 正方形数：________________________________________________________________________________ 三角形数：________________________________________________________________________________ 题型四：数九歌与九九消寒图的应用 【例4】 “九九”一共有多少天？从冬至开始，经过“五九”结束，一共过了多少天？ 【练4】 小明从冬至开始每天涂1个花瓣，涂完“三九”需要多少天？涂完“九九”一共涂了多少个花瓣？ 题型五：正方形数与三角形数的规律应用 【例5】 观察数列：1、3、4、6、9、10、15、16、（ ）、（ ），按规律填空。 【练5】 第6个正方形数和第6个三角形数相差多少？ 一、选择题 1．将30、31、32、33、34填入〇内，使每条线上的3个数相加都得96，下列有关此的说法不恰当的是（    ）。 ①每条线上的左右两个数字之差为4。  ②一共有两种填法。 ③中间的数字可以填31使等式成立。  ④每条线的长度大约是3cm。 A． ②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．观察每幅图的数字规律，想一想“？”应该填（    ）。 A．26 B．36 C．31 3．观察下列汉字的排列规律，想一想，“我”应该在最后一个田字格的（    ）。 我 爱 爱 祖 祖 国 国 祖 我 国 爱 我 A．左上角 B．右上角 C．左下角 4．空格里该放哪朵花？（    ） A． B． C． 5．找规律，空白处应填（    ）。         A．7 B．8 C．16 二、填空题 6．找规律，在“？”处填上合适的数。 （1） （2） 7．找规律，填一填。 8．找规律，填一填。 （1）83，81，79，77，（    ）。 （2） 9．找规律填数。 10．填一填。 三、解答题 11．在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。你知道A、B、C、D分别是几吗？ A 3 B 2 C 2 D 1 4 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学百花园单元知识清单讲义 知识点一：认识正方形数 定义：像1、4、9、16、25、36、49、64、81这样的数，都能通过小石子摆成正方形，因此被称为“正方形数”。 特征：正方形数是某个整数自乘的结果（即平方数），例如1=1×1、4=2×2、9=3×3、16=4×4等，相邻两个正方形数之间的差值依次为3、5、7、9等奇数。 规律：第n个正方形数等于n×n（n为非零自然数），可根据此规律推导后续的正方形数。 知识点二：认识三角形数 定义：像1、3、6、10、15……这样的数，能通过小石子摆成三角形，叫作“三角形数”。 特征：三角形数是从1开始的连续自然数相加的和，例如1=1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4等。 规律：第n个三角形数等于1+2+3+……+n，可利用“（首项+末项）×项数÷2”的公式快速计算。 知识点三：了解数九歌与九九消寒图 数九歌：是我国民间流传的反映冬至到春分期间气候变化的歌谣，共九句，对应“九九”八十一天，每句描述对应阶段的天气特点，如“一九二九不出手，三九四九冰上走”。 九九消寒图：是记录“数九”过程的传统方式，从冬至开始，每天写一笔或涂一个图案，完成九笔（或九组图案）为“一九”，历经九个“九”后，春天到来。 意义：既体现了数学中“9”的倍数规律（9×9=81天），又融合了生活中的节气知识，是数学与传统文化的结合。 知识点四：正方形数与三角形数的简单应用 能根据正方形数、三角形数的规律，填空或续写数列。 能区分正方形数和三角形数，判断给定的数属于哪一类。 结合生活场景，运用数的规律解决简单的计数或排序问题。 题型一：正方形数的识别与续写 【例1】 下面哪些数是正方形数？请圈出来。2、9、12、16、20、25、30、36 答案：圈出9、16、25、36 解析：正方形数是整数自乘的结果，9=3×3、16=4×4、25=5×5、36=6×6，符合正方形数的定义；2、12、20、30不能表示为某个整数的平方，因此不是正方形数。 【练1】 按规律写出接下来的3个正方形数：1、4、9、16、25、（ ）、（ ）、（ ） 答案：36、49、64 解析：正方形数的规律是第n个数为n×n，第6个正方形数是6×6=36，第7个是7×7=49，第8个是8×8=64，因此依次填入36、49、64。 题型二：三角形数的识别与计算 【例2】 第5个三角形数是多少？请写出计算过程。 答案：15 解析：三角形数的规律是第n个数等于1+2+3+……+n，第5个三角形数就是1+2+3+4+5，利用公式“（1+5）×5÷2=15”，因此结果为15。 【练2】 下面的数中，（ ）是三角形数。 A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 答案：B 解析：分别分析选项：A选项8，无法表示为连续自然数相加的和；B选项10=1+2+3+4，符合三角形数的定义；C选项12，不能表示为连续自然数相加的和；D选项14，也无法表示为连续自然数相加的和，因此选择B。 题型三：正方形数与三角形数的区分 【例3】 判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。 （1）10是正方形数。（ ） （2）6既是三角形数，也是正方形数。（ ） （3）25是正方形数。（ ） 答案：（1）×；（2）×；（3）√ 解析：（1）10不能表示为某个整数的平方，因此不是正方形数，说法错误；（2）6=1+2+3，是三角形数，但不能表示为整数的平方，不是正方形数，说法错误；（3）25=5×5，符合正方形数的定义，说法正确。 【练3】 把下列数填入对应的横线上。1、3、4、6、9、10、16、15 正方形数：________________________________________________________________________________ 三角形数：________________________________________________________________________________ 答案：正方形数：1、4、9、16；三角形数：1、3、6、10、15 解析：正方形数需满足“整数自乘”，1=1×1、4=2×2、9=3×3、16=4×4，因此这4个数是正方形数；三角形数需满足“连续自然数相加的和”，1=1、3=1+2、6=1+2+3、10=1+2+3+4、15=1+2+3+4+5，因此这5个数是三角形数（1既是正方形数也是三角形数）。 题型四：数九歌与九九消寒图的应用 【例4】 “九九”一共有多少天？从冬至开始，经过“五九”结束，一共过了多少天？ 答案：“九九”共81天；“五九”结束共45天 解析：“九九”是9个“九”天，每个“九”有9天，总天数为9×9=81天；“五九”结束是经过了5个“九”天，天数为5×9=45天。 【练4】 小明从冬至开始每天涂1个花瓣，涂完“三九”需要多少天？涂完“九九”一共涂了多少个花瓣？ 答案：涂完“三九”需要27天；涂完“九九”一共涂了81个花瓣 解析：“三九”是3个“九”天，每天涂1个花瓣，天数为3×9=27天；“九九”共81天，每天涂1个花瓣，总共涂的花瓣数就是81个。 题型五：正方形数与三角形数的规律应用 【例5】 观察数列：1、3、4、6、9、10、15、16、（ ）、（ ），按规律填空。 答案：21、25 解析：数列是正方形数和三角形数交替排列的：第1个是正方形数1，第2个是三角形数3，第3个是正方形数4，第4个是三角形数6，第5个是正方形数9，第6个是三角形数10，第7个是三角形数15（修正：原数列规律为“正方形数、三角形数、正方形数、三角形数……”，补充完整：1（正方形）、3（三角形）、4（正方形）、6（三角形）、9（正方形）、10（三角形）、15（三角形？修正为正确交替：1、3、4、6、9、10、16、15、25、21），正确规律：奇数位是正方形数（1、4、9、16、25），偶数位是三角形数（3、6、10、15、21），因此第9位（奇数位）是5×5=25，第10位（偶数位）是1+2+3+4+5+6=21，最终填空为21、25。 【练5】 第6个正方形数和第6个三角形数相差多少？ 答案：15 解析：第6个正方形数是6×6=36，第6个三角形数是1+2+3+4+5+6=21，两者相差36-21=15。 一、选择题 1．将30、31、32、33、34填入〇内，使每条线上的3个数相加都得96，下列有关此的说法不恰当的是（    ）。 ①每条线上的左右两个数字之差为4。  ②一共有两种填法。 ③中间的数字可以填31使等式成立。  ④每条线的长度大约是3cm。 A． ②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 答案：C 分析：根据题意可知：要使每条线上的数加起来等于96，就要将五个数中最中间的数放在中间圆圈上，然后再找和为64的两个数字。即中间数是32，30＋34＝31＋33，则这两条线上的数是，30、32、34；31、32、33。 详解：①34－30＝4，33－31＝2，说法错误。 ②剩下四个数构造：30＋34＝31＋33，每一组可以分别填在上下或左右的〇内，所以一共有两种填法。说法错误 ③中间的数字可以填31使等式成立，即要找和为65的两个数，30＋34＝64，32＋33＝65，只有一条线符合题意，则说法错误 ④每条线的长度大约是3cm。题干没有，则不能确定。 则说法不恰当的是①③④。 故答案为：C 点睛：明确五个数之间的差值，确定中间数是32是解决本题的关键。 2．观察每幅图的数字规律，想一想“？”应该填（    ）。 A．26 B．36 C．31 答案：C 分析：观察已知数据可得，第一组：2×3＋1＝6＋1＝7，第二组：3×4＋1＝12＋1＝13，第三组：4×5＋1＝20＋1＝21，可以发现规律：三角形右下角的数比左下角的数多1，中间的数是1，三角形下面两个角上的数相乘再加上中间的数刚好等于三角形上面这个角的数，据此解答即可。 详解：5＋1＝6 5×6＋1 ＝30＋1 ＝31 所以“？”应该填31。 故答案为：C 3．观察下列汉字的排列规律，想一想，“我”应该在最后一个田字格的（    ）。 我 爱 爱 祖 祖 国 国 祖 我 国 爱 我 A．左上角 B．右上角 C．左下角 答案：B 分析：第一个田字格，左上角是“我”，右上角是“爱”，右下角是“祖”，左下角是“国”； 第二个田字格，左上角是“爱”，右上角是“祖”，右下角是“国”，左下角是“我”； 第三个田字格，左上角是“祖”，右上角是“国”，右下角是“我”，左下角是“爱”； 据此观察，前面3个田字格每个位置上出现了3个不同的汉字，那么第4个田字格的每一个空都会出现对应的没出现过的汉字， 第四个田字格，左上角是“国”，右上角是“我”，右下角是“爱”，左下角是“祖”；据此解决。 详解：由题意分析得： 观察汉字的排列规律，“我”应该在最后一个田字格的右上角。 故答案为：B 点睛：此题主要考查的是数表中的规律，关键是找出规律。 4．空格里该放哪朵花？（    ） A． B． C． 答案：A 分析：，，，每一行，每一列，都有这三种花，且都不重复，据此解决即可。 详解：由题意分析得： 空格里该放；    故答案为：A 点睛：此题主要考查的是表格中的规律，关键是找出规律。 5．找规律，空白处应填（    ）。         A．7 B．8 C．16 答案：B 分析：上面两个数相加的和等于下面两个数相乘的积。 故，下面中的一个数等于上面两个数的和除以下面的另一个数。 详解：38＋18＝56 56÷7＝8 故，空白处应填8。 故答案为：B 点睛：此题主要考查的是数表中的规律，关键是找出规律并运用。 二、填空题 6．找规律，在“？”处填上合适的数。 （1） （2） 答案：（1）50； （2）60 分析：（1）观察前三组数可知：18＋32＝50；25＋75＝100；46＋14＝60，也就是上边的两个数相加等于下边的数，则下边的数－上边的一个数＝上边的另一个数； （2）观察前三组数可知：7＋8＋15＝30；7＋20＋13＝40；10＋18＋22＝50，也就是外边的三个数相加等于中间的数。 详解：（1）80－30＝50； （2）15＋20＋25＝60； 7．找规律，填一填。 答案：12；7 分析：根据题图可知，三角形中上边的数加上左下角的数，等于右下角的数，则左下角的数等于右下角的数减去上边的数，据此解答。 详解：3＋9＝12 16－9＝7 8．找规律，填一填。 （1）83，81，79，77，（    ）。 （2） 答案：（1）75    （2）15 分析：（1）观察数据可知，这组数后一个数比前一个数少2，从83开始，两个两个地倒着数，填写75； （2）观察数据可知，5加7等于12；2加8等于10；7加6等于13；也就是左上角的数＋右上角的数＝中间的数，填写15； 详解：（1）83，81，79，77，75。 （2）5＋7＝12； 2＋8＝10； 7＋6＝13； 故8＋7＝15。 。 9．找规律填数。 答案：39；25 分析：通过观察可知下面两个数相加的和等于上面的数。第3个图用上面的数减去下面右边的数，即可求出下面左边的数；第4个图用上面的数减去下面左边的数，即可求出下面右边的数。 详解：45－6＝39；45－20＝25 10．填一填。 答案：见详解 分析：通过观察可知，上面2个数相加的和等于下面的数，周围3个数相加等于中间的数。 第4个图：用中间的数分别减去上面的2个数，即可求出下面的数； 第5个图：先用上面的两个数相加求出下面的数，再把这3个数相加，求出中间的数。 详解：第4个图：20－6－4＝10 第5个图：7＋2＝9，7＋2＋9＝18      三、解答题 11．在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。你知道A、B、C、D分别是几吗？ A 3 B 2 C 2 D 1 4 答案：A是1，B是4，C是4，D是3。 分析：由题意可知，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，第1行中有3，则A不为3，第2行有2、第三行有1和2，故C为3或4，又因为第4行有4，故C为4，A为1；第3行已经有了1、2、4，故D为3；第1行有1和3，则B和剩下的一个空为3和4，又因为第4列有4，故B为4。据此解答。 详解：由分析可知，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，故A是1，B是4，C是4，D是3。 点睛：本题解题重点是明确题目要求：每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $